Ihr Fehler besteht darin, anzunehmen, dass die Geschwindigkeit innerhalb dieser Intervalle von einer Sekunde konstant ist. Die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit $ v (t) $ span> für Bewegung unter konstanter Beschleunigung $ a $ span> ist gegeben durch $$ v (t) = at + v_0 $$ span> wobei $ v_0 $ span> die Geschwindigkeit bei ist $ t = 0 $ span>.

Sie haben also Recht, dass $ v (0) = 20 \, \ mathrm {m / s} $ span>, $ v (1) = 12 \, \ mathrm {m / s} $ span> und $ v (2) = 4 \, \ mathrm {m / s} $ span>. Aber zum Beispiel haben wir $ v (1.5) = 8 \, \ mathrm {m / s} $ span> und so weiter für jeden Wert von $ t $ span> bis zur Ruhe. Die Geschwindigkeit nimmt kontinuierlich ab. Es nimmt nicht in der von Ihnen vorgeschlagenen schrittweisen Weise ab.

Sie sind jedoch tatsächlich auf dem richtigen Weg. Wenn Sie Ihren Ansatz auf das richtige Extrem bringen möchten, würden wir unsere Zeit nicht in $ 1 \, \ mathrms $ span> -Intervalle aufteilen, sondern in wirklich kleine Zeitintervalle $ \ text dt $ span>, sodass die Geschwindigkeit als konstant angesehen werden kann. Dann können wir alle Änderungen in der Position $ \ text d x = v \, \ text dt $ span> addieren. Hier wird Kalkül nützlich, und wir erhalten eine Gleichung, mit der Sie wahrscheinlich vertraut sind $$ \ Delta x = \ int_ {x_0} ^ x \ text dx = \ int_0 ^ tv (\ tau) \, \ text d \ tau = \ frac12at ^ 2 + v_0t $ $ span>

Wenn wir dies mit unserem Ausdruck für $ v (t) $ span> kombinieren, um $ t $ span> zu eliminieren, erhalten wir den Ausdruck, den Sie Ihrer ersten richtigen Methode geben.

Ich denke, dass ein guter Weg, um den Fehler in Ihrer Antwort "Beschleunigungskonzept" hervorzuheben, darin besteht, einen Geschwindigkeits-Zeit-Graphen zu zeichnen und sich daran zu erinnern, dass der Bereich unter einem solchen Graphen die Verschiebung ist.

Sie werden sehen, dass sich in der ersten Sekunde die Geschwindigkeit ändert. Um die Verschiebung zu erhalten, müssen Sie die Geschwindigkeit average während dieses Zeitintervalls verwenden, das die kinematische Gleichung für konstante Beschleunigung ist. $ s = \ left (\ dfrac {v + u} {2} \ right) \, t $ span>.

Wenn man während eines bestimmten Zeitintervalls eine konstante Geschwindigkeit annimmt und dann während des folgenden Zeitintervalls auf die nächste konstante Geschwindigkeit zurückgreift, erhält man die folgende Reihe von Graphen.

Das Ergebnis ist, dass mit zunehmender Anzahl konstanter Geschwindigkeitsintervalle die berechnete zurückgelegte Strecke (Fläche unter dem Diagramm) näher an $ 25 \, \ rm m $ span> heranrückt .

Wenn die Anzahl der Intervalle $ N $ span> even ist, beträgt der Bereich unter dem Diagramm $ 1,25 \ left (20) + \ dfrac 2 N \ right) \ rm m $ span> und wenn $ N $ span> größer und größer wird, wird der Begriff $ \ dfrac 2 N $ span> wird im Vergleich zu $ 20 $ span> immer kleiner, so dass im Grenzbereich von $ N $ span> tendiert gegen unendlich Der Bereich unter dem Diagramm tendiert gegen $ 1,25 \ times 20 = 25 \, \ rm m $ span>.

Aaron Stevens hat recht, aber vielleicht kann ich seine Erklärung klarstellen.

Betrachten Sie die erste Sekunde. Zu Beginn beträgt die Geschwindigkeit tatsächlich 20 m / s und am Ende 12 m / s, wie Sie richtig geschrieben haben. Aber welche Strecke wurde in dieser ersten Sekunde zurückgelegt?

Da die Beschleunigung konstant war, war die Geschwindigkeit von mean der Durchschnitt (20 + 12) / 2 m / s, nämlich 16 m / s. Die in der ersten Sekunde zurückgelegte Strecke betrug also 16 Meter.

Sie dürfen nur den Durchschnitt zwischen Anfang und Ende dieser ersten Sekunde nehmen, da die Beschleunigung constant ist. Wenn die Beschleunigung nicht konstant gewesen wäre, wäre das Problem anders und komplizierter gewesen. Man müsste genau beschreiben, wie sich die Beschleunigung mit der Zeit ändert. Dies ist jedoch ein einfaches Problem, eine konstante Beschleunigung, und Sie nehmen nur den Durchschnitt der Geschwindigkeit zu Beginn und am Ende jeder Sekunde.

Wiederum betrug in der nächsten Sekunde die Durchschnittsgeschwindigkeit (12 + 4) / 2 m / s = 8 m / s und die zurückgelegte Strecke 8 m.

Betrachten Sie nun die dritte Sekunde. Zu Beginn beträgt die Geschwindigkeit 4 m / s. Es dauert nur eine halbe Sekunde, bis die Geschwindigkeit 0 erreicht. An diesem Punkt hält der Zug endgültig an. Es beschleunigt weder weiter noch in die andere Richtung. Das wäre ein anderes Problem, das zu einer anderen Lösung führen würde. In diesem Fall wird klar gesagt, dass das Problem endet, wenn der Zug anhält. Wenn es also keine volle dritte Sekunde gibt, stoppt der Prozess am Ende nach insgesamt 2 und 1/2 Sekunden.

Betrachten Sie diese letzte halbe Sekunde. Am Anfang beträgt die Geschwindigkeit 4 m / s und am Ende ist sie Null. Der Durchschnitt liegt also bei 2 m / s. Da die Dauer der Bewegung nur 1/2 Sekunde beträgt, beträgt die während dieses letzten Teils der Bewegungen zurückgelegte Strecke nur 1 Meter. 16 Meter für die erste Sekunde, 8 Meter für die nächste und 1 Meter für den letzten Teil ergeben also das richtige Ergebnis von 25 Metern.

Es gibt einen schnelleren Weg, um das gleiche Ergebnis zu erzielen.

Wie lange fährt der Zug? Zu Beginn beträgt die Geschwindigkeit 20 m / s und die Beschleunigung -8 m / s ^ 2, so dass das Anhalten 20/8 = 2,5 Sekunden dauert (genau das, was wir oben erhalten haben, Schritt für Schritt, eine Sekunde plus eine weitere plus die Hälfte des dritten).

Was ist die Durchschnittsgeschwindigkeit? Am Anfang 20 m / s und am Ende Null, also durchschnittlich 10 m / s.

Also Durchschnittsgeschwindigkeit 10 m / s während 2,5 Sekunden, zurückgelegte Strecke 25 m.

Um den Begriff der Durchschnittsgeschwindigkeit klarer zu machen, werde ich auf Anfrage des OP weitere Einzelheiten erläutern. Diese Details wurden zuerst in Kommentaren angegeben. Ich habe sie später in diesem Beitrag auf Vorschlag von Aaron Stevens verschoben.

Betrachten Sie die erste Sekunde. Die Beschleunigung ist konstant, -8 m: s ^ 2, so dass die Geschwindigkeit schrittweise von 20 auf 12 Meter pro Sekunde abnimmt. In Ihrer ursprünglichen Argumentation haben Sie angenommen, dass der Zug 20 Meter zurückgelegt hat. Dafür sollte die Geschwindigkeit während der gesamten Sekunde 20 m / s betragen und ganz am Ende bei 12 abfallen, was nicht der Fall ist. Die Geschwindigkeit nimmt schrittweise von 20 m / s auf 12 m / s ab. Wenn die Geschwindigkeitsabnahme, dh die (negative) Beschleunigung, anyst gewesen wäre, aber konstant, wäre der genaue Wert der zurückgelegten Strecke schwer zu berechnen gewesen.

Dort nimmt die Geschwindigkeit jedoch mit konstanter Geschwindigkeit ab. Betrachten Sie die erste und die letzte Millisekunde. Während des ersten ist die Geschwindigkeit praktisch 20 m / s, während des letzten hat sie praktisch die Endgeschwindigkeit 12 m / s erreicht. Die während dieser zwei Millisekunden zurückgelegte Strecke beträgt ein Tausendstel von (20 + 12) = 32 Metern. Nehmen Sie sich nach dem Beginn eine Millisekunde Zeit (weniger als eine halbe Sekunde). Die Geschwindigkeit beträgt 20-8 T, da die Beschleunigung -8 m / s ^ 2 beträgt

Betrachten Sie die Millisekunde vor dem Ende der ersten Sekunde um T. Die Geschwindigkeit beträgt 12 + 8T, da sie nach dem Intervall T bei einer Beschleunigung von -8 m / s ^ 2 12 erreicht. Die während dieser zwei Millisekunden zurückgelegte Strecke beträgt also (20-8T + 12 + 8T) = 32 Tausendstel Meter. Dies ist also die Entfernung, die über jedes Millisekundenpaar zurückgelegt wird, das symmetrisch innerhalb der ersten Sekunde angeordnet ist.

Addieren Sie sie und denken Sie daran, dass Sie, wenn T eine halbe Sekunde erreicht, bereits die gesamte erste Sekunde zurückgelegt haben, weil Sie die Millisekunden in der ersten halben Sekunde und die in der zweiten Hälfte zusammen zählen, 500 mal 32 Tausend a erhalten Sekunde also 16 Meter. Es ist, als hätten Sie die erste Sekunde mit einer Geschwindigkeit zurückgelegt, die im Durchschnitt zwischen 20 und 12 m / s liegt. Diese only funktioniert, da die Beschleunigung constant ist.

Sie hätten auch damit beginnen können, zu berechnen, wie lange der Vorgang dauern würde. 20 m / s geteilt durch den Absolutwert -8 m ^ / s ^ 2 der negativen Beschleunigung zeigen, dass die Züge nach 2,5 Sekunden anhalten. Dann betrachten Sie die allererste Millisekunde mit 20 m / s und die letzte mit extrem langsamer Geschwindigkeit, eine Entfernung von einem Tausendstel (20 + 0) Metern und gekoppelte Millisekunden zum Zeitpunkt T nach dem Beginn, Geschwindigkeit 20-8T und T vor dem Ende, Geschwindigkeit 8T, also 20 Tausendstel von 20 Metern für jedes Paar. Aber jetzt erstreckt sich T bis zur Hälfte der gesamten Dauer des Prozesses, also bis zur Hälfte von 2,5 Sekunden. Immer die Summe der Extremgeschwindigkeiten, multipliziert mit der halben Dauer oder äquivalent der vollen Dauer multipliziert mit dem Durchschnitt der Anfangs- und Endgeschwindigkeit des Zeitintervalls. Aber noch einmal NUR BEI KONSTANTER BESCHLEUNIGUNG, sonst funktioniert es nicht. -

Sie verstehen die Tatsache falsch, dass die Geschwindigkeit nicht in jeder Sekunde gleich ist. Ich meine, die Geschwindigkeit ändert sich in sehr sehr kurzer Zeit, viel kleiner als eine Sekunde.

Ihre Argumentation würde bedeuten, dass die Geschwindigkeit in der Dauer einer Sekunde gleich bleibt, was nicht der Fall ist.

Ich werde bedenken, dass Sie Kalkül nicht verstehen, aber das ist kein Problem, Sie lernen immer!

nimm einen Körper an, der sich mit bewegt Geschwindigkeit u Beschleunigung a für die Zeit t

wir haben v = u + bei

wir können sehen, dass die Beschleunigung wirkt und die Geschwindigkeit ändert. nicht in jeder Sekunde, sondern in jedem Moment! das ist besonders faszinierend! (imho)

Für eine sehr kleine Änderung der Zeit (dt) können wir eine konstante Geschwindigkeit berücksichtigen. Diese Geschwindigkeit ändert sich in jedem Intervall. Dies müssen wir integrieren (um alle Bereiche unter der v-t-Kurve hinzuzufügen), um die Verschiebung zu finden

Die Zeit kann genauso gut gebrochen sein, die Beschleunigung wird jedoch in m / s / s gemessen Dies geschieht, um alles in den bevorzugten Einheiten zu halten.

Ich persönlich liebe das Video von 3b1b. Sie können eine viel bessere Intuition erlangen, wenn Sie sich 3blue1browns Videos über Kalkül ansehen. Link: https://www.youtube.com/watch?v=rfG8ce4nNh0&list=PLZHQObOWTQDMsr9K-rj53DwVRMYO3t5Yr&index=8

Ihre Antwort ist falsch, weil Ihre Annahme falsch ist, warum

Sie gehen davon aus, dass die Geschwindigkeit des Zuges während dieses bestimmten Zeitintervalls von 1 Sekunde konstant ist. Es ist sehr schwierig, die Geschwindigkeit in Sekundenbruchteilen genau zu bestimmen.. Sie können es anhand des Diagramms der geraden Linie mit der negativen Steigung verstehen.

Um den Wert der Verschiebung zu erhalten, sollten Sie $ a = vdv / ds $ span> schreiben.Und integrieren Sie es in die Grenzen der Geschwindigkeit.