Es wird oft gesagt, dass die Raumzeit gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie durch das Vorhandensein von Materie / Energie gekrümmt ist.
Aber sind nicht einfach die Koordinatenlinien des Koordinatensystems gekrümmt?
Herzlichen Glückwunsch! Sie sind auf eine wichtige Frage der Differentialgeometrie gestoßen:
Wie kann ich feststellen, ob die Krümmung durch meine Wahl der Koordinaten oder den Raum, in dem ich lebe, verursacht wird?
Wie in anderen Antworten erwähnt, wird das Wort "Krümmung" entweder als eine Eigenschaft des Raums, aber auch als eine Eigenschaft der Koordinaten bezeichnet. Lassen Sie mich stattdessen die letztere "Variation" nennen.
Stellen Sie sich zur Veranschaulichung beider Fälle Folgendes vor:
Im ersten Fall werden durch eine Änderung der kartesischen Koordinaten offensichtlich alle Abweichungen in Ihren Koordinaten beseitigt. In letzterem können Sie eine beliebige Darstellung auswählen - Sie erhalten keine variationsfreien Koordinaten! Je näher Sie beispielsweise den Polen kommen, desto dichter werden Ihre Koordinaten, wenn sie kontinuierlich bleiben sollen.
Dies bedeutet, dass es durch den Raum selbst verursacht werden muss. Wenn die Koordinaten nicht gerade werden, sagen wir, dass der Raum eine Krümmung hat. Die Krümmung wird auch als "intrinsische Eigenschaft des Raums" bezeichnet, was genau bedeutet, dass diese Eigenschaft nicht von ihrer Darstellung durch Koordinaten abhängt.
Um Ihre Frage kurz zu beantworten: No. Wenn wir sagen "Raumzeit ist gekrümmt", meinen wir "Raumzeit hat Krümmung" und nicht nur "Die Koordinaten variieren".
Beachten Sie jedoch, dass der Wortschatz äußerst vage ist. Um genauer zu sein, müssen wir die mathematischen Begriffe verwenden: Unser „Raum“ oder unsere „Raumzeit“ wird zu einer „Riemannschen Mannigfaltigkeit“, nämlich einer abstrakten mathematischen Menge mit einigen schönen Eigenschaften und der Fähigkeit, Entfernungen lokal zu messen. Letzteres wird als "Metrisches Tensorfeld" bezeichnet.
"Koordinaten" sind tatsächlich Karten von unserem Verteiler zu $ \ mathbb R ^ n $, im Fall der Raumzeit $ n = 4 $. Wo immer Sie sich befinden, finden Sie eine Karte mit reellen Zahlen.
Sobald Sie eine Koordinatenkarte eingeführt haben, haben Sie eine Basis für den metrischen Tensor und können ihn durch mehrere Komponenten darstellen, die reelle Zahlen sind. Das ist äußerst nützlich, da wir jetzt leicht Ableitungen davon nehmen können (in den Richtungen unserer Koordinatenbasis). Wenn diese Ableitungen überall Null sind, wissen Sie bereits, dass Sie sich in einem flachen Raum befinden.
"Krümmung" ist jedoch nicht so einfach zu definieren. Wir müssen Werkzeuge finden, um das Versagen unserer Koordinatenkarten zu messen, konstant zu werden. Zum Glück haben Leute wie Gauß und Riemann die harte Arbeit für Sie geleistet.
Gauß 'Ansatz besteht darin, zu vergleichen, wie „Kreise wachsen“. Wenn Sie sich auf einer Kugel befinden, ist der „wahrgenommene Radius“ eines Kreises etwas größer als der Radius, der seinem Umfang / seiner Fläche entspricht, sodass Sie wissen, dass Sie sich in einem gekrümmten Raum befinden. Genauer gesagt, in einem Raum mit positiver Krümmung kann der Radius auch kürzer sein als erwartet! Betrachten Sie einen Sattel. Da der Kreis „gestreckt“ ist, sind Umfang und Fläche größer als erwartet - dies wäre ein Beispiel für eine negative Krümmung. Ein schönes Bild für $ n = 2 $ ist, wenn Sie versucht haben, ein Blatt Papier einzulegen, und beachten Sie Folgendes:
Das Problem mit Gauß 'Ansatz ist, dass es zwar intuitiv ist, wenn man von „außen“ auf den Verteiler schaut. Um ihn von innen zu bestimmen, muss man eine Grenze setzen, und es ist nicht so einfach zu berechnen und zu verallgemeinern.
Nun, zumindest nicht so einfach wie Riemann:
Nehmen Sie die Kugel: Ein berühmtester Effekt der Krümmung unserer Welt ist die Tatsache, dass Sie ein Dreieck nur mit den Winkeln $ \ frac \ pi 2 $ überspannen können.
Eine andere Möglichkeit ist der parallele Transport. Wenn Sie einen Vektor nehmen und direkt zum Nordpol, dann direkt nach rechts zum Äquator und direkt nach unten gehen, wird Ihr Vektor um $ \ frac \ pi 2 $ verschoben.
Dies kann verallgemeinert werden: Nehmen Sie einen Vektor, transportieren Sie ihn parallel ein Stück nach oben, ein Stück nach rechts, gehen Sie zurück nach unten und zurück nach links. In einem flachen Raum hätte sich der Vektor nicht geändert. In einem gekrümmten Raum würden wir jedoch eine Verschiebung beobachten.
Beachten Sie nun, dass der Begriff „oben“ und „rechts“ leicht auf die Idee verallgemeinert werden kann, zwei Koordinatenvektoren zu folgen! Dies ist die Idee des Riemann Tensor: $$ R (u, v) w = \ nabla_u \ nabla_v w - \ nabla_v \ nabla_u w - \ nabla _ {[u, v]} w $$ Dies implementiert im Wesentlichen das folgende Protokoll:
Allerdings nicht ganz. Da der Verschiebungsvektor von der Entfernung abhängt und wir lokal einen Wert der Krümmung definieren möchten, in diesem Fall als Eigenschaft des Punktes, wird der Verschiebungsvektor durch Verkleinern der Entfernung auf Null gesetzt. Unser Argument ist also nicht ganz richtig - wir sind an der linearen Änderung des Verschiebungsvektors interessiert, wenn wir den Abstand ändern.
Wir können die Menge für jedes Paar der $ n $ -Koordinaten (Indizes: $ \ mu, \ nu $) berechnen und dann die $ \ rho $ -Komponente eines Einheitsvektors in Richtung $ \ sigma $ beobachten - bezeichnen wir diese Menge mit $ R ^ \ rho {} _ {\ sigma \ mu \ nu} $. Es hat einige Symmetrien, also haben wir tatsächlich $ \ frac {n ^ 2 (n ^ 2-1)} {12} $ unabhängige Komponenten (ich vertraue Wikipedia auf diese). Dieser Tensor kann durch Summieren über dasselbe $ \ rho $ und $ \ mu $ auf einen kleineren zusammengezogen werden, wobei zwei Indizes übrig bleiben, die erneut kontraproduziert werden können, wobei ein Skalar $ R $ verbleibt, der auch als Ricci-Skalar bekannt ist, was überraschenderweise in zwei Dimensionen doppelt so hoch ist wie die Gaußsche Krümmung. Die Riemannsche Krümmung scheint also trotzdem die richtige Intuition zu erfassen!
Die Gleichung, die Sie oben gesehen haben, kann auf erste und zweite partielle Ableitungen des metrischen Tensors reduziert werden - was wirklich einfach zu bewerten ist (zumindest wenn Sie die geschlossene Form kennen). Denken Sie daran, dass der Tensor (und offensichtlich abgeleitete Kontraktionen wie der Ricci-Skalar) viele Begriffe enthalten. Die Berechnung des Riemann-Tensors ist eine beliebte Übung für den eifrigen Schüler (oder die arme Seele, die bereit ist, eine Klasse über Differentialgeometrie zu bestehen.
Gemeint ist die intrinsische Krümmung des Raums, dh sie ist unabhängig von der Wahl der Koordinaten. Es gibt clevere Methoden, um festzustellen, ob und in welchem Umfang Ihr Raum vom flachen euklidischen Raum abweicht, nämlich der Gaußschen Krümmung und vor allem dem Riemann-Tensor.
Eigentlich beides.(Natürlich sind diese völlig unterschiedlich, aber beide werden als "Krümmung" bezeichnet)
Koordinaten sind definitiv gekrümmt (deshalb werden sie schließlich krummlinig genannt).
Es gibt jedoch einen koordinatenunabhängigen Begriff der Krümmung für die Raumzeitgeometrie.Dies ist durch den Riemannschen Krümmungstensor gegeben
Sie wissen wahrscheinlich, dass es in der flachen Raumzeit gleich Null ist.Beachten Sie, wie dies in allen Koordinatensystemen gilt - sowohl krummlinig als auch galliläisch.Dies liegt daran, dass Tensorgleichungen unter Koordinatentransformationen kovariant sind.
Aus diesem Grund wird es als Eigenschaft der Raumzeit betrachtet (da es nicht von Koordinaten abhängt).Es gibt eine schöne, koordinatenunabhängige Möglichkeit, ein Gefühl dafür zu bekommen, was Krümmung ist: Wenn Sie einen Vektor entlang einer geschlossenen Kurve parallel transportieren, ist der Unterschied zwischen dem ursprünglichen Vektor und dem Ergebnis der Transformation bei vorhandener Krümmung ungleich Null.
Unabhängig vom verwendeten Koordinatensystem ist der Raum der Materiekurven.
Sie können das Koordinatensystem "Galiläisch", "Riemmannisch", "Einsteinisch" usw. wählen, das Sie für nützlicher halten. Es bleibt jedoch die Tatsache, dass matter space krümmt.
Um Ihre Frage zu beantworten, ist space gekrümmt, not die Koordinatenlinien.
Gekrümmte Koordinaten auf der flachen Raumzeit entsprechen beschleunigenden Beobachtern, nicht der Schwerkraft.
Die erste physikalische Erkenntnis der allgemeinen Relativitätstheorie ist, dass Sie bei Schwerkraft keine global trägen Rahmen haben - kontrastieren Sie dies mit dem flachen Raum, in dem Sie immer ein lineares Koordinatensystem konstruieren können. Die zweite physikalische Erkenntnis ist, dass Sie lokal Trägheitsrahmen haben, insbesondere die frei fallenden - dies ist das "Äquivalenzprinzip" -, sodass die Mannigfaltigkeit, die Sie zur Modellierung der Raumzeit verwenden, notwendigerweise eine lokale Ebenheit aufweisen muss. Folglich werden (pseudo-) Riemannsche Mannigfaltigkeiten der richtige Weg, um die Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie zu modellieren.
Aus diesem Grund gibt es Christoffel-Symbole auch zur Beschleunigung von Beobachtern in der flachen Raumzeit - sie sind in den Ableitungen der Metrik erster Ordnung und können daher durch Umwandlung in ein flaches Koordinatensystem eliminiert werden, bei dem die Metrik konstant ist (Dies ist in Ordnung, da die Christoffel-Symbole keine Tensoren sind.) Der Riemannsche Krümmungstensor hingegen ist in den Ableitungen der Metrik zweiter Ordnung und kann nicht durch eine Koordinatentransformation eliminiert werden
Raumzeitkrümmung ist kein physikalisches Gesetz, sondern lediglich ein sehr leistungsfähiges und praktisches Modell, das Einstein für die Arbeit mit Einsteins Feldgleichungen eingeführt hat.
Eine Hauptanwendung der gekrümmten Raumzeit ist die Schwarzschild-Metrik $$ \ mathrm ds ^ 2 = - \ left (1 - \ frac {2GM} {c ^ 2 r} \ right) c ^ 2 ~ \ mathrm dt ^ 2 + \ frac {1} {1 - \ frac {2GM } {c ^ 2 r}} ~ \ mathrm dr ^ 2 + r ^ 2 \ left (\ mathrm d \ Theta ^ 2 + \ sin ^ 2 \ Theta ~ \ mathrm d \ Phi ^ 2 \ right) $$ Die Schwarzschild-Metrik beschreibt ein Schwerefeld, das in Form einer gekrümmten Raumzeit dargestellt werden kann.
Im Gegensatz dazu ist die entsprechende Minkowski-Metrik (mit flacher Raumzeit) $$ \ mathrm ds ^ 2 = - ~ c ^ 2 ~ \ mathrm dt ^ 2 + \ mathrm dr ^ 2 + r ^ 2 \ left (\ mathrm d \ Theta ^ 2 + \ sin ^ 2 \ Theta ~ \ mathrm d \ Phi ^ 2 \ right) $$
wobei $ \ mathrm dt $ die ungekrümmte Zeit und $ \ mathrm dr $ die ungekrümmte radiale Verschiebung ist.
Wenn Sie beide vergleichen, stellen Sie fest, dass in der Schwarzschild-Metrik die Zeit $ \ mathrm dt $ mit der Konstanten
multipliziert wird$$ \ sqrt {1 - \ frac {2GM} {c ^ 2 r}} $$ und der Raum $ \ mathrm dr $ wird durch dieselbe Konstante geteilt. Genau dieser Faktor repräsentiert die Raumzeitkrümmung. Die Konstante ist die Gravitationszeitdilatation. Wenn wir die Konstante = $ C $ setzen, können wir die Schwarzschild-Metrik folgendermaßen kürzer schreiben: $$ \ mathrm ds ^ 2 = - ~ c ^ 2 (C ~ \ mathrm dt) ^ 2 + {\ left (\ frac {\ mathrm dr} {C} \ right)} ^ 2 + r ^ 2 \ left ( \ mathrm d \ Theta ^ 2 + \ sin ^ 2 \ Theta ~ \ mathrm d \ Phi ^ 2 \ right) $$ Vergleicht man diese Kurzform mit der obigen Gleichung der Minkowski-Metrik, so unterscheidet sich die Schwarzschild-Metrik von der nicht gekrümmten Minkowski-Metrik nur um einen Koeffizienten $ C $, der mit der Gravitationszeitdilatation identisch ist. Das bedeutet, dass die gekrümmte Raumzeit der Schwarzschild-Metrik auch als Gravitationszeitdilatation beschrieben werden kann - im absoluten, flachen Raum!
Wir können also die Schwerkraft mit flachen Raumkoordinaten beschreiben, bei denen nur die Gravitationszeitdilatation auf die flache Metrik einwirken würde.Wie oben erwähnt, hat sich die Darstellung in Form einer gekrümmten Raumzeit als weitaus praktischer erwiesen, und sie wird der Beschreibung in Bezug auf den flachen Raum weitgehend vorgezogen.Die gekrümmte Raumzeit ist jedoch nichts anderes als eine Auswahl von Koordinaten.