Es sei ein Quantensystem mit Hamiltonian $ H $ span> gegeben. Angenommen, das System belegt einen reinen Zustand $ | \ psi (t) \ rangle $ span>, der durch die Hamilton-Evolution bestimmt wird. Für jeden beobachtbaren $ \ Omega $ span> verwenden wir die Kurzform $$ \ langle \ Omega \ rangle = \ langle \ psi (t ) | \ Omega | \ psi (t) \ rangle. $$ span> Man kann zeigen, dass (siehe Gleichung 3.72 in Griffiths QM) $$ \ sigma_H \ sigma_ \ Omega \ geq \ frac {\ hbar} {2} \ left | \ frac {d \ langle \ Omega \ rangle} {dt} \ right | $$ span> wobei $ \ sigma_H $ span> und $ \ sigma_ \ Omega $ span> sind Standardabweichungen $$ \ sigma_H ^ 2 = \ langle H ^ 2 \ rangle- \ langle H \ rangle ^ 2, \ qquad \ sigma_ \ Omega ^ 2 = \ langle \ Omega ^ 2 \ rangle- \ langle \ Omega \ rangle ^ 2 $$ span> und spitze Klammern bedeuten Erwartung in $ | \ psi (t) \ rangle $ span>. Daraus folgt, dass wenn wir $$ \ Delta E = \ sigma_H definieren, \ qquad \ Delta t = \ frac {\ sigma_ \ Omega} {| d \ langle \ Omega \ rangle / dt |} $$ span> dann erhalten wir die gewünschte Unsicherheitsrelation $$ \ Delta E \ Delta t \ geq \ frac {\ hbar} {2} $$ span> Es bleibt die Menge $ \ Delta t $ span> zu interpretieren. Hier erfahren Sie, wie lange es ungefähr dauert, bis sich der Erwartungswert eines Observablen um eine Standardabweichung ändert, sofern sich das System in einem reinen Zustand befindet. Um dies zu sehen, beachten Sie, dass wenn $ \ Delta t $ span> klein ist, in einer Zeit $ \ Delta t $ span> wir haben $$ | \ Delta \ langle \ Omega \ rangle | = \ left | \ int_t ^ {t + \ Delta t} \ frac {d \ langle \ Omega \ rangle} {dt} \, dt \ right | \ approx \ left | \ frac {d \ langle \ Omega \ rangle} {dt} \ Delta t \ right | = \ left | \ frac {d \ langle \ Omega \ rangle} {dt} \ right | \ Delta t = \ sigma_ \ Omega $$ span>

Die Zeit-Energie-Unsicherheitsrelation (und andere zeitlich "beobachtbare" Unsicherheitsrelationen, die konstruiert werden können) hat (als) nicht die gleiche Bedeutung wie kanonische Unsicherheitsrelationen . Bedeutet Unsicherheitsrelationen, die aus kanonischen dynamischen Variablen / Observablen (im Hamiltonschen Sinne) wie Position und Impuls berechnet werden, da Zeitparameter kein Observable und auch kein Operator in QM / QFT-Formalismen.

Tatsächlich gibt es verschiedene Ansätze und Interpretationen der Zeit-Energie-Unsicherheit. Zum Beispiel:

1. Energiedispersion ($ \ Delta E $) eines Zustands und Lebensdauer ($ \ Delta t $ oder $ \ tau_s $) des Zustands selbst.

2. Energieaustausch ($ \ Delta E $) und Zeitrahmen ($ \ Delta t $), in dem dies geschehen kann.

3. Energiemessung ($ \ Delta E $) und Zeit ($ \ Delta t $), die für die Genauigkeit benötigt werden (obwohl dies streng umstritten ist, siehe unten)

4. .. andere ähnliche oder spezialisierte Formulierungen der obigen

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In L. Mandelstam und I. Tamm, "Die Unsicherheitsbeziehung zwischen Energie und Zeit in der nichtrelativistischen Quantenmechanik", J Phys (UdSSR ) 1945 zeigen sie, wie man zeitbeobachtbare Unsicherheitsrelationen für jedes beobachtbare $ A $ mit

$$ \ Delta t = \ tau_A = \ frac {\ Delta A} {d \ left<A \ right> ableiten kann / dt} $$

Zeit- und Zeit-Energie-Unsicherheit wird in der (quanten- / gemischten) statistischen Mechanik von Systemen häufig verwendet, da sie Halb- und Lebenszeiten von Zuständen und Übergängen in Beziehung setzt (muss gefunden werden) einige Referenzen)

Eine Analyse verschiedener Formulierungen von Zeit-Energie-Unsicherheitsrelationen findet sich in:

Jan Hilgevoord, Das Unsicherheitsprinzip für Energie und Zeit I

und

Jan Hilgevoord, Das Unsicherheitsprinzip für Energie und Zeit II

Zusammenfassung:

Das Unsicherheitsprinzip für Energie und Zeit sind keine kanonischen Unsicherheitsrelation, weil sie nicht auf kanonischen Hamilton-Variablen basiert / erzeugt wird, sondern stattdessen Streuung und Lebensdauer eines Zustands ausdrückt. Es gibt eine Verwirrung zwischen einer kartesischen Raumzeit $ x, t $ (als Parameter verwendet) und kanonischen Positionen und Impulsen ($ q, p $), die Funktionen dieser Parameter sind (in einigen Fällen jedoch einfach, wie $ q = x) $)

Die Zeit-Energie-Beziehung hat eine andere Interpretation und Ableitung als die Unsicherheitsbeziehung für nicht pendelnde Operatoren. Versuchen Sie John Baez für eine Erklärung, aber grob gesagt misst $ \ delta t $ die Zeit, die benötigt wird, bis sich der Erwartungswert eines Operators merklich ändert.

Zusätzlich zu Joshphysics 'präziser Antwort erwähnen wir eine andere Interpretation (die, auf die sich Ben Crowell in seinem Kommentar zu derselben Antwort bezieht).

Es gibt eine Formel aus der zeitabhängigen Störungstheorie, die gibt die Wahrscheinlichkeit eines induzierten Übergangs von einem Anfangszustand $ \ lvert i \ rangle $ zu einem Endzustand $ \ lvert f \ rangle $ mit Energiedifferenz $ \ hbar \ omega_ {if} $ an. Der Übergang soll durch eine harmonische Störung induziert werden: $$ V = \ cal Ve ^ {i \ omega t} + \ cal V ^ \ dagger e ^ {- i \ omega t}, $$ und die Formel lautet: für die Absorption, dh Übergang zu einem höheren Energieniveau: $$ P_ {i \ zu f} (t; \ omega) = \ dfrac {\ lvert \ cal V _ {fi} \ rvert ^ 2} {\ hbar ^ 2} \ dfrac {\ sin ^ 2 (\ frac {\ omega _ {fi} - \ omega} {2} t)} {(\ frac {\ omega _ {fi} - \ omega} {2}) ^ 2}. $ $

In Abhängigkeit von $ t $ für festes $ \ omega $ wächst die Wahrscheinlichkeit für kleine $ t $ quadratisch und erreicht ihr Maximum bei $ t $, gegeben durch: $$ \ frac {\ lvert \ omega _ {fi} - \ omega \ rvert} {2} t = \ frac {\ pi} {2}, $$ das heißt: $$ t \ Delta E = \ frac {h} {2}, $$ where $$ \ Delta E = \ lvert E_f -E_i - \ hbar \ omega \ rvert. $$

Angenommen, ich versuche, einen Übergang zwischen zwei Energieniveaus $ i, f $ eines Atoms durch zu bewirken Senden Sie etwas Strahlung mit der Frequenz $ \ omega $ darauf. Dann ist $ \ Delta t $ die Reihenfolge der erforderlichen Länge der Interaktion, um eine konsistente Wahrscheinlichkeit eines Übergangs zu haben (beachten Sie, dass die obige Formel für $ P_ {i \ zu f} $ bei $ t = t _ {\ text sinnvoll ist {max}} $ nur wenn $ | V _ {fi} | \ ll \ Delta E $).

Anstatt $ \ omega $ zu fixieren, könnten wir uns vorstellen, die Zeit der Interaktion $ \ Delta zu fixieren t $. Wiederum besagt die obige Formel für $ P_ {i \ bis f} $, dass wir eine konsistente Wahrscheinlichkeit für den Übergang haben, wenn $ \ Delta E \ ll \ frac {h} {\ Delta t} $. Wenn wir also $ E_f -E_i $ genau genug bestimmen möchten, indem wir $ \ omega $ variieren und sehen, ob der Übergang stattfindet oder nicht, müssen wir ein großes $ \ Delta t $ haben.

Hier betrachte ich den Übergang zwischen zwei verschiedenen Ebenen und gehe davon aus, dass das Spektrum im physikalischen Sinne diskret ist, dh $ | E_f'-E_i- (E_f-E_i) | $ für jede andere Ebene $ f '$ ist viel größer als die experimentelle Unsicherheit für $ \ hbar \ omega $. Wenn dies nicht der Fall war, sollten wir den Übergang nicht zu einem einzelnen Endzustand, sondern zu einer Gruppe $ [f] $ von Endzuständen in Betracht ziehen. Der richtige Weg, dies zu tun, ist die goldene Regel von Fermi, die in jedem guten Buch der Quantenmechanik diskutiert wird (siehe z. B. Sakurai oder Griffiths, auch für die Ableitung der obigen Formel).

Bisher wurden gute Antworten gegeben. Lassen Sie es uns aus einer anderen Perspektive betrachten:

Stellen Sie sich zwei Elektronen vor, die sehr kurz miteinander interagieren. Diese Interaktion findet durch Energieaustausch statt, und sagen wir, dies ist ein Betrag $ \ Delta E $. Die Zeit $ \ Delta T $, innerhalb derer diese Energie zwischen den beiden Elektronen ausgetauscht werden muss, hat eine Grenze und wird durch das Heisenbergsche Unsicherheitsprinzip vorgegeben. Je höher die ausgetauschte Energiemenge ist, desto kürzer sollte die Zeit sein, die zum Austausch benötigt wird. Dies wird von der Natur erledigt, die Elektronen tun einfach das, was sie tun müssen; Sie tauschen Energie nach den Regeln aus.

In ähnlicher Weise trägt ein freies Photon eine Energiemenge $ E = hf $. Dies hat auch die Bedeutung des Heisenbergschen Unsicherheitsprinzips, wenn Sie es in der Form $ E \ times T = h $ schreiben, da $ f = 1 / T $. Diese Energiemenge wird vom Photon in einer Entfernung von einer Wellenlänge, $ \ lambda = c / f $, in nicht längerer oder kürzerer Zeit als der Periode seiner Wahrscheinlichkeitswelle getragen. Dies gilt auch, wenn wir während einer Messung mit der Natur interagieren, wie dies von anderen Verantwortlichen erwähnt wurde. Die Natur ist sehr daran interessiert, ihr Handeln zu optimieren, sie ist nicht verschwenderisch. Eine gute Frage ist: Warum ist $ h $ so klein wie es ist? Was bestimmt seinen Wert? Mir ist keine Einrichtung bekannt, die diese Zahl erzeugt, außer experimentell gemessen.

Die Bedeutung ist fast dieselbe wie für die Koordinatenimpulsunsicherheit. Zusätzlich zu dem, was joshphysics geschrieben hat, möchte ich betonen, dass die stationäre Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung $ \ vert \ psi \ rangle \ sim e ^ {i \ frac {E} {\ hbar} t} $ ist. Wenn Sie Energie messen möchten, sollten Sie diese Wellenfunktionsentwicklung zeitlich verfolgen. Um Energie definitiv zu messen, sollten Sie sie während einer unendlichen Zeit messen. Wenn die Messzeit begrenzt ist, ist die Energie nicht eindeutig.

Technisch ist es komplizierter, da normalerweise $ \ Delta t $ nicht die Messzeit ist, sondern die Zeit einiger Prozessergebnisse, von denen Sie messen. Die Hauptidee ist jedoch so einfach.

Hier ist eine weitere Interpretation der Beziehung $ \ Delta t \, \ Delta E \ ge \ frac {\ hbar} {2} $ span>.

Sie haben ein klassisches System, das durch einen Lagrange $ L = \ dot {q} \, p - H $ span> beschrieben wird, wobei $ H $ span> ist der Hamiltonianer, der zeitunabhängig sein soll. Die Aktion des Systems lautet \ begin {Gleichung} \ tag {1} S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} L \, dt = \ int_ {q_1} ^ {q_2} p \, dq - E \, \ Delta t = S_p + S_E. \ end {Gleichung} span> Betrachten Sie nun eine beliebige Variation des klassischen Pfades. Die Aktion würde dann um den folgenden Betrag geändert (ich bin mir jetzt sicher, was mit dem ersten Teil zu tun ist, der die andere Heisenberg-Beziehung ergeben sollte: $ \ Delta q \; \ Delta p \ ge \ frac {\ hbar} {2} $ span>): \ begin {Gleichung} \ tag {2} \ delta S_E = - \: \ delta E \ , \ Delta t. \ End {Gleichung} span> Es wird postuliert, dass jede Variation, die die Aktion ändert, um einen Betrag kleiner als $ \ frac {\ hbar} {2} $ span> kann nicht beobachtet werden . Dies ähnelt der minimalen Zelle des Phasenraums in der statistischen Mechanik, für die $ \ Delta q _ {\ text {min}} \, \ Delta p _ {\ text {min}} \ sim h \ equiv 2 \ pi \ hbar $ span>. Für beobachtbare Prozesse haben wir also $ | \, \ delta S_E | \ ge \ frac {\ hbar} {2} $ span>, was die Beziehung \ begin {Gleichung} \ tag {3} \ Delta t \ impliziert; \ delta E \ ge \ frac {\ hbar} {2}. \ end {Gleichung} span> Hier ist $ \ Delta t \ equiv t_2 - t_1 $ span> nur das Zeitintervall, das die Grenze der obigen Aktion (1) definiert. Dies ist ein klassisches "gewöhnliches" Zeitintervall. $ \ delta E $ span> ist die Menge an Energievariationen, die Sie in diesem Zeitintervall relativ zum klassischen Wert erhalten können. Wenn $ \ Delta t $ span> groß ist, muss $ \ delta E $ span> niedrig sein (nur kleine Abweichungen) aus der klassischen Bewegung sind erlaubt).

Diese "Ableitung" ist sehr grob und sicherlich nicht streng.

Zusätzlich zu dem, was in @ Michaels Link erwähnt wird, ist eine der besten Möglichkeiten, darüber nachzudenken:

Je mehr Zeit Sie für die Messung Ihres Experiments aufwenden (daher wird die Standardabweichung kleiner) Genauer gesagt messen Sie die Energie dieses Systems.

P. Diese Interpretation wird häufig in russischen Lehrbüchern verwendet.