Da viele Leute sehr seltsame Vorstellungen dazu zu haben scheinen, wollen wir dies aus einer viel einfacheren Perspektive betrachten.
Nehmen wir an, Sie haben einen Freund, der Mathematik nur auf der Ebene der Arithmetik positiver Ganzzahlen kennt. Sie versuchen, ihm von der Existenz negativer Zahlen zu erzählen, und er sagt Ihnen:
Das ist dumm, es gibt offensichtlich keine "negativen" Zahlen. Wie kann ich möglicherweise etwas so Dummes messen? Kannst du einen negativen Apfel haben? Nein, das kannst du nicht. Ich kann Ihnen einen positiven Apfel schulden, aber es gibt eindeutig keine negativen Äpfel.
Wie können Sie anfangen zu argumentieren, dass es so etwas wie negative Zahlen gibt?
Ein sehr leistungsfähiger erster Schritt ist die mathematische Konsistenz. Sie können alle abstrakten Eigenschaften auflisten, von denen Sie glauben, dass sie alles über positive Ganzzahlarithmetik charakterisieren:
- Für alle $ a, b, c $, $ a (b + c) = ab + ac $
- Für alle $ a, b $, $ a + b = b + a $, $ ab = ba $
- Es gibt eine Zahl namens $ 0 $, so dass z alle $ a $, $ a + 0 = 0 + a = a $, $ a0 = 0a = 0 $
- Es gibt eine Zahl namens $ 1 $, so dass für alle $ a $ $ 1 a = a1 = a $
(Beachten Sie, dass im ersten Gegensatz zu reellen Zahlen die erste Eigenschaft durch Induktion bewiesen werden kann und kein Axiom sein muss Aufgelistete Eigenschaften können von anderen als grundlegendere Eigenschaften nachgewiesen werden, wenn dies gewünscht wird, was im Fall der Realzahlen nicht möglich ist.)
Wenn Sie beide zustimmen, dass diese Axiome die positiven ganzen Zahlen charakterisieren Sie können vollständig zeigen, dass diese hypothetischen negativen Zahlen aufgrund ihrer formalen Eigenschaften mit den obigen Axiomen übereinstimmen. Was zeigt dies?
Die positiven Ganzzahlen können unter Hinzufügung der negativen Ganzzahlen mindestens so viel bewirken wie die positiven Ganzzahlen selbst.
( STOP Halten Sie an dieser Stelle inne, um zu erkennen, wie mächtig diese Einschränkung ist !! Wie viele andere Möglichkeiten könnte man haben, um die Arithmetik zu verallgemeinern, auf dieser Ebene , zu etwas anderem, das mit den gewünschten Eigenschaften übereinstimmt? Null. Es gibt absolut keinen anderen Weg, dies zu tun. Dies ist unglaublich suggestiv, und Sie sollten dies für den Rest des Cartoon-Arguments berücksichtigen und sehen, wie Jedes Argument, das folgt, ist insgeheim ein Aspekt dieses Arguments!)
Ihr Freund antwortet:
Sicher, Sie können solche Spielzeugmodelle aufschreiben, und sie können konsistent sein , aber sie entsprechen nicht der Realität.
Was müssen Sie Ihrem Freund noch demonstrieren, um ihn von der Gültigkeit der negativen Zahlen zu überzeugen?
Sie finden etwas anderes, was sie tun können, was Sie mit den positiven Zahlen allein nicht tun können. Sie können einfach angeben, dass jede algebraische Gleichung mit positivem ganzzahligem Wert keine Lösung hat:
$$ x + 1 = 0 $$
hat keine Lösung.
Es ist jedoch eine triviale Tatsache, dass Sie durch Ausdehnung auf die negativen Zahlen solche Gleichungen lösen können. Um Ihren Freund von der Gültigkeit negativer Zahlen zu überzeugen, müssen Sie nur zeigen, dass dies der Lösung eines ("a priori") anderen -Problems entspricht, bei dem nur positive ganze Zahlen arithmetisch berechnet wurden:
$$ x + 1 = 0 \ iff y + 1 = 1 $$
Also ist $ y = 0 $ und $ y = x + 1 $ entspricht dem anderen Problem
Um vollständig zu sein, müssen wir auch Probleme berücksichtigen, die für die Negative "einzigartig" sind, wie $ (- 1) (- 1) = 1 $, aber im Bereich der ganzen Zahlen diese sind triviale Dinge, die auf das oben Gesagte reduziert werden können. Selbst im Falle von Real ist es angesichts der anderen Dinge, die wir gezeigt haben, fast "garantiert", dass diese intuitiv offensichtlich ablaufen.
Nun, vorausgesetzt, Ihr Freund ist eine vernünftige, logische Person, er muss jetzt an die Gültigkeit negativer Zahlen glauben.
Was haben wir gezeigt?
- Konsistenz sowohl mit früheren Modellen als auch mit sich selbst
- Die Fähigkeit, neue Probleme zu lösen
- Die Reduzierung von einigen Problemen in der neuen Sprache auf Probleme in der alten Sprache
Um zu entscheiden, ob dies ein gutes Modell für ein bestimmtes System ist, müssen Sie sich die Teilmenge der Probleme ansehen, für die zuvor keine Lösung gefunden wurde, und prüfen, ob das neue vorliegt Eigenschaften charakterisieren dieses System. In diesem Fall ist das trivial, weil die Eigenschaften negativer Zahlen so offensichtlich sind. Bei der Anwendung komplizierterer Dinge zur Beschreibung der Details physikalischer Situationen ist dies weniger offensichtlich, da die Struktur der Theorie und der Experimente nicht so einfach ist.
Wie trifft dies auf die Stringtheorie zu? ? Was müssen wir zeigen, um eine vernünftige Person von ihrer Gültigkeit zu überzeugen? Nach dem obigen Argument behaupte ich:
- Die Stringtheorie reproduziert (konstruktionsbedingt) die allgemeine Relativitätstheorie
- Die Stringtheorie reproduziert (konstruktionsbedingt) die Quantenmechanik (und damit das Quanten Feldtheorie)
Die Stringtheorie ist also mindestens so gut wie die übrigen Grundlagen der Physik. Halten Sie noch einmal inne und staunen Sie, wie mächtig diese Aussage ist! Wie viele Möglichkeiten gibt es realistisch gesehen, eine Theorie, die sich auf GR und QFT reduziert, konsistent und nicht trivial zu schreiben? Vielleicht mehr als eine, aber sicherlich nicht viele!
Nun stellt sich die Frage: Was lernen wir neu? Welche zusätzlichen Einschränkungen ergeben sich aus der Stringtheorie? Welche Probleme in GR und QFT können sinnvoll als äquivalente Probleme in der Stringtheorie geschrieben werden? Welche Probleme kann die Stringtheorie lösen, die völlig außerhalb des Bereichs von GR und QFT liegen?
Nur das letzte davon ist für aktuelle Experimente unerreichbar. Der "natürliche" Bereich, in dem die Stringtheorie das Verhalten eines Experiments dominiert , liegt bei sehr hohen Energien oder gleichwertig bei sehr kurzen Entfernungen. Einfache Berechnungen zeigen, dass diese naiven Regionen durch aktuelle Experimente weit außerhalb des direkten Nachweises liegen. (Beachten Sie, dass im obigen Beispiel für negative Zahlen die Gültigkeit der "Theorie" ausschließlich im entsprechenden Bereich nicht direkt angesprochen werden musste, um ein sehr überzeugendes Argument zu liefern. Machen Sie eine Pause, um über das Warum nachzudenken!)
Theoretische "Probleme" mit den vorherigen Theorien, wie der Informationsverlust des Schwarzen Lochs, können jedoch mit der Stringtheorie gelöst werden. Obwohl diese nicht experimentell verifiziert werden können, ist es sehr naheliegend, dass sie die erwartete Lösung zulassen und zusätzlich die richtigen Theorien in den richtigen Grenzen reproduzieren.
Es gibt zwei Haupterfolge der Stringtheorie, die die anderen beiden erfüllen Anforderungen.
Mit AdS / CFT können wir rein feldtheoretische Probleme im Sinne der Stringtheorie lösen. Mit anderen Worten, wir haben ein Problem in der neuen Sprache gelöst, das wir bereits in der alten Sprache lösen konnten. Ein Bonus dabei ist, dass wir das Problem genau in einem Bereich lösen können, in dem es schwierig war, mit der alten Sprache umzugehen.
Die Stringtheorie beschränkt und spezifiziert auch das Spektrum und die Eigenschaften von Partikeln bei niedrigen Energien . Im Prinzip (und in Spielzeugberechnungen) werden alle Kopplungen, Partikelgenerationen, Partikelarten usw. angegeben. Wir kennen noch keine Beschreibung in der Stringtheorie, die uns genau das Standardmodell, aber die Tatsache, dass es die Niedrigenergie-Phänomenologie einschränkt, ist eine ziemlich aussagekräftige Aussage.
Wirklich, alles, was zu berücksichtigen ist, um einen sehr skeptischen Leser zu überzeugen, ist das Eines der folgenden Dinge ist wahr:
- Es ist möglich , dass die Stringtheorie das Standardmodell reproduziert (z. B. Lösungen mit den richtigen Eichgruppen, chiralen Fermionen usw. zulässt).
- Es ist nicht möglich für die Stringtheorie, um das Standardmodell zu reproduzieren (z. B. gibt es keine Möglichkeit, chirale Theorien aufzuschreiben, es werden nicht die richtigen Eichgruppen zugelassen usw. Dies ist beispielsweise in Kaluza-Klein der Fall Modelle.)
Ich behaupte, und es wird allgemein angenommen (aus sehr guten Gründen), dass die erste davon wahr ist. Es gibt keinen formalen, vollständigen, mathematischen Beweis dafür, dass dies der Fall ist, aber es gibt absolut keinen Hinweis darauf, dass etwas schief geht, und wir können Modelle erhalten, die dem Standardmodell sehr ähnlich sind. Darüber hinaus kann gezeigt werden, dass alle grundlegenden Merkmale des Standardmodells wie chirale Fermionen, die richtige Anzahl von Generationen usw. mit der Stringtheorie übereinstimmen.
Wir können auch fragen, was wäre das? meine, wenn die Stringtheorie falsch war? Dies würde wirklich signalisieren, dass
die Theorie mathematisch inkonsistent war (es gibt keinen Grund, dies zu glauben)
Bei a Auf der fundamentalen Ebene versagten entweder die Quantenmechanik oder die Relativitätstheorie auf ziemlich pathologische Weise, beispielsweise durch eine Verletzung der Lorentz-Invarianz oder der Einheitlichkeit. Dies würde darauf hinweisen, dass eine Theorie von allem radikal anders aussehen würde als alles, was bisher niedergeschrieben wurde; Dies ist eine sehr prekäre Behauptung - überlegen Sie, was im obigen Beispiel der Arithmetik passieren würde, wenn etwas mit der Addition "nicht stimmt".
Die Theorie ist konsistent und eine Verallgemeinerung von GR und QFT, aber irgendwie keine Verallgemeinerung in der richtigen "Grenze" in gewissem Sinne. Dies geschieht beispielsweise in der Kaluza-Klein-Theorie, wo chirale Fermionen nicht richtig niedergeschrieben werden können. In diesem Fall wird eine Lösung auch durch eine ausreichend sorgfältige Analyse vorgeschlagen (und ist ein möglicher Weg, um zur Stringtheorie zu gelangen).
Von diesen drei Möglichkeiten sind die ersten beiden äußerst unwahrscheinlich. Das dritte ist wahrscheinlicher, aber da bekannt ist, dass alle grundlegenden Funktionen angezeigt werden können, erscheint es sehr seltsam, wenn wir fast reproduzieren könnten, was wir wollen, aber nicht ganz. Dies wäre so, als ob Sie im arithmetischen Beispiel alle gewünschten Eigenschaften reproduzieren könnten, mit Ausnahme von $ 1 + (-1) = 0 $.
Wenn Sie vorsichtig sind, können Sie mein Argument formulieren auf formalere Weise, in Bezug auf das, was es genau bedeutet, eine konsistente Verallgemeinerung im Sinne einer formalen symbolischen Logik zu haben, wenn Sie möchten, und zu sehen, was "scheitern" muss, damit das Kontrapositiv des Arguments wahr ist. (Das heißt, (stuff) => Strings sind wahr, also ~ strings => ~ (stuff), und packen Sie dann die Möglichkeiten aus, was ~ (stuff) in Bezug auf seine Komponenten bedeuten könnte!)