Ich habe diese sehr interessante Website gerade über die Homepage von Prof. Wen entdeckt. Vielen Dank an Prof. Wen für die sehr interessante Frage. Hier ist meine vorläufige "Antwort":

Das spontane Brechen der Symmetrie im Grundzustand eines Quantensystems kann als weitreichende Verschränkung zwischen zwei weit voneinander entfernten Punkten in diesem System in jedem Grundzustand definiert werden das bewahrt die globalen Symmetrien des Systems.

Um genauer zu sein, bezeichnen Sie $ G $ als Symmetriegruppe des Systems und $ | \ Psi \ rangle $ einen Grundzustand, der eine 1d-Darstellung von $ G $ enthält. Für einen Ising-Ferromagneten ist der Grundzustand $ | \ Psi_ \ pm \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left (| \ text {all up} \ rangle \ pm | \ text {all down} \ rangle \ right) $. Betrachten Sie dann zwei Punkte 1 und 2, die durch den Abstand $ R $ im Raum getrennt sind, und zwei kleine Kugeln um die Punkte 1 und 2 mit dem Radius $ r \ ll R $, bezeichnet mit $ B_1 $ und $ B_2 $. Definieren Sie $ \ rho_1 $, $ \ rho_2 $ und $ \ rho_ {12} $ als Matrizen mit reduzierter Dichte der Region $ B_1 $, $ B_2 $ und $ B_1 + B_2 $ und entsprechend die Entropie $ S_ {1} = -tr (\ rho_1 \ log \ rho_1) $ (und ähnlich für $ 2 $ und $ 12 $). Die gegenseitige Information zwischen den beiden Regionen ist definiert als $ I_ {12} = S_1 + S_2-S_ {12} $. Wenn $ I_ {12} > 0 $ im Grenzwert $ R \ rightarrow \ infty $ für alle symmetrischen Grundzustände liegt, wird das System als in einem spontanen Symmetriebrechungszustand betrachtet.

Im Beispiel von Ising FM ist $ S_ {12} = \ log 2 $ für beide Grundzustände $ | \ Psi_ \ pm \ rangle $.

Ich fürchte, es ist nur eine Umformulierung von ODLRO, aber es könnte eine alternative Möglichkeit sein, spontane Symmetriebrechungen zu betrachten.

Diese Frage von Prof. Wen ist so tiefgreifend, dass ich mich auf eine Antwort beeilt hatte. Wie motiviert auch immer Jimmys aufschlussreiche Antwort war, ich entschied mich schließlich, mich der Diskussion anzuschließen und meine unreifen Ideen zu teilen.

1) Quanten-SSB ist eine nichtlineare Quantendynamik, die über die Beschreibung der Schordinger-Gleichung hinausgeht.

In Bezug auf das in den Kommentaren der Frage erwähnte Ising-Modell mit Querfeld mit einem kleinen B-Feld ist der Grundzustand ein Schordinger-Katzenzustand. Die Frage, wie der SSB im Grenzwert von $ B \ bis 0 $ abläuft, entspricht der Frage, wie der Katzenzustand zu einem bestimmten Zustand von Leben oder Tod zusammenbricht. Die Quantendekohärenz spielt hier die Schlüsselrolle. Die Quantendekohärenz ist jedoch eine irriversible Dynamik mit Entropieproduktion, die meines Erachtens nicht durch die lineare Dynamik der Quantenmechanik beschrieben werden kann, die die Entropie bewahrt. Um Quanten-SSB zu verstehen, müssen wir möglicherweise zuerst die Dynamik der Quantendekohärenz verstehen.

2) Quanten-SSB ist ein Ergebnis der Informationsrenormierung, die durch das Tensornetzwerk RG beschrieben werden kann.

Der Schlüssel zum Verständnis der Quantendekohärenz besteht darin, zu verstehen, wie Entropie erzeugt wurde. Es war lange Zeit ein Rätsel gewesen, woher Entropie stammt. Bis Shannon die Entropie mit Informationen in Verbindung brachte, wurde uns klar, dass Entropie aufgrund des Informationsverlusts entsteht. Informationen gehen in den Experimenten unweigerlich verloren, weil wir nur endliche Datenmengen sammeln und verarbeiten können. Da alle Experimente unter einer endlichen Energie- und Informationsskala (oder Entropieskala) durchgeführt werden, ist für Physiker nur die Theorie der niedrigen Energie und der geringen Informationseffektivität von Bedeutung. Die Renormalisierungsgruppen (RG) -Technik wurde entwickelt, um die Theorie der niedrigen Energieeffektivität erfolgreich zu erhalten. Jetzt müssen wir die informative RG entwickeln, um die Theorie der geringen Informationseffektivität zu erhalten. DMRG und Tensornetzwerk RG, die in den letzten Jahren entwickelt wurden, sind in der Tat Beispiele für Informations-RG. Quanteninformation geht durch das Abschneiden der Dichtematrix verloren, und gleichzeitig wird Entropie erzeugt, was Quantendekohärenz und Quanten-SSB ermöglicht. Wie ich weiß, kann Quanten-SSB sowohl im DMRG als auch im Tensornetzwerk RG beobachtet werden. In diesem Sinne ist Quanten-SSB kein Endzustand der Zeitentwicklung unter linearer Quantendynamik, sondern ein fester Punkt der Informations-RG des Quanten-Vielteilchen-Zustands, der nicht linear ist und über unser derzeitiges Lehrbuchverständnis von Quanten hinausgeht Mechanik.

Ich bin sicher, Prof. Wen versteht diese Frage sehr gut und veröffentlicht sie nur, um einige Diskussionen anzuregen. Also werde ich einfach meine 2 Cent geben.

Eine klassische spontane Symmetriebrechung tritt auf, wenn der klassische Grundzustand die Symmetrie des Hamiltonianers bricht. Zum Beispiel tritt für ein klassisches Ising-Modell in 1D eine spontane Magnetisierung in einer bestimmten Richtung bei niedrigem T auf, wodurch die $ S \ rightarrow-S $ -Symmetrie des Hamilton-Operators gebrochen wird bedeutet nicht unbedingt, dass der Quantengrundzustand die Symmetrie des Hamilton-Operators bricht; stattdessen wird es durch die Aufspaltung der Grundzustandsentartung signiert. Sagen wir im Fall des transversalen Ising-Modells $ H = - \ sum {S_i ^ z S_j ^ z} -B \ sum {S_i ^ x} $. Der Grundzustand des Hamilton-Operators für sehr kleine $ B $ ist die Überlagerung aller Spin-Ups und aller Spin-Downs, die immer noch die Symmetrie $ S_z \ rightarrow -S_z $ haben; Aber jetzt ist die Entartung des Grundzustands verloren - der Grundzustand ist jetzt einzigartig und weist keine zweifache Entartung mehr auf.

Dies ist nur eine vorläufige Antwort. Sie können mich also gerne korrigieren / verbessern die Antwort.

Ich denke, eine Möglichkeit, spontane Symmetriebrechungen in Quantensystemen zu visualisieren, ist folgende:

Der Hilbert-Raum der Theorie ist unendlich dimensional. Bei einem Hamilton-Operator besteht eine Methode zur Suche nach Näherungslösungen seines Spektrums darin, ein Variationsprinzip in Bezug auf einen endlichdimensionalen Hilbert-Raum von Versuchsfunktionen zu formulieren.

In vielen Fällen, wenn es eine kontinuierliche Symmetriegruppe $ G gibt $ des Hamilton-Operators kann die Mannigfaltigkeit der Versuchsfunktionen als homogener symplektischer $ G $ -Raum gewählt werden, was impliziert, dass die (Lie-Algebra von) der Symmetriegruppe alle Observablen erzeugt und der ungefähre Hamilton-Operator ein Element in der universellen Hüllalgebra ist .

Bei diesen Arten von Mannigfaltigkeiten sind die Quanten- und die klassische Dynamik sehr ähnlich und bieten eine einfache Beziehung zwischen dem klassischen und dem Quantenbild der spontanen Symmetriebrechung.

(ungefährer) klassischer Hamiltonianer auf dem Versuchsfunktionsverteiler erhält ein Minimum bei einem nicht verschwindenden Erwartungswert eines Generators, das Vakuum des Quanten-Hamiltonianers auf der Quantisierung dieses Verteilers wird degeneriert.

Bei Zeng und ich haben einen Artikel http://arxiv.org/abs/1406.5090 geschrieben, der sich mit dieser Frage befasst:

Eine Symmetriebrechungsphase für endlich Gruppe G ist eine gLU-äquivalente Klasse, die durch symmetrische Vielteilchenzustände mit GHZ-Verschränkung gebildet wird.

Mit anderen Worten, eine Symmetriebrechungsphase ist eine Menge von

1. symmetrische Zustände $ U_g \ Psi = \ Psi, g \ in G $ und
2. diese symmetrischen Zustände haben die gleiche GHZ-Verschränkung $ \ Psi = \ sum_ \ alpha \ Psi_ \ alpha, \ \ \ alpha \ in G / H, \ \ H \ \ Teilmenge G $, wobei $ \ Psi_ \ alpha $ lokal unterscheidbar sind.

Wir sagen, diese symmetrischen Zustände sind äquivalent. Die Menge der äquivalenten symmetrischen Zustände ist eine Symmetriebrechungsphase.

Also Symmetriebrechung = GHZ-Verschränkung , die durch Paare $ (G, H), \ H \ in G $ klassifiziert sind .

Genauer gesagt:

1) Ein symmetrischer Vielkörperzustand mit spontaner Symmetriebrechung impliziert, dass der Zustand eine GHZ-Verschränkung aufweist.

2) Man kann spontane Symmetriebrüche in einem symmetrischen Vielteilchenzustand erkennen, auch ohne den Gruppen- und / oder Ordnungsparameter der Symmetrie zu kennen. Man kann spontane Symmetriebrüche in einem symmetrischen Vielteilchenzustand nur mit Sonden erkennen, die die Symmetrie berücksichtigen.

3) Der symmetrische exakte Grundzustand von Ein generischer symmetrischer Hamilton-Operator hat eine spontane Symmetriebrechung, wenn er eine GHZ-Verschränkung aufweist.

Ein mögliches Verständnis von SSB in Quantensystemen könnte das folgende sein: Wir alle wissen, dass es klassisch einen Grundzustandsverteiler gibt und man den Grundzustand an einem Punkt lokalisieren kann, der die Symmetrie bricht. In Quantensystemen kann man jedoch aufgrund des Überlagerungsprinzips lineare Kombinationen bilden, die die Symmetrie wiederherstellen. SSB bedeutet jedoch, dass es für die Niedrigenergiezustände eine bestimmte Basis gibt (die "klassischen" Zustände), so dass, wenn man die Matrixelemente lokaler physikalischer Operatoren (Operatoren mit lokaler Unterstützung) zwischen verschiedenen Basen betrachtet Zustände, in denen sie immer in der thermodynamischen Grenze verschwinden. Dies kann eine Quantencharakterisierung von SSB liefern, obwohl ich nicht ganz sicher bin, dass dies ausreichend und notwendig ist. Der Effekt der endlichen Größe kann berücksichtigt werden, indem berücksichtigt wird, wie die Matrixelemente mit der Systemgröße skaliert werden.

Offensichtlich weist die obige Definition eine gewisse Handbewegung auf, da es sich um eine "Basis" für nur niedrige Energie handelt Zustände. Aber ich finde es immer noch eine nützliche Möglichkeit, SSB zu verstehen.

Eine Möglichkeit, das Quantensystem zu untersuchen, das eng mit der Diskussion in der klassischen Physik übereinstimmt, besteht darin, die (quanten-) effektive Aktion zu verwenden: Berechnen Sie die Partitionsfunktion $ Z [B] $ als Funktion des externen Feldes. Dann ist $ \ beta \ log (Z) $ die freie Energie $ F $ und $ \ partiell F / \ partiell B $ ist die Magnetisierung $ m $. Führen Sie nun eine Legendre-Transformation durch, um die quantenwirksame Aktion $ \ Gamma [m] $ zu erhalten. Dann suchen wir nach einer effektiven Aktion, die die Form des Physik-Stackexchange-Logos hat (mit der üblichen Einschränkung, dass die effektive Aktion genau genommen immer konvex ist).

Sofern SSB bei räumlicher Trennung eine willkürlich weitreichende Ordnung verursacht oder dieser entspricht, kann dies im Hinblick auf eine Verletzung der Clusterzerlegung verständlich sein. Als solches entspricht SSB der Existenz eines Satzes von Vakuumvektoren im Hilbert-Raum, der unter der Wirkung der Feldoperatoren unveränderlich ist (innerhalb des axiomatischen Wightman-Ansatzes besteht ein Teil des Beweises des Wightman-Rekonstruktionssatzes darin, diese Clusterzerlegung zu zeigen , eine Eigenschaft der VEVs, entspricht der Reduzierbarkeit des Hilbert-Raums.

Immer wenn die Observablen einer Theorie eine nichttriviale Teilmenge der Menge von Operatoren sind, die sein können Konstruiert aus den Feldoperatoren, typischerweise weil die Observablen unter der Wirkung einer gewissen Symmetrie unveränderlich sein müssen, wird der Vakuumzustand unter der Wirkung der Observablen reduzierbar sein und es wird eine Verletzung der Clusterzerlegung vorliegen.

Die Clusterzerlegung wird weitgehend durch die Einführung von Messfeldern wiederhergestellt (was ich nicht als Teil von SSB betrachte, obwohl man SSB natürlich auch als Einführung von Messfeldern betrachten könnte). Für mich ist nicht klar, ob die Clusterzerlegung durch die Einführung von Messfeldern vollständig wiederhergestellt wird.

BEARBEITEN: Dies ist für mich mäßig intuitiv, aber ich konzentriere mich auf Ihren letzten Absatz Ich denke, es wird den meisten Menschen nicht als Bild erscheinen - und für mich ist es nur ein kleines Bild. Ich nehme an, dass es hauptsächlich von der algebraischen Intuition abhängt.

Die beste Antwort, die ich gefunden habe, ist arXiv: 1205.4773v1

Spontaner Symmetrie-Zusammenbruch in der nicht-relativistischen Quantenmechanik

R. Munoz, A. Garcia-Quiroz, Ernesto Lopez-Chavez, Encarnacion Salinas-Hernandez . Es wird ein einfaches quantenmechanisches Spielzeugmodell (ein Spinor auf der Linie, der einer magnetostatischen Wechselwirkung unterliegt) vorgestellt, der den spontanen Zusammenbruch einer internen Symmetrie zeigt.

Kommentare: 19 Seiten, 5 Abbildungen. Hinweis für den arXiv-Administrator: Wesentliche Textüberlappung mit arXiv: 1111.1213

Das Analogon sind Superselektionssektoren. Wenn eine Symmetrietransformation, die auf einen Quantenzustand einwirkt, ihn in einen anderen Überauswahlzustand versetzt, sagen wir, dass die fragliche Symmetrie spontan gebrochen ist.

Die Antwort ist in Dekohärenz. Wenn bei klassischen Systemen ein Subsystem eine Symmetrie bricht, bricht das Gesamtsystem auch die Symmetrie. Nicht so in der Quantenmechanik wegen Verschränkung. Hier liegt die Komplikation.

Denken Sie an Zureks Zeigerzustände. da liegt der Hinweis. Ich kann Ihnen einen Quantenzustand mit vielen Körpern geben, der unter der fraglichen Symmetrie buchstäblich invariant ist, aber wenn er sich in dekohärente Zeigerzustände zerlegt, die nicht invariant sind, können Sie gerne sagen, dass die Symmetrie spontan gebrochen ist? Die Analyse von zurek funktioniert jedoch nur für offene Systeme.

Kann dies für endliche geschlossene Systeme funktionieren? leider nein wegen poincare rezidiven. Wir könnten naiv denken, dass eine Symmetrie spontan gebrochen ist, aber warten Sie lange genug und die geringfügigen (oder nicht so geringfügigen) Energiedifferenzen zwischen den verschiedenen Energieeigenwerten, die verschiedenen Irreps entsprechen, führen zu einem Auswaschen der Phasendifferenzen in den Energieeigenzuständen

Wie lauten die Zeigerzustände von zurek? diejenigen, die Informationen am längsten in der Zeit aufbewahren und gleichzeitig die dynamische Erzeugung von Verstrickungen mit der Umgebung minimieren. Manchmal erzeugt eine Zeigerzustandsinvariante unter einer Symmetrie eine stärkere Verschränkung mit der Umgebung als eine nicht invariante.

Komplikationen gibt es zuhauf. Nehmen Sie eine Sammlung von Helium-4-Atomen bei niedriger Temperatur. Superfluidphase. u (1) Symmetrie entsprechend der Anzahl der he-4-Atome. Legen Sie die Atome in eine sehr versiegelte Schachtel, in der nicht einmal ein einziges He-4-Atom passieren kann, sondern Informationen passieren können. idealisiert, ja, aber ertrage es mit mir. Quantenzustand mit einem festen spezifischen Wert für die Anzahl der he-4-Atome. invariant unter u (1)? Was sind die Zeigerzustände? leider nicht kondensierte Zustände mit einer Überlagerung in der Anzahl der he-4-Atome? aber die dynamische Erzeugung von Umweltverschränkungen bleibt in beiden Fällen ohnehin gering: feste Atomzahl und Kondensat. nur dass über sehr lange Zeiträume festes Atom num etwas mehr Verschränkung hat. weil dynamische Prozesse, die für die Gesamtzahl der he-4-Atome empfindlich sind, dominieren, aber nur wegen der absoluten Unterdrückung der Permeabilität. unrealistisch, nein?

aber lockern. Box leicht durchlässig machen. Lass nur ein oder zwei he-4-Atome nach relativ langer Zeit passieren. voila? Änderungen des Zeigerzustands zugunsten von Kondensaten? schon verwirrt? Die Anzahl der He-4-Atome in der Umgebung ist überlagert mit der Anzahl der He-4-Atome in der Box. DIE UMGEBUNG!!! Die Symmetrie muss in der Umgebung gebrochen werden, nicht im System.

Aber was ist mit dem Universum als Ganzes? Es hat keine äußere Umgebung. aah, aber es gibt keine globalen Symmetrien in der Quantengravitation. ok, was ist dann mit Eichsymmetrien? Oh Mann, noch eine riesige Dose Würmer. Was ist spontane Symmetriebrechung in QUANTUM GAUGE-Systemen?, die einen weiteren Wert wert ist. Frage.