Neben den experimentellen Ergebnissen von Michelson und Morley berücksichtigte Einstein auch die theoretischen Aspekte.
Aus Maxwells Gleichungen kann abgeleitet werden, dass die Geschwindigkeit, mit der sich elektromagnetische Wellen ausbreiten, wie folgt ist: $ c = \ left (\ epsilon_ {0} \ mu_ {0} \ right) ^ {- 1 / 2} $ span>.
Da Licht eine elektromagnetische Welle ist, bedeutet dies, dass die Lichtgeschwindigkeit gleich der Geschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen ist. $ \ epsilon_ {0} $ span> und $ \ mu_ {0} $ span> sind Eigenschaften des Vakuums und sind Konstanten, also ist $ c $ span> ebenfalls eine Konstante.
So können wir allein aus Maxwells Theorie des Elektromagnetismus bereits erkennen, dass die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum konstant sein sollte.
Andererseits sagt uns die galiläische Invarianz, dass die Bewegungsgesetze in allen Trägheitsrahmen dieselbe Form haben. Es gibt keinen speziellen Trägheitsrahmen (in Bezug auf Newtons Gesetze).
Ein weiteres Schlüsselelement ist hier die Galiläische Transformation, mit der von einem Trägheitsrahmen in einen anderen transformiert wurde.
Es ist leicht zu erkennen, dass die ersten beiden Elemente gültig sind:
- Maxwells Theorie des Elektromagnetismus - Lichtgeschwindigkeit ist konstant
- Galiläische Invarianz - Die Bewegungsgesetze haben in allen Trägheitsrahmen die gleiche Form
bedeutet, dass wir die galiläische Transformation nicht mehr anwenden können, da wir sonst einen Widerspruch bekommen. Daher muss mindestens eines dieser drei "Schlüsselelemente" falsch sein.
- Maxwells Theorie des Elektromagnetismus - Lichtgeschwindigkeit ist konstant
- Galiläische Invarianz - Die Bewegungsgesetze haben in allen Trägheitsrahmen die gleiche Form
- Galiläische Transformation
Es stellte sich heraus, dass die letzte (galiläische Transformation) falsch war. Einstein hielt die ersten beiden für richtig und baute die spezielle Relativitätstheorie auf. Die korrekte Transformation von einem Trägheitsrahmen in einen anderen unter der Annahme der Gültigkeit der Maxwellschen Theorie und der galiläischen Invarianz stellt sich als Lorentz-Transformation heraus
. Es ist schön zu überprüfen, ob sich die Lorentz-Transformation tatsächlich auf die galiläische Transformation im Limit $ v \ ll c $ span> reduziert. Deshalb ist die galiläische Transformation in gewissem Sinne nicht falsch, sondern unvollständig oder ein besonderer Fall. Wir können sagen, dass die galiläische Transformation verallgemeinert werden musste, und dies wurde erreicht, indem die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit eingeführt und die galiläische Invarianz beibehalten wurde.
Wie sagen Maxwells Gleichungen voraus, dass die Lichtgeschwindigkeit konstant ist
Maxwells Gleichungen in Differentialform:
$$ \ tag {1} \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = \ frac {\ rho} {\ epsilon_ {0}} \ label {1} $$ span >
$$ \ tag {2} \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0 \ label {2} $$ span>
$$ \ tag {3} \ nabla \ times \ mathbf {E} = - \ frac {\ partielle \ mathbf {B}} {\ partielle t} \ label {3} $ $ span>
$$ \ tag {4} \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu_ {0} \ mathbf {J} + \ mu_ {0} \ epsilon_ {0} \ frac {\ partielle \ mathbf {E}} {\ partielle t} \ label {4} $$ span>
Wir können versuchen, eine Wellengleichung im Vakuum abzuleiten. Da wir das Vakuum betrachten, haben wir keine Ladungsdichten, daher lautet die Gleichung ( $ \ ref {1} $ span>): $$ \ tag {5} \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = 0 \ label {5} $$ span>
Im Vakuum haben wir auch keine Stromdichten, daher lautet die Gleichung ( $ \ ref {4} $ span>):
$$ \ tag {6} \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu_ {0} \ epsilon_ {0} \ frac {\ teilweise \ mathbf {E}} {\ Teilweise t} \ label {6} $$ span>
Wenn wir nun die Locke auf die Gleichung anwenden ( $ \ ref {3} $ span>), erhalten wir:
$$ \ tag {7} \ nabla \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {E} \ right) = - \ frac {\ teilweise} {\ partielle t} \ left (\ nabla \ times \ mathbf {B} \ right) \ label {7} $$ span>
Wir können die Vektoridentität verwenden, um die LHS der Gleichung zu bewerten ( $ \ ref {7} $ span>):
$$ \ tag {8} \ nabla \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {E} \ right) = \ nabla \ left (\ underbrace {\ nabla \ cdot \ mathbf {E}} _ {= 0} \ right) - \ nabla ^ 2 \ mathbf {E} \ label {8} $$ span>
$$ \ tag {9} \ nabla \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {E} \ right) = - \ nabla ^ 2 \ mathbf {E} \ label { 9} $$ span>
Für die RHS der Gleichung ( $ \ ref {7} $ span>) können wir $ \ nabla \ times ersetzen \ mathbf {B} $ span> mit dem Ausdruck, den wir aus der Gleichung haben ( $ \ ref {6} $ span>):
$$ \ tag {10} - \ frac {\ partiell} {\ partiell t} \ left (\ nabla \ times \ mathbf {B} \ right) = - \ frac {\ teilweise} {\ teilweise t} \ links (\ mu_ {0} \ epsilon_ {0} \ frac {\ teilweise \ mathbf {E}} {\ teilweise t} \ rechts) = - \ mu_ {0} \ epsilon_ {0 } \ frac {\ partielle ^ 2 \ mathbf {E}} {\ partielle t ^ 2} \ label {10} $$ span>
Alles zusammen:
$$ \ tag {11} - \ nabla ^ 2 \ mathbf {E} = - \ mu_ {0} \ epsilon_ {0} \ frac {\ partiell ^ 2 \ mathbf {E. }} {\ partielle t ^ 2} \ label {11} $$ span>
$$ \ tag {12} \ nabla ^ 2 \ mathbf {E} - \ mu_ {0} \ epsilon_ {0} \ frac {\ partielle ^ 2 \ mathbf {E}} {\ partielle t ^ 2} \ label {12} = 0 $$ span>
Die allgemeine Form einer Wellengleichung lautet:
$$ \ tag {13} \ nabla ^ 2 \ mathbf {\ Psi} - \ frac {1} {v ^ 2} \ frac {\ partiell ^ 2 \ mathbf {\ Psi }} {\ partielle t ^ 2} \ label {13} = 0 $$ span>
Dabei ist $ v $ span> die Geschwindigkeit der Welle.
Gleichung ( $ \ ref {12} $ span>) beschreibt eine elektromagnetische Welle, die sich mit der Geschwindigkeit bewegt $ v = \ frac {1} {\ sqrt {\ epsilon_ {0} \ mu_ {0}}} $ span>.Da Licht eine elektromagnetische Welle ist, bedeutet dies, dass sich Licht auch im Vakuum mit dieser Geschwindigkeit ausbreitet.Und da sowohl $ \ epsilon_ {0} $ span> als auch $ \ mu_ {0} $ span> konstant sind, ist dies konstantbedeutet, dass $ \ frac {1} {\ sqrt {\ epsilon_ {0} \ mu_ {0}}} $ span> ebenfalls eine Konstante ist.Daher bewegt sich Licht im Vakuum mit einer konstanten Geschwindigkeit