Die tatsächliche Rückstellkraft in einem einfachen Pendel ist nicht proportional zum Winkel, sondern zum Sinus des Winkels (dh die Winkelbeschleunigung ist gleich $ - \ frac {g \ sin (\ theta)} {l} $, nicht $ - \ frac {g ~ \ theta} {l} $). Die tatsächliche Lösung der Differentialgleichung für das Pendel ist

$$ \ theta (t) = 2 \ \ mathrm {am} \ left (\ frac {\ sqrt {2 g + l c_1} \ left (t + c_2 \ right)} {2 \ sqrt {l} } \ bigg | \ frac {4g} {2 g + l c_1} \ right) $$

Wobei $ c_1 $ die anfängliche Winkelgeschwindigkeit und $ c_2 $ der anfängliche Winkel ist. Der Begriff, der der vertikalen Linie folgt, ist der Parameter der Jacobi-Amplitudenfunktion $ \ mathrm {am} $, die eine Art elliptisches Integral ist.

Dies unterscheidet sich erheblich von der üblichen vereinfachten Lösung

$$ \ theta (t) = c_1 \ cos \ left (\ sqrt {\ frac {g} {l}} t + \ delta \ right) $$

Die kleine Winkelnäherung gilt nur für eine Näherung erster Ordnung (durch Taylor-Erweiterung $ \ sin (\ theta) = \ theta- \ frac {\ theta ^ 3} {3!} + O (\ theta ^ 5) $).

Und das Hookesche Gesetz selbst ist ungenau für große Verschiebungen einer Feder, die dazu führen können, dass die Feder bricht oder sich verbiegt.

Das Problem hier ist weniger Kalkül als vielmehr die Annahmen, die über das System gemacht werden. Die Lösung kann nur so genau sein wie die getroffenen Annahmen, egal wie genau die Lösungen der Gleichungen sind.

Für ein Pendel, bei dem der Abstand zwischen dem Schwerpunkt und dem Ankerpunkt $ l $ und die Masse $ m $ beträgt, lautet die Bewegungsgleichung:

$$ \ frac {d ^ 2 \ theta} {dt ^ 2} + \ frac {g} {l} \ sin \ theta = 0 $$

Wobei $ \ theta $ der Winkel zwischen dem Pendel und der Vertikalen ist.

Da dies jedoch mathematisch schwierig zu lösen ist, rufen wir die kleine Winkelnäherung auf:

$$ \ sin \ theta \ approx \ theta $$

Dadurch ist die Gleichung leicht zu lösen, ihre Lösungen sind jedoch nur annähernd.

In ähnlicher Weise nehmen wir für Federmassensysteme normalerweise an, dass die Feder Hookean ist, aber für viele reale Systeme ist dies nur eine Annäherung.

Oft führen auch andere Annahmen über ein oszillierendes System wie keine Reibung / kein Widerstand zu einer weiteren Ungenauigkeit des Modells gegenüber der Realität.

Für ein Pendel verwenden Sie die Näherung $ \ sin (\ theta) \ approx \ theta $ bei der Ableitung der einfachen harmonischen Bewegungsgleichung, die nur für kleine Winkel gilt.

Für eine Feder gilt das Hookesche Gesetz selbst nur für eine relativ geringe Dehnung der Feder - eine Feder, auf die Sie das Hundertfache der Kraft anwenden, die erforderlich ist, um sie um 10% zu dehnen, ist normalerweise nicht zehnmal so lang wie sie ist.wenn es überhaupt noch in einem Stück ist.

Man muss den Unterschied zwischen dem vorgeschlagenen mathematischen Modell und dem physikalischen System, das es beschreiben wird, klar halten.

Soweit ich weiß, stammt SHM aus den Differentialgleichungen des Hookeschen Gesetzes - daher sollte es unter Verwendung von Kalkül wirklich genau sein.

Die mathematische Gleichung ist genau, da dies die Funktion der Mathematik ist.

Die Frage lautet "Kann es ein bestimmtes physisches Setup modellieren?"

Für ein Pendel verwenden Sie die Approximation sin (θ) ≈θ bei der Ableitung der einfachen harmonischen Bewegungsgleichung, die nur für kleine Winkel gilt.

Die Aussage "gilt nur für kleine Winkel" definiert die Grenzen, an denen das mathematische Modell des harmonischen Oszillators zur Beschreibung des Pendels verwendet werden kann.

Übrigens ist der mathematische harmonische Oszillator im Quantisierungsregime sehr wichtig, da die meisten symmetrischen physikalischen Potentiale, die in einer Taylorreihe erweitert wurden, als ersten dominanten Term das x haben ^ 2. Aus diesem Grund ist es ein nützliches Potenzial für viele Annäherungen an komplizierte Potenziale.

Die Differentialgleichung für den harmonischen Oszillator $$ \ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} - kx = 0 $$ ist eine Annäherung an das allgemeine Pendel. Zurück zum Elementarpendel haben wir die Grundsumme der Kräfte für die y-Koordinate, die entlang der Zeichenkette und der x-Achse senkrecht zu dieser ausgerichtet ist. Die Kräfte sind im Diagramm hier

Alle Bewegungsgleichungen sind teilweise ungenau.Der Begriff von Koordinate, Zeit, Kraft usw. ist in der Tat ungenau und liegt an uns.Wir sind uns einig, vereinfachte, idealisierte Begriffe für unsere Zwecke zu verwenden.Zum Beispiel gibt es keine zwei absolut gleichen Äpfel, so dass wir sie streng genommen nicht als zwei Äpfel zählen können.Aber wenn wir ihre Unterschiede als für uns unwesentlich akzeptieren, beginnen wir, Mathematik anzuwenden und zählen verschiedene Dinge als gleich.Mathematik ist unsere Idealisierung und Vereinfachung für praktische Zwecke.

Diese Annäherungen beruhen auf der Tatsache, dass jedes Potential in der Nähe seiner Gleichgewichtspunkte an das Federpotential angenähert werden kann, was ich beweisen werde.

Angenommen, Sie haben ein Potential $ V (x) $ und wenn $ x_0 $ ein stabiler Gleichgewichtspunkt in $ V (x) $ ist, dann ist das Potential nahe $ x_0 $ (Taylor Expansion), $$ V (x_0 + dx) = V (x_0) + V ^ {'} (x_0) dx + \ frac {1} {2} V ^ {"} (x_0) dx ^ 2 + O (dx) $$ wobei $ O (dx) $ Terme höherer Ordnung in $ dx $ bezeichnen. Da $ x_0 $ ein Gleichgewichtspunkt ist, ist $ V ^ {'} (x_0) = 0 $ und da es sich um Punkte in der Nähe von $ x_0 $ handelt, ist $ O (dx) = 0 $. Nehmen wir $ V (x_0) = 0 $ als Referenzpunkt. $$ V (x_0 + dx) = \ frac {1} {2} V ^ {"} (x_0) dx ^ 2 $$ Dies führt aber zur Gleichung: $$ md \ ddot x = -V ^ {"} (x_0) dx $$ $$ \ Longrightarrow \ omega = \ sqrt {\ frac {V ^ {"} (x_0)} {m}} $$ Aus dieser Gleichung können Sie die Winkelfrequenz für alle SHMs ableiten. Beachten Sie jedoch, dass wir die Terme höherer Ordnung von $ dx $ vernachlässigt haben, da wir angenommen haben, dass $ dx $ sehr klein ist. Diese Annahme wird in der einen oder anderen Form in allen verschiedenen Ableitungen der Formel für SHMs vorhanden sein. Für den Frühling wird es in der Taylor-Erweiterung von $ \ sin (\ theta) $ sein, für Federn ist es die Annäherung im Hookschen Gesetz. Aufgrund dieser Annäherung sind die Formeln für die meisten SHMs für große Amplituden nicht gültig.