Betrachten Sie den Fluss durch ein winziges Segment einer Kugel. Da das elektrische Feld an allen Punkten parallel zur Normalen der Oberfläche ist, ist der Fluss einfach das elektrische Feld in dieser Entfernung multipliziert mit der Fläche des Elements

Stellen Sie sich nun vor, Sie kippen die Oberseite des Kegels um einen Winkel $ \ theta $ span>, sodass die Ecken immer noch auf dem konischen Abschnitt liegen, wie unten dargestellt:

Die Fläche vergrößert sich um einen Faktor $ \ frac {1} {\ cos \ theta} $ span>, jedoch der elektrische Feldvektor in der normalen Richtung $ E_n $ span> wird um den Faktor $ \ cos \ theta $ span> verringert. Daher ist der Fluss durch diese Oberfläche unverändert, da der Fluss das Produkt der normalen elektrischen Feldkomponente und der Fläche ist

Stellen Sie sich nun vor, Sie teilen den Würfel in viele dieser konischen Abschnitte auf. Das Kippen der oberen Flächen dieser Abschnitte aufgrund der Tatsache, dass es sich eher um einen Würfel als um eine Kugel handelt, wirkt sich eindeutig nicht auf den Fluss aus, der durch jedes Flächenelement fließt. Daher ist der Gesamtfluss, der durch den Würfel fließt, der gleiche wie bei einer Kugel

Beachten Sie, dass dies eine vereinfachte Adaption aus einem Kapitel von The Feynman Lectures on Physics war, in dem erklärt wird, warum die Bilder nicht ganz meinen Erklärungen entsprechen, da ich nur über die Oberseite des konischen Abschnitts gesprochen habe gekippt werden. Feynman erklärt die Wirkung des Flusses durch eine geschlossene Oberfläche vollständiger.

Warum ist der elektrische Fluss durch einen Würfel der gleiche wie der elektrische Fluss durch eine Kugelschale?

Dies gilt nicht nur für einen Würfel oder eine Kugel. Der Fluss, der durch die geschlossene Oberfläche von any fließt und eine Nettoladung $ q $ span> einschließt, ist $ q / \ varepsilon_0 $ span>. Dies basiert auf dem Gaußschen Gesetz für elektrische Ladungen.

Wenn die Feldlinien gleichmäßig in alle Richtungen aus einer Punktladung austreten, hängt der Fluss, der durch eine geschlossene Oberfläche fließt, von der relativen Anzahl der Feldlinien ab, die in die Oberfläche hinein oder aus dieser heraus verlaufen. Bei einer Ladung innerhalb der Oberfläche gehen die Feldlinien entweder aus oder ein, je nachdem, ob die Ladung positiv oder negativ ist. Für eine externe Ladung ist die Nettozahl der Feldlinien, die in die Oberfläche hinein- oder herauskommen, Null und daher ist ihr Flussbeitrag Null.

Es spielt also keine Rolle, ob es sich um eine Kugel oder einen Würfel (oder gar etwas anderes) handelt, solange eine Nettoladung von $ q $ span> darin liegt Der Gesamtfluss durch die Oberfläche beträgt $ q / \ varepsilon_0 $ span>. Auch wenn nur eine Ladung vorhanden ist, muss sich die Ladung nicht im geometrischen Zentrum der Gaußschen Oberfläche befinden.

Der net -Fluss ist der gleiche, dies bedeutet jedoch nicht, dass der Fluss gleichmäßig ist.

Stellen Sie sich eine ähnliche Situation vor, in der Sie eine Glühbirne in einen geschlossenen Lampenschirm stellen. Der Nettofluss ist die Gesamt Lichtmenge, die durch den Lampenschirm fällt. Dies hängt nur von der von der Glühbirne erzeugten Lichtmenge ab, nicht von der Position der Glühbirne.

Mit anderen Worten, wenn Sie eine 60-W-Glühbirne nehmen und an eine beliebige Stelle in Ihrem (geschlossenen) Lampenschirm bewegen können, ändert dies nichts an der Gesamtlichtmenge, die durch den Lampenschirm fällt. Wenn Sie die Glühbirne nicht genau in der Mitte eines sphärischen Lampenschirms platzieren, ist die Lichtmenge natürlich NICHT auf jeder Oberfläche Ihres Lampenschirms gleichmäßig, sondern nicht auf dem Netz Fluss, dh die Gesamtsumme des Lichts des gesamten Lichts auf dem gesamten Lampenschirm.

Hinweis Ich habe weder die Form des Lampenschirms noch seine Größe besprochen. Der Nettofluss wird durch die Stärke der Quelle bestimmt, nicht durch die Oberfläche, durch die das Licht hindurchgeht.

Wie bereits erwähnt, ist der Nettofluss über eine geschlossene Oberfläche der gleiche und hängt nur von der eingeschlossenen Ladung ab.

Das bedeutet nicht unbedingt, dass der Fluss über eine bestimmte Oberfläche derselbe ist, den Sie beim Vergleich des Würfels mit der Kugel herausgefunden haben.Sie nimmt ab, wenn Sie sich von der Mitte einer Würfelfläche entfernen, während sie über die gesamte Oberfläche der Kugel konstant ist, wenn sich die Ladung in der Mitte befindet.

Der Gesamtfluss wird jedoch durch Summieren (Integrieren) des Flusses über die gesamte Oberfläche erhalten.Beachten Sie, dass für einen Würfel und eine Kugel mit demselben Volumen die Oberfläche des Würfels größer ist als die Oberfläche der Kugel.Die Integration des Flusses über die beiden Oberflächen sollte den gleichen Wert ergeben.

Hoffe das hilft

Wenn Sie Zweifel haben, zeigen Sie:

$$ F = 6 \ cdot 4 \ int_ {x = 0} ^ R \ int_ {y = 0} ^ R \ frac {\ frac {R} {\ sqrt {R ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2}}} {x ^ 2 + y ^ 2 + R ^ 2} dxdy = 4 \ pi $$ span>

Aus dem Gaußschen Gesetz $$ \ int \ vec {E} .d \ vec {s} = \ frac {q_ {in}} {\ epsilon_ {0}} $$ span>

Der Fluss durch beide Oberflächen wäre also der gleiche wie die Ladung in beiden Oberflächen.

Wenn wir uns dem Problem durch ein Integral nähern, haben Sie im Fall eines Würfels den Winkel zwischen Flächenvektor und elektrischem Feld falsch gesehen.

Eine gute Möglichkeit, das Problem zu visualisieren, besteht darin, sich zunächst vorzustellen, dass die Ladung von einer Kugel eingeschlossen ist.Zeichnen Sie einen kleinen Bereich auf die Oberfläche der Kugel und ziehen Sie Linien von der Ladung durch den kleinen Bereich.Diese Linien sind der Fluss durch den Bereich.Stellen Sie sich nun eine größere Kugel vor, die konzentrisch zur ersten ist.Die fortgesetzten Linien zeichnen einen Bereich derselben Form auf der zweiten Kugel nach, und dieselben Linien verlaufen durch diesen zweiten Bereich.Verformen Sie nun die zweite Kugel in einen Würfel, aber lassen Sie die Linien in Ruhe.Stellen Sie sich den Bereich vor, den die Linien auf dem Würfel verfolgen.Obwohl der neue Bereich relativ zum entsprechenden Bereich auf der Kugel geneigt ist und der neue Bereich verzerrt ist, verlaufen alle gleichen Linien durch ihn.Mit anderen Worten, der Fluss durch den (gekippten & verzerrten) Bereich ist der gleiche wie durch den entsprechenden Bereich auf der Kugel.Die mathematische Operation ist Ausdruck dieser Tatsache.