Obwohl ich das Video nicht gesehen habe, entspricht die Beschreibung einem alten wissenschaftlichen Trick mit Trägheit: Wenn die obere Saite reißen soll, ziehen Sie langsam.Um die untere Saite zu reißen, ziehen Sie plötzlich - die Trägheit des Gewichts „schützt“ die obere Saite für einen kurzen Moment.

Ihre Vorhersagen der sich summierenden Kräfte sind korrekt, wenn nichts beschleunigt. Denken Sie darüber nach ... Sie addieren Kräfte, richtig? Das ist es, was Sie in Newtons 1. Gesetz tun. Welches Gesetz gilt nur, wenn nichts beschleunigt.

Was wäre, wenn Ihnen gesagt würde, dass Sie das zweite Newtonsche Gesetz im zweiten Fall nicht anwenden können? Beschleunigt sich im zweiten Fall etwas?

Oder mit anderen Worten, versucht die Zeichenfolge im zweiten Fall, etwas zu beschleunigen ?

Solution

Wenn sich etwas beschleunigen sollte, befinden wir uns in Newtons 2. Gesetz. Wenn nicht, Newtons 1. Gesetz. Schreiben wir es mit den Kräften aus jeder Zeichenfolge und jedem Gewicht auf. $ w $ span> present:

$$ - F_ {up} + F_ {down} + w = ​​0 \ qquad \ qquad - F_ {up} + F_ {down} + w = ​​ma $$ span>

(Ich hoffe, es ist okay, ich habe die y-Richtung nach unten gerichtet.)

• Wenn Sie langsam nach unten ziehen, erfolgt keine signifikante Beschleunigung der Box. $ F_ {down} $ span> hat einen konstanten Wert. Alles gleicht sich aus. Das 1. Gesetz.

• Wenn Sie fast nach unten ziehen, versucht die Box, schneller zu werden, um mitzumachen. Das bedeutet groß $ a $ span>. Das erfordert große Kraft, um es zu verursachen. Und die Kraft, die zu verursachen versucht, ist der $ F_ {down} $ span>.

Sehen Sie sich diese beiden Gleichungen noch einmal an. Im ersten Fall $ F_ {up} = F_ {down} + w $ span> wird die obere Zeichenfolge unterbrochen. Im zweiten Fall $ F_ {up} = F_ {down} + w-ma $ span>. Hmm, hier wird der Teil $ ma $ span> ...

Wird $ F_ {up} $ span> kleiner ?No, natürlich nicht, es hat seine Spannung und wächst nur, wenn Sie nach unten ziehen.Vielmehr wird $ F_ {down} $ span> größer .Weil es versucht, den $ a $ span> zu verursachen.

Und wie Sie sehen, versucht es, aber es kann einfach nicht genug Kraft aufbringen, um diese Beschleunigung zu verursachen.Die notwendige Kraft in der unteren Saite ist größer als die Stärke der Saite, daher bricht sie.

Dies hat eine sehr einfache Erklärung, wenn es mithilfe der Fehlermechanik oder der Untersuchung, wie (warum) Dinge brechen, analysiert wird. Dinge brechen nicht aufgrund von Reaktionskräften, sie brechen aufgrund der inneren Kräfte aufgrund von Materialablenkung, die durch die Reaktionskräfte verursacht wird.

Die Materialauslenkung ist in diesem Fall die Änderung der Länge jeder Saite, wenn die Kraft ausgeübt wird. Diese Durchbiegung ist in Wirklichkeit sehr gering, aber wenn die untere Saite schnell gezogen wird, überschreitet die untere Saite ihre maximale Durchbiegung, bevor sie den 2-kg-Block bis zu dem Punkt beschleunigen kann, an dem die obere Saite ihre maximale Durchbiegung erreicht. Die Trägheit des Blocks ist einfach zu groß, um sie zu überwinden, und die untere Saite reißt, bevor die obere Saite Zeit zum Auslenken hat.

Wenn die Saite langsam gezogen wird, kann der 2-kg-Block die obere Saite auslenken. In diesem Fall erfährt das System die Kraftbedingungen, die der Professor an die Tafel gezogen hat. Die Spannung in der oberen Saite ist um eine Größenordnung des Blockgewichts größer als die untere, daher wird die obere Saite weiter als die untere abgelenkt, bis der Punkt maximaler Durchbiegung auftritt, an dem ein Versagen in der oberen Saite auftritt.

Dieses Problem kann quantitativ modelliert werden. Wenn wir jedoch in der bereitgestellten Beschreibung annehmen, dass die obere Zeichenfolge nicht dehnbar ist, ist das Problem statisch unbestimmt. Um dies zu überwinden, können wir die obere Saite durch eine masselose Feder ersetzen. Im Anfangszustand des Systems ist der Kraftausgleich: $$ T_ {T0} = mg $$ wobei $ T_ {T0} $ die Anfangsspannung der oberen Saite ist. Wenn x die zusätzliche Verschiebung nach unten ist, die die Masse erfährt, nachdem die Spannung auf die untere Saite ausgeübt wurde, ist die Spannung in der oberen Saite gegeben durch: $$ T_T = mg + kx $$ wobei k die (sehr hohe) Federkonstante ist. Sei F (t) die zeitabhängige Kraft, die die untere Saite auf die Masse ausübt, wobei F (t) bis zum Zeitpunkt t = 0 Null ist. Das Kraftgleichgewicht auf die Masse ist also zu Zeiten größer als t = 0 :: $$ mg + F (t) - (mg + kx) = m \ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} $$ oder $$ \ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} + \ omega ^ 2 x = \ frac {F (t)} {m} $$ wobei $ \ omega ^ 2 = k / m $.

Beschränken wir uns als nächstes auf den Fall, in dem die aufgebrachte Kraft in der unteren Saite konstant bei $ F (t) = F $ ist. Die Lösung für diesen Fall lautet: $$ x = \ frac {F} {k} (1- \ cos {\ omega t}) $$ Die zeitabhängige Spannung in der oberen Saite ist also: $$ T_T = mg + F (1- \ cos {\ omega t}) $$ und die Spannung in der unteren Saite ist $$ T_L = F $$

Beachten Sie, dass die maximale Spannung, die die obere Saite erreichen kann, mg + 2F beträgt, während die Spannung in der unteren Spannung F beträgt. Wenn also $ F>T_ {krit} $ (wobei $ T_ {krit} $ die kritische statische Aufladung ist Spannung, damit eine Saite reißt), bricht die untere Saite zuerst. Aber selbst wenn $ F<T_ {krit} $ (damit die untere Zeichenfolge nicht bricht), kann die obere Zeichenfolge (nach sehr kurzer Zeit) trotzdem brechen, vorausgesetzt: $$ F> \ frac {T_ {krit} -mg} {2} $$ Schließlich kann, wenn $$ F< \ frac {T_ {Crit} -mg} {2} $$, keine Zeichenfolge brechen.

Angenommen, die momentanen Spannungen im oberen und unteren Gewinde sind $ T_1 $ und $ T_2 $.Dann lautet die Bewegungsgleichung des schweren Blocks
$ Mg + T_2-T_1 = Ma $
also
$ T_2-T_1 = M (a-g) $.

Wenn $ a>g $, dann $ T_2>T_1 $.