In der einfachsten Form wird die Sattelpunktmethode verwendet, um Integrale der Form zu approximieren.
$$ I \ equiv \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} dx \, e ^ {- f (x)}. $$ span>
Die Idee ist, dass die negative Exponentialfunktion so schnell abnimmt - $ \; e ^ {- 10} $ span> ist $ 10000 $ span> mal kleiner als $ e ^ { -1} $ span> - dass wir uns nur den Beitrag ansehen müssen, von dem aus $ f (x) $ span> am Minimum ist. Nehmen wir an, $ f (x) $ span> ist bei $ x_0 $ span> am niedrigsten. Dann könnten wir $ f (x) $ span> die ersten Terme seiner Taylor-Erweiterung approximieren.
$ $ f (x) \ ca. f (x_0) + \ frac {1} {2} (x- x_0) ^ 2 f '' (x_0) + \ cdots. $$ span>
Es gibt keinen linearen Term, da $ x_0 $ span> ein Minimum ist. Dies kann eine schreckliche Annäherung an $ f (x) $ span> sein, wenn $ x $ span> weit von $ x_0 $ span>, aber wenn $ f (x) $ span> deutlich größer ist als sein Minimalwert in dieser Region, dann ist es spielt keine Rolle, da der Beitrag zum Integral in beiden Fällen vernachlässigbar ist. Wie auch immer, stecken Sie dies in unser integrales
$$ I \ approx \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} dx \, e ^ {- f ( x_0) - \ frac {1} {2} (x-x_0) ^ 2 f '' (x_0)} = e ^ {- f (x_0)} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \, e ^ {- \ frac {1} {2} (x-x_0) ^ 2 f '' (x_0)}. $$ span>
Das Gaußsche Integral kann ausgewertet werden, um $$ I = e ^ {- f (x_0)} \ sqrt {\ frac {2 \ pi} {f '' (x_0)}}. $ $ span>
Woher kommt das in der Physik? Wahrscheinlich ist das erste Beispiel Stirlings Annäherung. In der statistischen Mechanik zählen wir immer Konfigurationen von Dingen, damit wir alle möglichen Ausdrücke erhalten, die $ N! $ Span> betreffen, wobei $ N $ span> ist eine enorm große Zahl wie $ 10 ^ {23} $ span>. Analaytische Manipulationen mit Fakultäten durchzuführen macht keinen Spaß, daher wäre es schön, wenn es einen besser handhabbaren Ausdruck gäbe. Nun, wir können die Tatsache nutzen, dass:
$$ N! = \ int_0 ^ \ infty dx \, e ^ {- x} x ^ N = \ int_0 ^ \ infty dx \ exp (-x + N \ ln x). $$ span>
Jetzt können Sie die Sattelpunktnäherung mit $ f (x) = x -N \ ln x $ span> anwenden. Sie können das Ergebnis selbst erarbeiten. Sie sollten sich auch davon überzeugen, dass in diesem Fall die Annäherung als $ N \ rightarrow \ infty $ span> wirklich immer besser wird. (Außerdem müssen Sie die Untergrenze des Integrals von $ 0 $ span> in $ - \ infty $ span> ändern. )
Es gibt viele andere Beispiele, aber ich kenne Ihren Hintergrund nicht, daher ist es schwer zu sagen, was eine nützliche Referenz sein wird. Die WKB-Näherung kann als Sattelpunktnäherung betrachtet werden. Ein häufiges Beispiel sind Partitionsfunktions- / Pfadintegrale, bei denen
$$ \ mathcal {Z} = \ int d \ phi_i \ exp (- \) berechnet werden soll Beta F [\ phi_i]), $$ span>
wobei die $ \ phi_i $ span> einige lokale Variablen und $ F [\ cdot] $ span> ist die freie Energiefunktion. Wir machen das gleiche wie zuvor, aber jetzt mit mehreren Variablen. Wieder können wir die Menge $ \ {\ phi_i ^ {(0)} \} $ span> finden, die $ F $ und dann erweitern
$$ F [\ phi_i] = F [\ phi_i ^ {(0)}] + \ frac {1} {2} \ sum_ {ij} (\ phi_i - \ phi_i ^ {(0)}) (\ phi_j - \ phi_j ^ {(0)}) \ frac {\ partiell ^ 2F} {\ partiell \ phi_i \ partiell \ phi_j}. $$ span>
Dies gibt Ihnen den Grundzustandsbeitrag mal eine Gaußsche (freie) Theorie, die Sie mit den üblichen Mitteln handhaben können. Nach den früheren Ausführungen erwarten wir, dass dies im Grenzwert $ \ beta \ rightarrow \ infty $ span> gut ist, obwohl Ihr Kilometerstand variieren kann.