Gesetz der großen Anzahl

Dieses Gesetz besagt lediglich, dass das Ergebnis in der Regel der erwartete Wert ist, wenn Sie einen Versuch mehrmals wiederholen.Wenn Sie beispielsweise einen 6-seitigen Würfel werfen, können Sie eines der sechs Ergebnisse 1, 2, 3, 4, 5, 6 erhalten. Der Durchschnitt der sechs Ergebnisse beträgt jedoch 3,5, und wenn Sie den 6-seitigen Würfel werfenEine Million Mal und nehmen Sie den Durchschnitt von allen, erhalten Sie höchstwahrscheinlich einen Durchschnitt von etwa 3,5.

Aber Sie 1) erhalten möglicherweise keine Zahl nahe 3,5, tatsächlich besteht eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null, dass Sie einen Durchschnitt von beispielsweise 2 oder 1 erhalten, und 2) können immer noch nicht vorhersagen, welches Ergebnis Sie erhalten werdenwenn Sie einen einzelnen Würfel werfen.

Auf die gleiche Weise können Sie möglicherweise nicht vorhersagen, wann ein einzelnes Atom zerfällt (dh wenn Sie einen einzelnen Würfel werfen), aber Sie können sehr gute Vorhersagen treffen, wenn Sie viele Atome haben (dh dem Würfeln des Atoms entsprechen)millionenfach sterben).

Zur Veranschaulichung können wir den radioaktiven Zerfall unter Verwendung verschiedener Startzahlen von Atomen simulieren.Wir bekommen so etwas:

Die beiden Diagramme zeigen den Anteil der verbleibenden Atome als Funktion der Zeit.Das untere Feld verwendet eine logarithmische Skala, um besser zu sehen, was passiert.Jede Kurve zeigt eine Simulation mit einer bestimmten Ausgangspopulation (von 1 bis 1000 Atomen). Wie Sie sehen können, konvergieren die Kurven mit zunehmender Anzahl von Atomen schnell zur Grenzkurve (in blau).Da die Anzahl der Atome bei vielen Problemen viel größer als 1000 ist, ist es sinnvoll, die Grenzkurve zur Modellierung der Atompopulation zu verwenden.

Der radioaktive Zerfall ist völlig zufällig und es ist unmöglich vorherzusagen, wann ein bestimmtes Atom zerfallen wird. Zu jedem Zeitpunkt hat jedoch jedes radioaktive Atom in einer Probe die gleiche Wahrscheinlichkeit des Zerfalls. Daher ist die Anzahl der Zerfallsereignisse (oder die Verringerung der Anzahl der Atome) $ - dN $ span> in einem kleinen Zeitintervall $ dt $ span> ist proportional zur Anzahl der Atome $ N $ span>.

Also $ - \ frac {dN} {dt} = kN $ span>. Die Lösung für diese Differentialgleichung lautet $ N (t) = N (0) e ^ {- kt} $ span>.

Wenn eine Probe eine ausreichend große Anzahl von Atomen enthält, kann ihre Anzahl als stetig behandelt werden, und es kann eine Differentialgleichung verwendet werden, um die Probenmenge zu ermitteln.

Mit anderen Worten, nach einer Halbwertszeit verbleibt aufgrund der Zufälligkeit im Prozess nicht immer genau die Hälfte der Atome. Wenn jedoch viele identische Atome zerfallen, ist es eine ziemlich gute Annäherung zu sagen, dass die Hälfte der Atome nach einer Halbwertszeit verbleibt (bei einer ausreichend großen Anzahl von Atomen ist es unwahrscheinlich, dass große Schwankungen auftreten).

Eine Zufallszahl ist lose immer Poisson-verteilt, wenn wir eine "große" Anzahl möglicher Ereignisse haben, von denen jedes "selten" und unabhängig voneinander ist. Dies kann mathematisch dargestellt werden (Poisson-Prozess nachschlagen). Da dies für die Anzahl der pro Stunde empfangenen Spam-Mails und für den Zerfall eines radioaktiven Isotops gilt, werden beide als verteilt $$ Pr (X = k) = \ frac {\ lambda ^ k e ^ {- \ lambda}} {k!} $$ span> Dabei ist $ \ lambda $ span> die (dimensionslose) Geschwindigkeitskonstante des Poisson-Prozesses, die dem Durchschnittswert $ entspricht E [X] = \ lambda $ span> sowie zur Varianz $ Var [X] = \ lambda $ span>. In der Physik ersetzen wir normalerweise $ \ lambda \ durch \ tilde \ lambda \ cdot t $ span>, wobei $ \ tilde \ lambda $ span> hat die Dimension $ s ^ {- 1} $ span>.

Um das obige Argument zu vereinfachen, könnte man sagen, dass das $ e ^ {- \ tilde \ lambda t} $ span> -Gesetz radioaktiver Isotope auf einen durchschnittlichen Effekt zurückzuführen ist .

Der zugrunde liegende Grund liegt in der Wahrscheinlichkeit von Quantenereignissen.Auf der Quantenebene hat nach einer bestimmten Zeitspanne jedes Ereignis eine bestimmte Eintrittswahrscheinlichkeit.Genau wie beim Würfeln weiß man nie, wann man eine Sechs würfelt, aber man weiß, dass derzeit eine auftaucht.Wenn Sie hunderte oder tausende Male würfeln, erhalten Sie anhand der Wahrscheinlichkeitsmathematik eine gute Vorstellung davon, wie die Verteilung der Sechser aussehen wird.

So ist es auch mit Radioaktivität.Sie wissen nie, wann ein bestimmtes Atom "eine Sechs würfeln" und zerfallen wird.Aber Sie wissen, wie die Verteilung der Zerfallsereignisse in einem Atomklumpen sein wird.

Vielleicht möchten Sie noch wissen, warum Quantenereignisse probabilistisch sind.Augh!Es ist eines der tiefsten Geheimnisse des Lebens.Die Mathematik funktioniert, das ist alles, was wir mit Sicherheit sagen können.

Der Grund dafür ist, wie wir das Problem definieren.

Wenn ich 100 einzelne identifizierbare radioaktive Partikel habe, ist meine Fähigkeit, vorherzusagen, ob eines von ihnen zerfällt oder nicht, nicht besser als zufällig. In den von Ihnen beschriebenen Situationen behandeln wir sie jedoch nicht als 100 einzelne identifizierbare radioaktive Partikel. Jeder Zerfall wird genauso behandelt wie jeder andere Zerfall.

Hier kommt der zentrale Grenzwertsatz ins Spiel. Da wir die Summe aller zerfallenen Teilchen betrachten und jeder Zerfall derselbe ist wie jeder andere, wird das Verhalten vorhersehbarer. Wir wissen nicht, welche Partikel zerfallen werden, aber wir können sicherer sein, wie viele in einem bestimmten Zeitraum zerfallen werden.

Wenn Sie eine ausreichend große Anzahl (z. B. einige Millionen Atome) erreichen, ist die Anzahl der Zerfälle in jedem Zeitrahmen äußerst vorhersehbar. Dies liegt nicht daran, dass die Radioaktivität vorhersehbarer wurde, sondern daran, dass Sie etwas messen, das vorhersehbarer ist.

Weil ein Durchschnittswert im Gegensatz zu einem einzelnen Ergebnis eindeutig ("deterministisch") ist.

Ich denke, was Sie verwirrt, ist die Art und Weise, wie wir Wörter wie "zufällig" und "unvorhersehbar" verwenden. Denken Sie an einen sechsseitigen Würfel. Der Würfel hat eine sehr spezifische Struktur. Es ist sehr symmetrisch. Aus diesem Grund können wir mit großer Sicherheit sagen, dass, wenn Sie diesen Würfel 10.000 Mal würfeln, in etwa 1/6 der Fälle eine 2 angezeigt wird.

Der radioaktive Zerfallsprozess für Milliarden identischer Atome ist wie das Rollen von Milliarden gleichmäßig strukturierter Würfel. Jedes Atom hat die gleiche Struktur und Eigenschaften. Wir können also mit großer Sicherheit sagen, welcher Anteil im Laufe der Zeit abnehmen wird. Sie wissen nichts darüber, was ein einzelner Würfelwurf bewirken wird, aber aufgrund der Struktur des Würfels können Sie etwas darüber sagen, was Sie von den Ergebnissen von zehntausend Würfeln erwarten. Atome "machen das Zerfallsexperiment" (oder in gewissem Sinne "den Würfel werfen und basierend auf diesem Wurf entscheiden, ob sie zerfallen sollen oder nicht) milliardenfach. Sie erhalten also schöne, einheitliche Ergebnisse, weil so viele identische Experimente durchgeführt werden .

Es mag sich wie ein Widerspruch anfühlen, wenn etwas so Vorhersehbares (Gesamtverfallsrate) aus etwas entsteht, bei dem jede einzelne Handlung "unvorhersehbar" ist. Die "Vorhersagbarkeit" im Fall des Würfels beruht jedoch auf der Tatsache, dass der Würfel selbst keine zufällige Sache ist - er ist sehr symmetrisch strukturiert. Ebenso sind die Eigenschaften eines bestimmten Atomtyps immer gleich. Daher kommt die Vorhersagbarkeit - sie spiegelt die Gleichmäßigkeit der Eigenschaften dieses bestimmten Atomtyps wider, genau wie die gleichmäßig verteilten 1,2,3,4,5,6 des Chips die einheitliche Struktur des Chips widerspiegeln / p>

In unseren Köpfen könnten wir "zufällig" und "unvorhersehbar" demselben Ort zuordnen, aber das täuscht ein bisschen.Für viele, viele Dinge, bei denen das einzelne Experiment ein "zufälliges" Ergebnis hat, gibt es eine zugrunde liegende Struktur oder Eigenschaft , die durchscheint, wenn Sie es genug wiederholen.Daher der offensichtliche Widerspruch, hoch vorhersehbare Ergebnisse aus einem "zufälligen" Prozess zu erhalten.

In der Physik ist es ein allgemeines Prinzip, dass eine Größe aus kollektiven Eigenschaften der Materie hervorgeht. Betrachten Sie beispielsweise "Temperatur". In der kinetischen Theorie der Gase ist die Temperatur die durchschnittliche kinetische Energie aller Gasmoleküle. Beachten Sie jedoch, dass jedes Gas selbst keine Temperatur hat.

Hier ist eine andere Art, sich das vorzustellen: Stellen Sie sich zum Beispiel vor, Sie gehen zu einem Flughafen. Wenn Sie zum Flughafen gehen und dann zu zufälligen Personen gehen und fragen: "Warum sind Sie hier?" dann würde ein angemessener Prozentsatz der befragten Personen antworten, "mit dem Flugzeug zu reisen". Es gibt aber auch Leute, die nur zum Flughafen gehen, um ihre Freunde und Familie abreisen zu sehen. Beachten Sie, dass diese Beobachtung der meisten Personen auf einem Flughafen, die im Flugzeug fliegen, ein direktes Ergebnis der Art des Ortes ist, an dem sich ein Flughafen befindet.

Hier haben wir also keine Ahnung, dass das Teilchen in naher Zukunft zerfallen wird oder nicht. Die Art und Weise, wie wir fragen, ist, dass wir experimentell ablesen, wie viel Partikel am Ende ausgelassen werden. Und diese Messwerte hängen vollständig von der Art des Partikels ab (Analogie zu Flughäfen).

Ich hoffe, dies hat Ihnen geholfen, die Idee besser zu verstehen :) Bitte hinterlassen Sie einen Kommentar, wenn ein Teil nicht klar war