Das ist eine großartige Frage! Was Sie fragen, ist eine der fehlenden Verbindungen zwischen klassischer und Quantengravitation.

Allein die Einstein-Gleichungen $ G _ {\ mu \ nu} = 8 \ pi G T _ {\ mu \ nu} $ sind lokale Feldgleichungen und enthalten keine topologischen Informationen. Auf der Ebene des Aktionsprinzips ist

$$ S _ {\ mathrm {eh}} = \ int_ \ mathcal {M} d ^ 4 x \, \ sqrt {-g} \, \ mathbf { R} $$

Der Begriff, den wir im Allgemeinen einschließen, ist der Ricci-Skalar $ \ mathbf {R} = \ mathrm {Tr} [R _ {\ mu \ nu}] $, der nur vom ersten und abhängt zweite Ableitungen der Metrik und ist wiederum eine lokale Größe. Die Aktion sagt also auch nichts über die Topologie aus, es sei denn, Sie befinden sich in zwei Dimensionen, in denen die Euler-Eigenschaft durch das Integral des Ricci-Skalars gegeben ist:

$$ \ int d ^ 2 x \, \ mathcal {R} = \ chi $$

(modulo einige numerische Faktoren). Die Schwerkraft in zwei Dimensionen ist also vollständig topologisch. Dies steht im Gegensatz zu dem 4D-Fall, in dem die Einstein-Hilbert-Aktion keine topologischen Informationen zu enthalten scheint.

Dies sollte Ihre erste Frage abdecken.

Es ist jedoch nicht alles verloren. Man kann der 4D-Schwerkraft topologische Freiheitsgrade hinzufügen, indem man Begriffe hinzufügt, die verschiedenen topologischen Invarianten (Chern-Simons, Nieh-Yan und Pontryagin) entsprechen. Der Beitrag von Chern-Simons zu dieser Aktion sieht beispielsweise folgendermaßen aus:

$$ S_ {cs} = \ int d ^ 4 x \ frac {1} {2} \ left (\ epsilon_ {ab} {} ^ {ij} R_ {cdij} \ right) R_ {abcd} $$

Hier ist ein sehr schönes Papier von Jackiw und Pi für die Details dieser Konstruktion.

Über Topologie und allgemeine Relativitätstheorie gibt es noch viel mehr zu sagen. Ihre Frage kratzt nur die Oberfläche. Aber darunter ist eine Goldmine! Ich werde jemand anderen Ihre zweite Frage beantworten lassen. Die kurze Antwort lautet "Ja".

Nur ein zusätzlicher Punkt, den ich oben nicht gesehen habe: Wenn die Raumzeit eine nicht triviale Grundgruppe hat, wird sie von einem Beobachter im Unendlichen nicht gesehen. Dies ist der Inhalt des Topologischen Zensursatzes . Die Implikation ist, dass für eine asymptotisch flache Raumzeit jede interessante Topologie hinter dem Ereignishorizont verborgen bleibt. Der Beweis des Satzes ist ziemlich überraschend einfach: Er ist mehr oder weniger eine direkte Erweiterung des Singularitätssatzes von Penrose.

Siehe:

Friedman, J. L.; Schleich, K. & Witt, D.M. Topologische Zensur Phys. Rev. Lett., American Physical Society, 1993, 71, 1486-1489

Schleich, K. & Witt, DM Singularitäten aus der Topologie und differenzierbaren Struktur asymptotisch flacher Raumzeiten http: // arxiv .org / abs / 1006.2890

Galloway, GJ. Zur Topologie des Bereichs der äußeren Kommunikation. Klasse. Quantengrav. 12 Nr. 10 (Oktober 1995) L99 (3 Seiten)

Ich kenne die Antwort nicht, aber Ihre Intuition stimmt - die Tatsache, dass die Gleichungen lokal sind, bedeutet nicht, dass die Topologie einer globalen Lösung nicht eingeschränkt werden kann . Beispielsweise impliziert $ R_ {ij} = g_ {ij} $ in der euklidischen Signatur sofort, dass die Skalarkrümmung positiv ist, was wiederum zu topologischen Einschränkungen führt. Wenn die vier Mannigfaltigkeiten Einstein und Komplex sind, muss es sich um eine Del Pezzo-Oberfläche handeln (stark eingeschränkt). Ich weiß nicht viel über die Lorentzsche Signatur, aber ich weiß, dass die PDEs ein ganz anderes Tier sind. Ich habe einige Ergebnisse zur Klassifizierung möglicher Holonomiegruppen von Lorentzschen Einstein-Mannigfaltigkeiten gesehen, aber ich weiß nichts Globales (ich weiß eigentlich überhaupt nichts).

Einstein-Gleichungen beschreiben die lokale Struktur der Raumzeit. Sie enthalten keine globalen oder topologischen Informationen.

Während ich hörte, dass einige Einschränkungen auf der Skala der Topologie aus der Krümmung des Universums abgeleitet werden können, wenn die Krümmung negativ ist. (So ​​etwas wie "scale = ganzzahliges Vielfaches von 1 / Krümmung".)

1. Nun, wenn unser Raum eine nicht triviale Topologie hat, werden sich Lichtstrahlen um unser Universum "wickeln" mehrmals und Sie können die gleichen (ähnlichen) Kopien von Galaxien sehen. Ich hörte von Leuten, die erfolglos nach solchen Ähnlichkeiten suchten.

   Auch eine nichttriviale Topologie muss zu einer gewissen Korrelation in CMB führen - auch solche Korrelationen wurden (noch?) nicht gefunden.

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Dies sind zwei unabhängige Fragen, eine mathematische und eine zu Beobachtungen.

1. Welche Einschränkungen implizieren die Einstein-Gleichungen für die globale Struktur von Raum und / oder Raumzeit? Ich kenne die allgemeine Antwort nicht, mein Eindruck ist, dass nicht so viel über Lorentzsche Mannigfaltigkeiten bekannt ist wie über euklidische Mannigfaltigkeiten. Darüber hinaus gibt es keinen Grund zu der Annahme, dass der Raum / die Raumzeit frei von Singularität ist (zumindest kennen wir viele Schwarze Löcher im Universum), und ich bezweifle, dass viel über die globale Struktur einer Mannigfaltigkeit gesagt werden kann, wenn Sie dies zulassen Singularitäten.

2. Über Beobachtungsphysik: Das einzige Beobachtbare, das ich mir vorstellen kann, das für die globale Struktur empfindlich ist, sind die niedrigen Multipole des CMB, und hin und wieder gibt es Artikel darüber das Thema, Anomalien in solchen Multipolen zu erklären (zB Geschichten über fußballförmiges Universum). Leider begrenzt die kosmische Varianz, wie ernst Sie solche Beobachtungen und Modelle nehmen können, um sie zu erklären.

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Zur Frage der Experimente und der Topologie gibt es einige Arbeiten von Glenn Starkman et al. In ihrer Arbeit suchen sie nach Strukturen in der CMB, die auf eine bestimmte Topologie für das Universum hinweisen. Es gibt einen sehr schönen Vortrag in PI zu diesem Thema sowie zu anderen Themen, die mit CMB zu tun haben. Um Ihnen einen Spoiler für die Vorlesung zu geben, haben sie in großen Winkelkorrelationen nichts gefunden.