Die Antworten sind nein und nein. Dimensionslos zu sein oder die gleiche Dimension zu haben, ist eine notwendige Voraussetzung dafür, dass Mengen "kompatibel" sind. Sie ist nicht ausreichend. Was man zu vermeiden versucht, nennt man Kategoriefehler. Bei der Computerprogrammierung gibt es eine analoge Situation: Man möchte vermeiden, Werte eines Datentyps an Stellen zu setzen, die für einen anderen Datentyp reserviert sind. Obwohl die gleiche Dimension sicherlich erforderlich ist, damit Werte zum gleichen "Datentyp" gehören, gibt es keinen Grund, warum sie nicht durch viele andere Kategorien zusätzlich abgegrenzt werden können.

Newtonmeter ist eine Einheit aus Drehmoment und Energie sowie Joule pro Kelvin sowohl der Entropie als auch der Wärmekapazität, aber das Hinzufügen dieser Einheiten ist normalerweise problematisch. Gleiches gilt für das Hinzufügen sprichwörtlicher Äpfel und Orangen, gemessen in "dimensionslosen Einheiten" von Zählzahlen. Tatsächlich zeigt das letzte Beispiel, dass die Abgrenzung von Kategorien von einem Kontext abhängt. Wenn man sich nur um Äpfel und Orangen als Objekte kümmert, kann es in Ordnung sein, sie hinzuzufügen. Die Dimension ist in der Physik so wichtig, weil es selten sinnvoll ist, Mengen unterschiedlicher Dimensionen zu mischen, und es gibt einen schönen Kalkül ( Dimensionsanalyse), um sie zu verfolgen. Es ist aber auch sinnvoll, zusätzliche Kategorien einzuführen, um Werte von Größen wie Drehmoment und Energie abzugrenzen, auch wenn es für sie möglicherweise keinen so schönen Kalkül gibt.

Wie Ihre eigenen Beispiele zeigen, ist es auch sinnvoll, das Bogenmaß je nach Kontext unterschiedlich zu behandeln: Nehmen Sie die Kategorie ("Dimension"). Steradiane oder das Zählen von Zahlen berücksichtigen bei der Entscheidung über die Addition, ignorieren sie jedoch, wenn es um die Substitution in transzendentale Funktionen geht. Hertz wird normalerweise zur Messung der Wellenfrequenz verwendet, aber da Zyklen und Bogenmaß offiziell dimensionslos sind, teilt es die Dimension mit der Einheit der Winkelgeschwindigkeit, Bogenmaß pro Sekunde, Bogenmaß macht auch den einzigen Unterschied zwischen Ampere für elektrischen Strom und Amperewindungen für magnetomotorische Kraft. In ähnlicher Weise sind dimensionslose Steradiane der einzige Unterschied zwischen Lumen und Candela, während Lichtstärke und Lichtfluss häufig unterschieden werden. In diesen Zusammenhängen könnte es auch sinnvoll sein, Bogenmaß und Steradiant als "dimensional" zu behandeln.

Tatsächlich waren Radiant und Steradian bis 1995 eine Klasse für sich als "zusätzliche Einheiten" von SI. In diesem Jahr entschied das Internationale Büro für Gewichte und Maße (BIPM), dass " Der mehrdeutige Status der zusätzlichen Einheiten beeinträchtigt die interne Kohärenz der SI "und klassifiziert sie als" dimensionslos abgeleitete Einheiten, deren Namen und Symbole in Ausdrücken für andere verwendet werden können, aber nicht müssen SI-abgeleitete Einheiten, wie es zweckmäßig ist, wodurch die Klasse der zusätzlichen Einheiten eliminiert wird. Der Wunsch, eine allgemeine Regel beizubehalten, wonach Argumente transzendentaler Funktionen dimensionslos sein müssen, mag eine Rolle gespielt haben, aber dies zeigt, dass der dimensionale Status in gewissem Maße eher durch Konventionen als durch Tatsachen bestimmt wird. In diesem Sinne wurde Ampere erst 1901 als neue Basiseinheit in das MKS-System eingeführt und noch später in SI integriert. Wie der Name schon sagt, hat MKS ursprünglich nur Meter, Kilogramm und Sekunden als Basiseinheiten verwendet, dies erforderte jedoch Bruchleistungen von Metern und Kilogramm in den abgeleiteten Einheiten des elektrischen Stroms.

Wie @dmckee hervorhob, können Energie und Drehmoment als Skalare und Pseudoskalare unterschieden werden, was bedeutet, dass unter der Umkehrung von Transformationen wie Reflexionen die ersteren ihren Wert behalten, während die letzteren das Vorzeichen wechseln. Dies führt zu einer weiteren Kategorisierung von Größen, die in der Physik eine große Rolle spielt, durch Transformationsregeln unter Koordinatenänderungen. Unter den Vektoren gibt es "wahre" Vektoren (wie Geschwindigkeit), Covektoren (wie Impuls) und Pseudovektoren (wie Drehimpuls). Tatsächlich werden alle Tensorgrößen durch Darstellungen der orthogonalen Gruppe (in Relativität Lorentz) kategorisiert. Dazu gehört auch eine schöne Berechnung, die beschreibt, wie sich Tensortypen unter verschiedenen Operationen (Punktprodukt, Tensorprodukt, Keilprodukt, Kontraktionen usw.) verbinden. Ein Grund für die Neufassung von Maxwells Elektrodynamik in Bezug auf Differentialformen besteht darin, sie im Auge zu behalten. Dies wird wichtig, wenn beispielsweise die Hintergrundmetrik nicht euklidisch ist, da die Identifizierung von Vektoren und Covektoren davon abhängt. Unterschiedliche Tensortypen haben ohnehin unterschiedliche Dimensionen, aber es gibt Ausnahmen und die Kategorisierungen sind eindeutig unabhängig.

Aber selbst der Tensortyp reicht möglicherweise nicht aus. Vor Joules Messungen des mechanischen Äquivalents von Wärme in den 1840er Jahren hatten die Wärmemenge (gemessen in Kalorien) und die mechanische Energie (gemessen in abgeleiteten Einheiten) zwei verschiedene Dimensionen. Aber auch heute möchte man sie vielleicht in getrennten Kategorien aufbewahren, wenn man ein System untersucht, bei dem mechanische und thermische Energie ungefähr getrennt erhalten bleiben. Gleiches gilt für Einsteins Massenenergie. Dies bedeutet, dass kategoriale Grenzen nicht in Stein gemeißelt sind, sondern sowohl aus praktischen Gründen als auch aufgrund einer physischen Entdeckung errichtet oder abgebaut werden können.

Viele historische Besonderheiten bei der Auswahl und Entwicklung von Einheiten und Einheitensystemen sind in Kleins Buch The Science of Measurement beschrieben.

Immer wenn ich über dieses Problem nachdenke, gehe ich auf einen Artikel von Joel Spolsky zurück, " Falschen Code falsch aussehen lassen", in dem es um die ungarische Notation geht. Nicht nur die nutzlose Art der ungarischen Notation, bei der Variablen so benannt werden, dass ihre Typen beschrieben werden ( f_pos für einen Float, d_pos für ein Double usw.) - dies ist in dem Artikel "Systems Hungarian" - aber die ursprüngliche, praktische Art "Apps Hungarian", wobei der Name einer Variablen widerspiegelt, welche Art von physikalischer Größe sie darstellt. x_pos und y_pos zum Beispiel für die horizontale und vertikale Position. Oder in einem Beispiel, das für Ihren Fall relevanter sein könnte, circ_length und rad_length für Umfang bzw. Radius.

Wenn Sie in Apps Hungarian jemals circ_length + rad_length geschrieben haben, würden Sie vermuten, dass etwas nicht stimmt, da Sie Umfang und Radius nicht hinzufügen sollten. Obwohl sie dimensional konsistent sind, sind sie in gewissem Sinne nicht kompatibel . Sie möchten es wie folgt umschreiben:

  circ_length + circ_from_rad (rad_length)
 

Einheitensysteme sind ein (etwas begrenztes) physisches Äquivalent zu Apps Hungarian. Wir verwenden verschiedene Einheiten, um verschiedene Variablen zu bezeichnen, die nicht kompatibel sind und nicht addiert werden sollten.

Dies scheint zunächst eine seltsame Perspektive auf Einheiten zu sein. Schließlich scheint es intuitiv offensichtlich zu sein, dass Länge und Zeit in irgendeiner Weise unterschiedlich sind, was beispielsweise Höhe und Breite nicht sind. Aber dann kam die Relativitätstheorie und wir haben gelernt, dass Länge und Zeit tatsächlich kompatibel sind. Sie müssen nur die richtige Konvertierung durchführen.

  prime_t, prime_x = prime_from_normal (normal_t, normal_x)
 

oder mit anderen Worten

$$ \ begin {pmatrix} ct '\\ x' \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ gamma & - \ beta \ gamma \\ - \ beta \ gamma & \ gamma \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} ct \\ x \ end {pmatrix} $$

Dann kam die Quantenmechanik und wir lernten, dass Energie und Frequenz auch dasselbe sind.

  energy = energy_from_freq (Frequenz)
 

$$ E = \ hbar \ omega $$

Und dann kam die Quantengravitation und jemand erfand Planck-Einheiten, und das geht den ganzen Weg durch das Kaninchenloch bis zu dem Punkt, an dem alles ist nur eine Zahl, und Sie können frei Massen, Ladungen und Kräfte hinzufügen.

Halten Sie sich von der Quantengravitation fern.

Wenn es so einfach ist, die Anzahl der unterschiedlichen Einheiten zu reduzieren, indem gezeigt wird, wie sie alle ineinander konvertiert werden können, können Sie den Vorgang auch umkehren. Sie würden die Einheitensysteme, die wir haben , als reduzierte Versionen komplizierterer Systeme behandeln, die zwischen Größen unterscheiden, die wir normalerweise als gleich betrachten. Höhe und Breite zum Beispiel. Sie könnten "Höhenmesser" und "Breitenmesser" als effektiv getrennte Einheiten haben. Oder in Ihrem Fall "Umfangsmesser" und "Radiusmesser". In diesem Fall würden Sie definieren $$ 1 \ \ mathrm {rad} = \ frac {1 \ \ text {Umfangsmesser}} {1 \ \ text {Radiusmesser}} $$ In Ihrem System ist dies nicht dasselbe wie $ \ frac {1 \ \ text {Höhenmesser}} {1 \ \ text {Breitenmesser}} $. Sie können es gleich machen, indem Sie alle diese Einheiten in Meter umwandeln. In diesem Fall würden Sie das metrische System wiederherstellen, aber dann verlieren Sie die zusätzlichen Kontextinformationen, die von Ihrem Einheitensystem bereitgestellt werden.

Hier ist ein praktisches Beispiel: Steigung $ m $ ist definiert als Höhe über (horizontale) Länge, $ \ Delta y / \ Delta x $, was bedeutet, dass die Steigungseinheiten sind $$ [m] = \ frac {\ text {Höhenmesser}} {\ text {Längenmesser}} $$ Andererseits ist der Winkel $ \ alpha $ als Umfang über dem Radius definiert. $$ [\ alpha] = \ frac {\ text {Umfangsmesser}} {\ text {Radiusmesser}} $$ Die Beziehung zwischen diesen beiden ist $$ m = \ tan \ alpha $$ In diesem erweiterten Einheitensystem wissen Sie also, dass die Tangente Einheiten von $ \ frac {\ text {Umfangsmesser}} {\ text {Radiusmesser}} $ aufnimmt und ein Ergebnis in Einheiten von $ \ frac {\ ergibt text {höhenmesser}} {\ text {längenmesser}} $.

Es liegt jedoch ein Problem vor. Was ist, wenn Sie eine Berechnung mit den Quer- und Rezessionsgeschwindigkeiten eines Sterns durchführen? (Senkrecht bzw. parallel zu Ihrer Sichtlinie.) In diesem Fall verwenden Sie weiterhin die Tangentenfunktion, erhalten jedoch möglicherweise ein Ergebnis in Einheiten von $ \ frac {\ text {Längenmesser}} {\ text {Höhe -meter}} $. Genau genommen bedeutet dies wahrscheinlich, dass Sie eine separate Funktion haben sollten, die diese Art von Ausgabe erzeugt. In der Praxis können Sie zu weit gehen. Alles separate Einheiten zu geben ist oft mehr Mühe als es wert ist.

Sie müssen also ein Gleichgewicht zwischen den beiden Extremen finden. Viele Menschen sind sich einig, dass es nützlich ist, Winkel von einer Einheit festlegen zu lassen, um die Kontextinformationen zu erhalten, dass sie Winkel sind (nicht etwas anderes). Sie können diese Informationen sinnvoll mit Triggerfunktionen verwenden: Eine Funktion wie $ \ tan $ muss einen Winkel oder ein "kreisförmiges" Längenverhältnis (Umfang zu Radius oder dergleichen) als Eingabe verwenden und als Ausgabe ein "rechteckiges" Verhältnis angeben von Längen (Höhe zu Breite oder umgekehrt oder so etwas). Das Bogenmaß mag zwar eine "gefälschte" Einheit sein, aber in gewisser Weise ist es nicht gefälschter als eine Einheit der Geschwindigkeit oder des Drehimpulses, und es sind nützliche Informationen, die beibehalten werden müssen.

Hier ist eine unterhaltsame mathematische Antwort. (Zumindest finde ich es sowieso unterhaltsam.)

Nehmen wir die Idee ernst, dass wir das Bogenmaß als Einheit behandeln und von dort aus fortfahren können. Dies bedeutet, dass beim Schreiben eines Ausdrucks wie $ \ sin \ theta $ span> das Argument $ \ theta $ span> muss Einheiten des Bogenmaßes haben, während das Ergebnis (ich nehme an) nur eine Zahl ohne Einheiten ist. Oder anders ausgedrückt: Der Ausdruck $ \ sin ^ {- 1} x $ span> hat Einheiten von Bogenmaß.

Nun, da wir $ \ sin \ theta $ span> als $ \ frac {i} {2} ( e ^ {- i \ theta} -e ^ {i \ theta}) $ span>, das heißt, das Argument für $ e ^ \ theta $ span> muss ebenfalls haben Einheiten von Bogenmaß. Oder anders ausgedrückt, jeder Ausdruck der Form $ \ ln x $ span> hat Einheiten von Bogenmaß, da der Logarithmus die Umkehrung des Exponentials ist. P. >

Hier können wir jedoch schnell in Schwierigkeiten geraten, da das Integral des Logarithmus gegeben ist durch $$ \ int \ ln x \, dx = x \ ln x - x + C. $$ span> Unter der Annahme, dass $ x $ span> eine dimensionslose Zahl ist, hat der Begriff $ x \ ln x $ span> Einheiten von Bogenmaß, Der Begriff $ x $ span> ist jedoch dimensionslos. Wir haben also eine Inkonsistenz erreicht, nach der Sie gesucht haben, bei der eine Größe im Bogenmaß zu einer dimensionslosen Größe addiert wird, und wir mussten überhaupt keine Physik einbeziehen.

Dies ist nicht unbedingt ein unlösbares Problem. benrg hat eine nette Antwort, in der er darauf hinweist, dass Sie die Lösung für das obige Integral als $ x \ ln (x / e) + C schreiben können= x \ ln x - x \ ln e + C $ span>, wobei der Punkt ist, dass $ \ ln e $ span> eine Konstante mit dem Wert 1 ist, aberEinheiten des Bogenmaßes, daher sind die Einheiten des Ausdrucks insgesamt Bogenmaß.Dies scheint konsistent zu sein und ich mag es eher.

All dies könnte es wert sein, an einem regnerischen Nachmittag, an dem nichts anderes zu tun ist, etwas länger darüber nachzudenken.Ich wollte hier zeigen, dass es nicht einfach ist, das Bogenmaß als Einheit zu behandeln, selbst in der Welt der reinen Mathematik.benrg zeigt, dass es dennoch möglich sein könnte, dies konsequent zu tun, was ich interessant finde.

Sie können dimensionslose Größen nicht ohne weiteres hinzufügen, da eine bestimmte dimensionslose Größe eine bestimmte physikalische Sache darstellt. Anhand der von Ihnen angegebenen Beispiele können Sie kg / kg nicht mit m / m addieren, da sie unterschiedliche Mengen darstellen. einer ist ein Winkel und einer ist ein Teilmassengehalt.

Dies kann jedoch auch für dimensionale Größen gelten. Sie haben also einen LKW, der als 3D-Objekt eine Länge, Höhe und Breite hat. Diese werden alle in Längeneinheiten wie Metern gemessen, stellen jedoch nicht den gleichen Wert dar. Wenn ich wissen wollte, wie lang fünf Lastwagen durchgehend sind, konnte ich weder die Breite noch die Höhe verwenden, da diese Werte für das, was ich messe oder berechne, nicht relevant sind - obwohl es sich um denselben Einheitentyp handelt, d. H. von der gleichen Dimension.

Um mehr als nur zu überprüfen, ob die Gleichung dimensional konsistent oder sogar einheit konsistent ist, muss Ihre Bibliothek wissen, was die Werte tatsächlich darstellen, um sicherzustellen, dass dimensionale Manipulationen wirklich sinnvoll sind Faktor das in.

Stellen Sie sich das so vor: Ist Dutzend dimensionslos?

Radiant (1), Grad (0,017) und Gradian (0,0157) sind alle wie Dutzend (12).

Konvention besagt, dass Grad für Winkel und Dutzend für Eier ist. Niemand sagt 562 Grad m / s / s, so wie niemand 0,82 Dutzend m / s / s sagt. Sie sagen 9,8 m / s / s. Aber sie konnten es total. Es gibt keinen grundlegenden mathematischen oder physikalischen Grund, nur Konventionen für Kommunikationszwecke.

Mit anderen Worten, behandeln Sie 90 Grad so, als würden Sie 1,8 Dutzend erhalten.

1. Einerseits ist es "nur" eine skalare Größe. Wenn Sie eine Länge damit multiplizieren, erhalten Sie eine Länge. Wenn Sie eine Masse damit multiplizieren, erhalten Sie eine Masse. (Zu Ihrer Information, damit Sie nicht anders denken, kann das berühmte Verhältnis von Umfang zu Radius an einigen unerwarteten Stellen auftreten.)
2. Auf der anderen Seite sind 3 Dutzend plus 4 Einheiten nicht 7 Dutzend; Sie müssen den Unterschied irgendwo berücksichtigen.
ol>

Wie oder wo Sie dies genau tun, liegt bei Ihnen. Sie müssen nur wissen, dass der Unterschied nicht in dimension, sondern in magnitude besteht.

Ich habe eine andere auf Einheiten basierende Frage beantwortet, die sehr viel damit zu tun hat. Darin habe ich darauf hingewiesen, dass Einheiten kein grundlegendes Konzept in den Grundlagen des Universums sind. Sie sind ein Konzept, das die Menschen als hilfreich empfunden haben, um die reale Welt mit mathematischen Gleichungen in Beziehung zu setzen, mit denen wir die Welt beschreiben. Daher besteht ihr Hauptzweck darin, nützlich zu sein.

In der Mathematik ist klar, dass das Bogenmaß tatsächlich einheitenlose Verhältnisse sind, was Grad tatsächlich zu einem Skalar von $ \ frac {\ pi} {180} $ macht. In vielen technischen Disziplinen ist es jedoch sinnvoller, sie als eigenständige Einheiten zu behandeln und sie nur bei Bedarf "fallen zu lassen", z. B. für uns in einem bereits vorhandenen sin oder cos -Funktion.

Boost, wohl die erste existierende C ++ - Bibliothek, enthält ein Einheitensystem, Boost.Units. Boost.Units definiert Winkeleinheiten, die nicht dimensionslos sind. Tatsächlich definieren sie eine planar_angle -Dimensionalität, die Bogenmaß und Grad beschreibt, und eine solid_angle -Dimensionalität, die Steradiane beschreibt. In Boost.Units sind sie unterschiedliche Dimensionen, obwohl sie in der Mathematik beide Verhältnisse sind. Sie sind also in guter Gesellschaft, wenn Sie Winkel als nicht ganz dimensionslose Größen betrachten.

Wenn ich Ihre Frage richtig verstanden habe, suchen Sie nach einem Fall in der Physik, in dem Winkel zu jeder dimensionslosen, aber nicht eckigen Größe hinzugefügt werden. Ich denke nicht, dass dies zu oft passiert, aber es ist möglich.

Betrachten Sie beispielsweise eine Eichentransformation von QED. Das Elektronenfeld transformiert sich als $$ \ psi \ bis e ^ {ie \ theta (x)} \ psi $$ span> $ \ theta (x) $ span> ist also ein Winkel. Das elektromagnetische Feld wandelt sich jedoch als $$ A_ \ mu \ bis A_ \ mu + \ teilweise_ \ mu \ theta (x) $$ span> Also fügen wir einer nichtwinkligen Größe einen Winkel hinzu.

Auf einer tieferen Ebene sehen Sie nicht oft Winkel, die zu Nichtwinkeln hinzugefügt werden, weil Winkel nur bis zu einem Vielfachen von $ 2 \ pi $ span definiert sind >, während die meisten nicht eckigen Größen dies nicht sind. Sie können also einer physikalischen dimensionslosen Größe mit einem bestimmten Wert keinen Winkel hinzufügen. Mein obiges Beispiel funktioniert nur aufgrund der Eichensymmetrie: Der genaue Wert von $ A_ \ mu $ span> ist nicht physikalisch, sodass ein gewisser Grad an Neudefinition möglich ist.

Ich persönlich denke, dass man einen Winkel, sagen wir $ \ alpha $, und das Verhältnis zwischen $ \ ell $ der Bogenlänge eines Kreises und seinem Radius $ r $ zumindest von Anfang an nicht verwechseln sollte. In Bezug auf grundlegende Konzepte benötigen Winkel eine neue Art von "Ding", über das gesprochen werden muss. Sie sind beispielsweise weder eine Länge noch ein Zeitintervall.

Darüber hinaus wird aus geometrischer Sicht ein Winkel durch die Werte seiner Sinus- und Cosinusperiode definiert. In dieser Hinsicht könnte die "Winkelabmessung" konzeptionell als Teil eines Kreises betrachtet werden

Die Tatsache, dass, wenn jemand einen Kreis nahe genug betrachtet, d. h. für kleine Winkel, eine Bogenlänge durch ein gerades Segment gut angenähert wird, ergibt eine Beziehung dieser Art \ begin {Gleichung} \ sin \ alpha \ approx \ frac {\ ell} {R} \ end {Gleichung} Die Zahl (und nicht die Einheit), die auf der rechten Seite angezeigt wird, ist ein Bruchteil der Zahl $ 2 \ pi $. Wenn wir nun $ \ alpha_ {tot} $ nennen, wird der Gesamtwinkel von einem Kreis überspannt und wir sagen, dass die obige Näherung in Ordnung ist, wenn z. $ \ alpha = \ alpha_ {tot} / {10 ^ 6} $, dann bekommen wir das

\ begin {Gleichung} \ sin \ frac {\ alpha_ {tot}} {10 ^ 6} \ approx \ frac {2 \ pi} {10 ^ 6} \ end {Gleichung}

Dann ist es meiner Meinung nach eine Frage der Wahl, zu entscheiden, dass die natürliche Einheit für Winkel die des Bogenmaßes ist, so dass $ \ alpha_ {tot} = 2 \ pi \: rad $. Aufgrund der oben genannten Gleichheit führt dies jedoch zu wichtigen Konsequenzen:

• Bogenmaß muss dimensionslos sein
• Die Sinus- und Cosinusfunktionen sind die einzigen Funktionen in einem Taschenrechner, die sich um die Einheit kümmern.
• Die Gleichung $ \ ell = \ alpha R $ ist nur gültig, wenn $ \ alpha $ im Bogenmaß ausgedrückt wird. In gewisser Weise handelt es sich also nicht um eine vollständige Gleichung im dimensionalen Sinne, da sie falsch wird, wenn man die Winkeleinheit beispielsweise in Grad ausdrückt.

Ich bin nicht in der Lage, die Geometrie von Grund auf neu aufzubauen, aber meine Intuition ist, dass dies sinnvoll ist und konsequent durchgeführt werden kann. Es scheint wahr zu sein, dass Logarithmen (oder inverse Triggerfunktionen) Sie in einen anderen (transzendentalen) numerischen Bereich führen und Exponentiale (oder Triggerfunktionen) Sie zurückführen und das Hinzufügen von Mengen aus verschiedenen Bereichen nicht funktioniert. Genau in dieser Situation sind Einheiten nützlich.

Die Bezeichnung "Winkel" ist nicht allgemein genug, da sie auch für die Protokolle reeller Zahlen gilt. Die Anzahl der Informationsbits in einem System ist der Basis-2-Logarithmus der Anzahl der gleichwahrscheinlichen Zustände, und "Bit" wird häufig als Einheit dafür verwendet. Ebenso wird "nat" für den Basis-e-Logarithmus verwendet. Wenn dies alles konsistent ist, sind "nat" und "radian" dieselbe Einheit.

Wenn der Logarithmus eine Dimension hat, hat er keine Basis mehr: Die Wahl der Einheit ersetzt die Wahl der Basis. Der unbegründete Logarithmus erfüllt $ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} \ log x = ə / x $ und $ \ int \ log x \, \ mathrm dx = x \ log x - əx + C $, wobei $ ə = \ log e = \ lim_ {n \ bis \ infty} n \ log (1 + 1 / n) = 1 \, \ text {rad} $. Beachten Sie, dass diese Gleichungen auch für gewöhnliche Logarithmen zu jeder Basis gelten, obwohl sie die Basis nie erwähnen - genau wie jede andere dimensional korrekte Gleichung. Die Faktoren von ə mögen seltsam aussehen, aber ich denke, das ist nur ein Mangel an Vertrautheit. Niemand schlägt ein Auge, wenn überall $ \ pi $ oder $ c $ auftaucht.

Die Bogenlänge sollte wahrscheinlich nicht nur $ r \ theta $ sein, da diese Abmessungen von $ \ text {length} \ cdot \ text {angle} $ hat. Natürlich könnten Sie $ r \ theta / ə $ schreiben, aber ich denke, ein besserer Ansatz besteht darin, auf eine beliebige Gaußsche Krümmung $ k $ zu verallgemeinern. Die dimensionslose Formel lautet dann $ r \ theta \, \ text {sinc} \; r \ sqrt {k} $ oder für einen Raumwinkel $ \ Omega $ auf einer $ d $ -Kugel $ \ Omega (r \ , \ text {sinc} \; r \ sqrt {k}) ^ d $. Dies funktioniert ohne Änderung, wenn Sie $ k $ Dimensionen von $ (\ text {angle} / \ text {length}) ^ 2 $ angeben, was sinnvoll erscheint, und die Dimension des Ergebnisses ist dann $ \ text {length} ^ d $ ohne zusätzliche Faktoren.

Eulers Formel lautet $ \ exp iə \ tau = 1 $. (Oder $ \ exp iə \ pi = -1 $, aber solange wir die Mathematik rekonstruieren, können wir auch andere Reformen einleiten.)

Angesichts der Tatsache, dass Sie "bit", "nat", "rad", "deg" usw. häufig als Ad-hoc-Einheiten sehen, ist es seltsam, dass es (meines Wissens) nie formalisiert wurde. Natürlich haben sich Mathematiker nie um Einheiten gekümmert. Aber Physiker lieben sie.

Hier ist eine pragmatische Antwort von jemandem, der über viele Jahre hinweg viele Male umfassende Einheitenbibliotheken in vielen Sprachen (von Mathematica über Simulink bis Excel) für viele Zwecke geschrieben hat. Diese beiden Stichpunkte basieren also auf meiner persönlichen Erfahrung:

• Wenn Sie eine universelle Einheitenbibliothek erstellen, die für viele Leute gedacht ist, die viele Dinge tun, empfehle ich, Winkel NICHT zu einer Einheit zu machen, da es viele "Fallstricke" gibt, bei denen Sie normalerweise multiplizieren müssen oder teilen Sie eine zufällige Menge durch "Bogenmaß" in einem Kontext, in dem dies keinen intuitiven Sinn ergibt und dies für Ihre Benutzer zu einem Punkt der Verwirrung und Frustration wird.
• Wenn Sie eine Einheitenbibliothek für eine bestimmte Anwendung erstellen, in der häufig Winkel oder Raumwinkel auftreten, in der die physikalischen Formeln relativ einfach und eng gefasst sind und in der nur Sie oder Ihre engen Kollegen den Code verwenden, dann ich Empfehlen Sie, Winkel zu einer Einheit zu machen, da der zusätzliche Vorteil der Fehlerprüfung das gelegentlich verwirrende "Gotcha" überwiegt. (Die Anzahl der "Fallstricke" ist begrenzt, und Sie können lernen, wann Sie sie erwarten und eingreifen müssen.)

Denken Sie in Koordinatentransformationen als Verallgemeinerung von Einheitenumrechnungen.

Beim Konvertieren zwischen Einheiten führen Sie eine sehr einfache Koordinatentransformation für die einzelne, entsprechende physikalische Dimension durch:

Multiplikation *.

Wenn Sie zwei Winkel hinzufügen, handelt es sich beispielsweise wirklich um ein Polarkoordinatensystem. Das zugrunde liegende Gebiet (Physik) bleibt gleich, aber die Karte ändert sich, wenn Sie versuchen, zwei Winkel zu addieren. Die neue Karte ist immer noch zweidimensional mit kartesischen Gittern, aber es ist eine Verzerrung der alten Karte - wie eine Mercator-Projektion der Erde. Alle Bedenken hinsichtlich der Dimensionalität von Ausdrücken wie "tan (Winkel)" sind dann in den Koordinatentransformationen verborgen, die selbst als Verallgemeinerung von Einheitenumrechnungen behandelt werden.

Bei Polarkoordinaten gibt es außerdem eine neue Wendung darin, dass eine der Dimensionen endlich ist - sie wickelt sich um. Das heißt, die Karte ist tatsächlich ein Zylinder von unendlicher Länge, aber endlichem Umfang. Die Modulo-Arithmetik wird dann zum Schlüssel für den Begriff der Verhältnismäßigkeit.

Vektorgrößen wie "Höhenmesser" und "Längenmesser" beinhalten Vektoroperationen. Die Dimensionsanalyse kann auf Vektorgrößen und deren Operationen ebenso angewendet werden wie auf skalare Operationen.

* Das Konvertieren zwischen Temperaturen ist eine Multiplikation mit einem Versatz, aber es ist immer noch eine Koordinatentransformation in einer einzelnen Dimension.

Das Konzept der "Dimensionen" ist im Allgemeinen unphysisch. Es handelt sich um ein menschliches Konstrukt, das erfunden wurde, um es Menschen zu ermöglichen, Berechnungen durchzuführen, wenn sie aus irgendeinem Grund nicht in der Lage sind, verschiedene Größen zu vergleichen (unzureichendes Wissen, Inkompatibilität verwenden wollen) Einheiten in der gleichen Gleichung usw.). In Wirklichkeit ist wirklich alles dimensionslos, denn was würde es bedeuten, wenn eine physikalische Größe grundlegend dimensional wäre? Könnten Sie ein Experiment durchführen, um dies zu demonstrieren? Offensichtlich nicht, daher ist der Begriff der Dimensionen nicht fälschbar. Es ist nur eine Konvention, an die wir uns halten (wenn wir keine natürlichen Einheiten verwenden).

Ein Winkel ist also in der Tat dimensionslos, aber im Grunde sind es auch Längen, Zeitintervalle, Massentemperaturen usw. usw. Wie in den anderen Antworten ausgeführt, ist es nicht immer sinnvoll, einen Winkel zu einer dimensionslosen Größe zu addieren , aber dann kann das Gleiche über Längen, Zeitintervalle, Massen usw. gesagt werden. Während Sie natürliche Einheiten verwenden können, indem Sie $ \ hbar = c = G = 1 $ setzen und jegliche Vorstellung von Dimensionen verwerfen, macht es immer noch keinen Sinn im Allgemeinen, um einige zufällige Ausdrücke für physikalische Größen zu addieren.

Aber wie kommt es, dass die Dimensionsanalyse funktionieren kann, wenn der gesamte Begriff der Dimensionen falsch ist? Der Grund ist, dass es aus einem echten Skalierungsargument hervorgehen kann. Man sollte berücksichtigen, dass mit den verfügbaren Konstanten $ \ hbar $, $ c $ und $ G $ kein dimensionales Argument eingerichtet werden kann, da Sie mit diesen Konstanten immer von einer Dimension in eine andere konvertieren können. Die Dimensionsanalyse muss daher je nach Problem immer mit einer zusätzlichen Ad-hoc-Regel versehen sein, um eine oder mehrere dieser Konstanten nicht zu verwenden.

Was bedeutet es, eine Regel aufzuerlegen, die Sie daran hindert, mit $ c $ Längen in Zeitintervalle umzuwandeln und umgekehrt, wenn Sie eine Dimensionsanalyse durchführen? Man könnte sagen, dass dies bedeutet, dass relativistische Effekte ignoriert werden können. Dies bedeutet jedoch, dass wir bei Verwendung natürlicher Einheiten Zeitintervalle relativ zu Längen neu skalieren können, indem wir eine dimensionslose Skalierungskonstante $ c $ einführen, die genau dort erscheint, wo wir normalerweise die Lichtgeschwindigkeit in Gleichungen setzen, und dann die Skalierungsgrenze berücksichtigen, an die $ c $ gesendet wird zur Unendlichkeit. Auf diese Weise sollte die Dimensionsanalyse neu interpretiert werden.

Jetzt sind Skalierungsargumente natürlich nicht auf Längen, Zeitintervalle usw. beschränkt. Sie können Skalierungsargumente mit Winkeln entwickeln, z. bei Berechnungen im Grenzbereich kleiner Winkel. Wenn die Winkel jedoch nicht klein sind, gibt es keine offensichtliche Skalierungsgrenze, an der gearbeitet wird. Daher ist die Vorstellung, einem Winkel eine Dimension zuzuweisen, ebenso unnatürlich wie die Nichtverwendung von $ c = 1 $ -Einheiten in der speziellen Relativitätstheorie.

Die Dimensions des Winkels hängen von der Sichtweise und dem Zweck (der Verwendung von Dimensionen) ab.

Wie auch immer, hängt der Units (und implizit die Skalierung) des Winkels auch von den lokalen Gepflogenheiten und Praktiken ab, die diese Standpunkte und Zwecke unterstützen.

Ich persönlich möchte, dass Winkel eine Dimension sind, insbesondere für die Fehlererkennung und -korrektur in wissenschaftlichen und technischen Berechnungen. Es gibt Compptational-Tools wie MathCAD, Mathematica (Add-On), Maple usw., die Dimensionsprüfung und -vorhersage umfassen, aber sie sind nicht so häufig wie sie sein könnten.

Diejenigen, die grundlegende numerische Berechnungswerkzeuge (reine Zahlen) verwenden, sehen das Problem häufig nicht, sodass die Argumente hitzig werden.

Ebenso war historisch gesehen, als Bleistift und Papier vorherrschten, die Bestimmung von Einheiten und Dimensionen unabhängig von der Arithmetik, so dass ähnliche Probleme auftraten. Die Möglichkeit, Einheitenskalierung und Bemaßungen in die symbolischen Berechnungen einzubeziehen, wurde nie in Anspruch genommen.

Für Mathematiker ist es normalerweise wichtig, ein Abstraktionsniveau für die Anwendbarkeit der mathematischen Theorien zu erreichen. Sie haben ein generisches Konzept 'Länge', das andere dann mit den alltäglichen Begriffen der Länge als Maß für ein Lineal (oder ein Äquivalent) verwechseln.

Es ist zu beachten, dass Länge eigentlich keine Dimension ist. Es ist vielmehr eine Metrik des 3D-Raums. Wenn die Länge nur ein (realer) 1D-Raum wäre, gäbe es kein Winkelproblem, da es keine Probleme mit 6 Freiheitsgraden für Körper innerhalb des Längenraums gäbe (die zweiten 3 Grad sind die Winkel!). P. >

Komplexierung könnte ein Problem sein (für einen Raum mit 1D Länge), aber man müsste sich fragen: "Wo befindet sich diese orthogonale imaginäre Dimension?".

Unter der Annahme, dass die Disambiguierung der Ergebnisberichterstattung und -berechnung (in SI) über "ergänzende Dimensionen" wieder zulässig wurde, würde dies die Anzahl der Fehler in Technik und Wissenschaft erheblich verringern und die Berechnungswerkzeuge zu Beginn verbessern um sie zu verwenden.

An einigen Stellen müsste eine zusätzliche „Ausbildung“ stattfinden, sodass das Drehmoment als Newtonmeter pro Bogenmaß definiert wird und sich somit von der Arbeit (Newtonmeter) unterscheidet. Schlechte Gewohnheiten brauchen lange, um zu verlernen!

Unter http://iopscience.iop.org/0026-1394/47/6/R01/ [] finden Sie einen guten Übersichtsartikel zu den Themen rund um die Vorbereitung des SI auf das Automatisierungszeitalter. stacks.iop.org/Met/47/R41].

Es gibt ein weiteres Papier von Hall über die Anforderungen von Softwaresystemen "Software Support for Physical Quantities" (war http://mst.irl.cri.nz/Portals/5/enzcon.pdf) , verfügbar unter https://www.researchgate.net/publication/236673054_Software_support_for_physical_quantities)

Ich habe auch Vorschläge für Mathcad gemacht, aber das Dokument ist derzeit nicht sichtbar. https://www.ptcusercommunity.com/docs/DOC-1501

No.

Neben den bereits erwähnten Beispielen hier einige echte Probleme mit unterschiedlichen dimensionslosen Größen und warum sie nicht gemischt werden können. :(

Beginnend mit Winkelgeschwindigkeitseinheiten:

• Hertz (Hz) für die Frequenz $ f $, gemessen in Perioden pro Sekunde (entspricht $ \ frac {2 \ cdot \ pi} {s} $)

oder

• Winkelfrequenz $ \ omega $ gemessen in $ \ frac {rad} {s} $

Sie können frei wählen, ob Sie die Photonenenergie mit $ hf $ oder mit $ \ hbar \ omega $ berechnen. Wenn Sie Bücher lesen, werden Sie zu Ihrer Bestürzung feststellen, dass viele Bücher, die Frequenzwerte verwenden, nicht erwähnen, ob sie Winkelfrequenz oder Normalfrequenz bedeuten (insbesondere theoretische Arbeiten über Optik und Vibrationen im Allgemeinen).

Mit dem Steradiant wird es noch schlimmer:
Das Gaußsche Einheitensystem hielt es für eine großartige Idee, den inversen Faktor $ 4 \ cdot \ pi $ im Coulombschen Gesetz zu beseitigen. Das Problem ist, dass der Faktor auftreten muss , wenn Sie Ladungen über einen geschlossenen Raumwinkel integrieren. Wenn Sie also den Faktor löschen, setzt das Gaußsche System den vollständigen Raumwinkel, eine volle Kugel, die 1 entspricht. Dies führt dazu endloser Schmerz, wenn Sie versuchen, mit Leuchtkraftgleichungen im Gaußschen System umzugehen. Das andere Problem ist, dass SI- und Gaußsche Einheiten nicht einfach konvertiert werden können. In Gaußschen Einheiten behalten polynomische Gleichungen den Faktor 1 bei, während die SI-Einheiten die Gleichungen auf $ (4 \ cdot \ pi) ^ n $ anpassen müssen.

Dimensionsloses ist nicht eine Dimension, sondern das lack davon. Ihre erfundene Regel Nr. 1 würde nicht verletzt, da sie only auf Mengen anwendet, die have-Dimensionen haben. Wenn Sie auch Mengen verarbeiten möchten, denen die Dimension fehlt, müssen Sie wissen, welche Dimensionen waren, bevor sie "aufgehoben" werden. Beispiel: Wenn Sie eine Menge mit l / l und eine andere mit m / m haben, wissen Sie, dass sie nicht "kompatibel" sind, obwohl (nach ihren Abmessungen) abbrechen) scheinen sie zu sein. Wenn Sie den vorherigen Verlauf nicht abrufen können, markieren Sie das Ergebnis einfach als "Ergebnis ist möglicherweise nicht gültig, da dimensionslose Mengen beteiligt sind".

In Bezug auf Winkel haben sie do-Abmessungen (Grad, Bogenmaß, Steradiant). Es sollte kein Problem geben, angles mit derselben Dimension zu addieren (oder zu subtrahieren). Solange also jeder Menge eine Dimension "zugeordnet" ist, sollte es kein Problem geben, sie zu "handhaben".

Die Frage, ob wir Bogenmaß oder Grad zur Quantifizierung eines Winkels verwenden, ist keine Frage der Dimensionen, sondern die Frage, welche Definition wir für einen Winkel verwenden.

Sie können diese Antwort für eine längere Erklärung sehen. Aber denken Sie einen Moment über die Materiedichte nach. Dies kann Abmessungen von $ \ frac {\ text {kg}} {\ text {m} ^ 3} $ oder $ \ frac {\ text {lb}} {\ text {cm} ^ 3} $ (oder vielen anderen) haben Optionen). Diese Dimensionen ändern jedoch nichts an der Tatsache, dass die Materiedichte immer als $ \ frac {\ text {Masse der Materie}} {\ text {Volumen der Materie}} $ definiert ist. Alternativ hätten wir die Materiedichte als $ \ frac {\ text {Masse der Materie}} {5 \ times (\ text {Volumen der Materie})} $ definieren können. Dies wäre genauso nützlich gewesen und würde die gleichen Informationen enthalten wie die Standarddefinition, aber es würde bedeuten, dass wir all diese $ 5 $ in unseren Formeln mit uns herumtragen müssten. Es ist viel natürlicher, in unseren Definitionen nur $ 1 $ s anstelle von $ 5 $ s zu verwenden. Es gibt keinen guten Grund, 5 $ oder eine andere Zahl zu haben. (HINWEIS: Mathematisch könnte diese alternative Definition numerische Größen für die Materiedichte ergeben, die mit der Standarddefinition identisch sind, wenn wir andere Dimensionen verwenden. Aus Gründen dieser Erklärung können Sie dies jedoch nur als mathematische Kuriosität oder als Unfall betrachten.)

Bei Winkeln gibt es tatsächlich gute Gründe, mehrere Definitionen zu haben. Der Hauptgrund dafür ist, dass es einen sehr natürlichen und "speziellen" Winkel gibt, der sehr nützlich ist - den Winkel einer vollen Drehung um einen Kreis. (Im Gegensatz dazu gibt es außer der Materiedichte des Vakuums keine natürliche "spezielle" Materiedichte ...). Die erste gute Definition eines Winkels umfasst also nur $ 1 $ s: $ \ text {angle} = \ frac {\ text {Kreisbogenlänge}} {\ text {Kreisradiuslänge}} $. Diese Definition ist gut, weil wir dann keine zusätzlichen nervigen Faktoren mit uns herumtragen müssen, wenn wir Funktionen wie $ \ sin $ verwenden (es sei denn, wir definieren diese Funktionen entsprechend neu, aber dies führt zu einer endlosen Kette von nervigen herumtragen Zahlen in anderen Funktionen). Der Nachteil dieser Definition ist, dass sich der spezielle Winkel, der einer vollständigen Drehung um einen Kreis, als hässliche irrationale Zahl mit einer nie endenden Dezimalerweiterung herausstellt: $ 6.28318530718 ... $. Die zweite gute Definition löst dieses Problem, indem der Winkel (ungefähr) als $ \ text {angle} = \ frac {\ text {Kreisbogenlänge}} {\ text {Kreisradiuslänge}} \ times {57.29577951308} $ definiert wird. Dies macht den speziellen Winkel $ 360 $, was sehr schön ist, weil es eine ganze Zahl ist, und auch einige andere wichtige Winkel erweisen sich als ganze Zahlen (der gerade Winkel, der rechte Winkel). Andererseits ist diese Definition sehr unnatürlich und mit unseren Definitionen anderer Funktionen (wie $ \ sin $) nicht kompatibel. ( diese Antwort zeigt diese Inkompatibilität)