Komplexe Zahlen werden in der gesamten Mathematik verwendet und daher auch in anderen Bereichen, die Mathematik erfordern. nicht nur Physik, sondern auch Ingenieurwesen und andere Bereiche. Der Versuch, einer komplexen Zahl eine "physikalische Interpretation" zuzuweisen, wäre wie das Zuweisen einer physikalischen Interpretation zu einer reellen Zahl, beispielsweise der Zahl 5.

Eine komplexe Zahl ist nur eine Erweiterung einer reellen Zahl. Viele von uns wurden in der Grundschule über die " Zahlenlinie" unterrichtet, die nur eine Zeile ist, die (um Wikipedia zu zitieren) als Abstraktion für reelle Zahlen dient. Als Linie ist sie eindimensional. Komplexe Zahlen sind gleich, außer dass sie zweidimensional sind: Anstatt durch eine eindimensionale reelle Zahlenlinie beschrieben zu werden, werden sie durch eine zweidimensionale " komplexe Zahlenebene" beschrieben. Die Verwendung von $ i $ span> für die imaginäre Achse (wobei $ i ^ 2 = -1 $ span>) eine Mathematik ist Bequemlichkeit, die die zweidimensionalen komplexen Zahlen außerordentlich nützlich macht.

Komplexe Zahlen werden i> in der "Makro" -Physik verwendet.Sie werden zur Analyse elektrischer Schaltkreise (insbesondere bei Wechselstrom) und zur Fluiddynamik verwendet.Die Lösung von Differentialgleichungen wird vereinfacht, wenn komplexe Zahlen verwendet werden, ebenso wie die Fourier-Analyse.Jedes Szenario mit periodischen oder zyklischen Funktionen kann mit komplexen Zahlen modelliert werden.

Das grundlegende Objekt in der Quantenmechanik ist die Amplitude , die Informationen darüber codiert, wie ein System von einem Zustand in einen anderen übergeht. Wenn Sie beispielsweise ein Doppelspaltexperiment durchführen, ist es Ihnen möglicherweise wichtig, wie ein Elektron vom eingehenden Vorspaltzustand in einen Zustand übergeht, in dem es auf eine bestimmte Stelle trifft. $ x $ span> am Detektor. Für jeden unterschiedlichen Ergebniszustand gibt es eine andere Amplitude $ \ mathcal {M} _x $ span>.

Amplituden sind uns wichtig, weil sie uns über Wahrscheinlichkeiten informieren können. Nach der Born-Regel ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Elektron am Ort $ x $ span> landet, durch den absoluten Wert des Quadrats der Amplitude $ P (x) = | \ mathcal {M} _x | ^ 2 $ span>.

Die Wahrscheinlichkeit ist eine nicht negative reelle Zahl, aber welche Art von Objekt sollte die Amplitude darstellen? Eine positive reelle Zahl? Irgendeine reelle Zahl? Ein Paar reelle Zahlen? Eine komplexe Zahl? Ein noch abstrakteres mathematisches Objekt?

In diesem Artikel wird die Frage beantwortet, indem festgestellt wird, dass Amplituden unterschiedlichen Experimenten entsprechen und Experimente auf verschiedene Weise miteinander verkettet werden können. Daher müssen wir in der Lage sein, zwei Amplituden zu kombinieren, um eine dritte Amplitude zu erhalten. und wir müssen in der Lage sein, sie auf mindestens zwei verschiedene Arten zu kombinieren. Das Papier beweist dann, dass, wenn Sie Amplituden als Paare von reellen Zahlen darstellen, die Operationen, die dem Kombinieren von Experimenten entsprechen, genau wie komplexe Addition und komplexe Multiplikation wirken.

Das Papier beantwortet nicht die Frage, warum Amplituden Paare von reellen Zahlen statt einzelner reeller Zahlen oder Tripel oder etwas Komplexeres sein sollten, aber es ist ein guter Ausgangspunkt, um zu sehen, wie komplexe Arithmetik aus der Logik von herausfällt Quantenexperimente

P.S.Die Verwendung einzelner reeller Zahlen für Amplituden kann das Einzelspalt- / Doppelspaltexperiment nicht erklären, bei dem das Hinzufügen eines zweiten Spaltes zu Nullen in der Wahrscheinlichkeitsverteilung führt, die in der Einzelspaltwahrscheinlichkeitsverteilung nicht vorhanden waren.Die Verwendung eines reellen Zahlenpaars (oder einer komplexen Zahl) ist das nächst einfachere System, das dieses Verhalten erklären kann.

Komplexe Zahlen wie jede Zahl allein sagen überhaupt nichts über Physik aus. Es muss an eine oder mehrere Maßeinheiten gebunden sein oder eine genau definierte Definition in der Physik haben.

Beispielsweise wird der komplexe Brechungsindex in der Physik wie folgt definiert:

$$ {\ displaystyle {\ underline {n}} = n + i \ kappa.} $$ span>

Hier wird der Imaginärteil $ \ kappa $ span> definiert als Dämpfungskoeffizient - materieller Widerstand gegen das Eindringen von Lichtwellen

EDIT

Komplexe Zahlen werden intensiv zur Beschreibung von jeder Art von Wellen verwendet, da Sie Wellenamplitude und Wellenphase in einer einzigen Wellenamplitude mit komplexen Werten zusammenfassen können:

$$ Z = Ae ^ {i \ phi} $$ span>

Die meisten Dinge, die mit Wellen zusammenhängen, können also zumindest theoretisch in komplexen Zahlen ausgedrückt werden.
Zum Beispiel kann - komplexer Brechungsindex folgendermaßen auf andere Welleneigenschaften zurückgeführt werden: $$ \ underline {k} = 2 \ pi \ underline {n} / λ_0 $$ span> Dabei ist $ \ underline {k} $ span> eine komplexe Wellenzahl

BONUS

Ein weiterer Grund, warum komplexe Ebenen attraktiv sind - Sie können mehr rechnen, wenn Sie nicht an reelle Zahlen gebunden sind. Sie können beispielsweise sogar einen natürlichen Logarithmus der negativen reellen Zahl verwenden: $$ \ ln (-x) = \ ln (x) + \ pi \ space \ textrm {i} $$ span>

was zu einer komplexen Zahl führt! Vertrauen Sie also niemals Ihrem Taschenrechner

Komplexe Zahlen sind nur eine bequeme Möglichkeit, einen zweidimensionalen Vektor darzustellen.Sie werden in allen möglichen alltäglichen Situationen verwendet, in denen Sie eine X- und eine Y-Komponente oder eine Größe und eine Phase haben.

Komplexe Zahlen machen zwei offensichtliche Dinge. Wenn Sie sie als 2D-Vektoren in einer Ebene betrachten, beginnend an Ihrem beliebigen Punkt (0,0), ist das Hinzufügen komplexer Zahlen eine Vektoraddition.

Und wenn Sie sie als Winkel von einem beliebigen Polarkoordinatenwinkel (0,1) betrachten, erhalten Sie beim Multiplizieren von zwei davon die Summe der Winkel (und das Produkt der Größen).

Dies kann nützlich sein, wenn Sie etwas haben, das wie eine 2D-Ebene funktioniert und in dem Sie Vektoren oder Winkel hinzufügen möchten.

So kann beispielsweise ein Pendel kinetische Energie und potentielle Energie haben, und meistens ist die Summe davon konstant. Es handelt sich um zwei verschiedene Dinge, sodass Sie sie in einer 2D-Ebene als Kreis darstellen können, dessen Radius die Gesamtenergie ist. Wenn Sie von einem zum anderen konvertieren, bewegt es sich um den Kreis. Sie können seine Bewegung mit komplexen Zahlen darstellen.

Sie können dies mit allem tun, was zwischen zwei Formen hin und her konvertiert, aber manchmal ist die Berechnung komplexer Zahlen einfacher als zu anderen Zeiten.

Manchmal passen Dinge zu Rotationen in vier Dimensionen, und dann können Sie Quaternionen verwenden, als würden Sie komplexe Zahlen für zwei Dimensionen verwenden. Sie können elliptische Bahnen einfach mit Quaternionen darstellen - noch einfacher, als Sie sie für 3D-Rotationen verwenden können. Für jeden Winkel entlang der Umlaufbahn können Sie die 3D-Position und auch die Zeit abrufen - wie weit sie vor oder hinter der Zeit liegt, die sie in einer kreisförmigen Umlaufbahn erreichen würde.

Verwenden Sie die Mathematik, wo immer sie passt.

Wenn positive reelle Zahlen Vorwärtszahlen und negative reelle Zahlen Rückwärtszahlen sind, sind imaginäre Zahlen Seitwärtszahlen.

In Bezug auf Winkel könnte man sich positive reelle Zahlen mit einem Winkel von 0 ° vorstellen, negative Zahlen mit einem Winkel von 180 ° und seitwärts oder imaginäre Zahlen bei ± 90 °. Dies ist in der Elektrotechnik nützlich, wenn Impedanzen angegeben werden. Eine Impedanz ist die Wechselstromversion des Widerstands in einem Gleichstromkreis. Es hat eine unruhige Komponente, die den Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung nicht ändert, und eine Reaktanz, die den Winkel zwischen ihnen um ± 90 ° ändert. (Das Vorzeichen hängt davon ab, ob die Reaktanz Kapazität oder Induktivität ist.)

Wenn Sie beide zu einer „Zahl“ kombinieren möchten, können Sie komplexe Zahlen verwenden, bei denen der Realteil der Widerstand und der Imaginärteil die Reaktanz ist. Formeln funktionieren dann weiterhin wie die einfachen Ohmschen Gesetze, die Widerstand verwenden, aber stattdessen komplexe Zahlen verwenden. Sowohl Widerstand als auch Reaktanz werden gleichzeitig berücksichtigt.

Grundsätzlich können imaginäre Zahlen überall dort nützlich sein, wo Sie Dinge haben, die in irgendeiner Weise um 90 ° voneinander entfernt sind. Dies können x- und y-Koordinaten sein oder wenn sowohl Sinus- als auch Cosinuswellen auftreten.

Wenn Sie also zweidimensionale Zahlen benötigen, könnten diese der richtige Weg sein. Bei drei oder mehr dimensionalen Zahlen würden Sie wahrscheinlich zu Tensoren übergehen.

Bei sinusförmigen Funktionen, die wie in Wechselstromkreisen oder Wellen phasenverschoben sind, ist es normalerweise möglich, die Gleichungen in eine Form zu bringen, die der Addition der x-Komponenten von zwei oder mehr Vektoren ähnelt, um die x-Komponente von zu erhaltenresultierender Vektor.Man kann sich vorstellen, dass sich die Vektoren in einer 2D-Ebene drehen.Es ist oft bequemer, mit den Vektoren als mit den Komponenten zu arbeiten.Wenn die Vektoren in einer xy-Ebene dargestellt werden, sind nur die x-Komponenten von Bedeutung.Wenn sie in der komplexen Zahlenebene visualisiert werden, werden sie leicht durch komplexe Funktionen dargestellt, aber in den meisten Fällen haben wiederum nur die realen Komponenten der Vektoren physikalische Bedeutung.

Entschuldigen Sie eine lange Geschichte, die nur den Titel Ihrer Frage (und nicht die inneren Fragen) behandelt.

Ich erinnere mich an das erste Mal, als ich in der Schule mit komplexen Zahlen bekannt wurde. Der Lehrer (für Mathematik, nicht für Physik) erklärte uns, wie man quadratische Gleichungen löst ( a.x ^ 2 + b.x + c = 0 ). Nachdem er uns die Methode gegeben hatte, fand er die bekannte Lösung für die Wurzeln: $$ x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} $$ span>

Natürlich dauerte es nicht lange, bis ein kluger Schüler dem Lehrer sagte: "Hey, aber was passiert dann, wenn der Ausdruck in der Quadratwurzel negativ ist?" Wenn Sie beispielsweise x ^ 2 + 1 = 0 lösen, sind Ihre Wurzeln: $$ x = \ frac {\ pm \ sqrt {-4}} {2} $$ span>

Alle ( oder die meisten ) der Klasse verstanden das Rätsel und kratzten sich am Kopf, da sie sicher waren, dass keine Zahl quadriert werden konnte und ein negatives Vorzeichen hatte ...

Der Lehrer fuhr völlig ungestört fort: "Es ist kein Problem, wir können Werkzeuge dafür herstellen. Verwenden wir einfach eine Menge i , die wie i ^ 2 = -1 definiert ist. Code> ". Und er fuhr fort, die komplexen Zahlen und Regeln in der komplexen Ebene einzuführen.

Wieder dauerte es nicht lange, bis eine Stimme des verblüfften Publikums rief: "Dies ist also eine verschlungene Methode, um Regeln zu umgehen, die Sie uns zuvor beigebracht haben (wie eine quadratische Zahl immer positiv sein wird). Was nützt das? Warum zu einer solchen Komplexität gehen? ( kein Wortspiel beabsichtigt, obwohl ich mich jetzt frage, wie die komplexen Zahlen ihren Namen von ursprünglich erhalten haben).

Also hat der Lehrer es so ausgedrückt:

Es gibt viele physikalische Gleichungen, die einem quadratischen Gesetz folgen, oder noch kompliziertere Gesetze, bei denen die Lösungen Quadratwurzeln beinhalteten von potenziell negativen Zahlen und (vor den komplexen Zahlen) die Ärzte konnten ihr System nicht vollständig lösen, so dass sie asked Mathematiker definieren eine neue domain (größer als der Real Domäne), wo diese Systeme lösbar wären. Die komplexen Zahlen sind Die Mathematiker von tool haben sich das ausgedacht.

Inzwischen ist mein Verständnis der komplexen Zahlen etwas tiefer, aber diese einfache Beschreibung gilt immer noch. Die komplexen Zahlen sind nur a mathematisches Werkzeug. Eine komplexe Zahl hat kein anderes physikalisches Äquivalent als das, das Sie ihnen geben.

Gleiches gilt für die Real -Nummern. Ich arbeite mit einem Multisensor-Tool, das 10 verschiedene Parameter parallel misst. Die Ausgabe für jeden ist nur eine Liste von Zahlen, nur ich weiß das:

• Die erste Zahl steht für ein Gewicht in [N] ,
• Der zweite ist ein Moment in [N.m]

Alle verschiedenen physischen Dimensionen, aber auf meinem Bildschirm sind sie alle nur numbers. Nur in meinem Kopf weiß ich, dass diese dies darstellt, diese diese ...

Für komplexe Zahlen haben Sie 2 Komponenten. Jedes kann eine andere physikalische Dimension darstellen (elektrisches Feld und magnetisches Feld für EM). Der Teil i ist nur das mathematische Werkzeug, mit dem Sie diese Zahlen in einer eleganteren Form behandeln können (da Sie jede Komponente auch separat mit reellen Zahlen beschreiben könnten, die Gleichungen jedoch sehr hässlich werden). Das i an sich bedeutet physikalisch nichts.

Es ist eine gute Idee, sich die imaginären Zahlen als Zahlen senkrecht zu den Realzahlen vorzustellen.Das Multiplizieren eines reellen Wertes mit -1 "dreht" ihn um 180 ° auf der Linie der reellen Zahlen.Durch Multiplizieren eines Reales mit i wird es um 90 ° gedreht, sodass es auf der imaginären Linie landet.Durch erneutes Multiplizieren mit i wird es um 90 Grad weiter gedreht, sodass es wieder auf der realen Achse landet.Daher ist i * i = -1.Das ist alles unglaublich einfach, aber ich gehe gerne komplexe Zahlen in komplizierteren Szenarien mit komplexen Exponentialen, Differentialgleichungen usw. an.

Am Ende sind imaginäre Zahlen nicht "unphysischer" als negative Zahlen.Negative Zahlen erweitern die Linie der positiven Realzahlen, indem sie links einige Zahlen hinzufügen, und imaginäre Zahlen erweitern die Realzahlen, indem sie einige Zahlen senkrecht hinzufügen.Die Verwendung sowohl negativer als auch imaginärer Zahlen könnte aus Gleichungen eliminiert werden, würde sie jedoch viel weniger bequem machen.