Jetzt, da wir die Perspektive eines Physikers haben, fühle ich mich nicht schlecht, wenn ich aus der Sicht eines Mathematikers konforme Blöcke skizziere. Vermutlich gibt es ein Wörterbuch, das die beiden Welten verbindet, aber ich verstehe die Physik nicht gut genug, um zusammenhängende Sätze darüber zu sagen. Ich entschuldige mich im Voraus für etwaige Unklarheiten - dies ist kein sehr fußgängerorientiertes Thema.

Ich werde mich konformen Blöcken vom Standpunkt konformer Scheitelpunktalgebren nähern, die in der Mathematik normalerweise als algebraische Strukturen erscheinen, die Sie verwenden können beweisen Theoreme in der Darstellungstheorie. Scheitelpunktalgebren sind Vektorräume $ V $, die mit einer "Multiplikation mit Singularitäten" $ V \ otimes V \ bis V ((z)) $ ausgestattet sind, die den besten Aufwand für die Multiplikation von Quantenfeldern codieren (die manchmal als "Verteilungen mit Operatorwerten" bezeichnet werden). ). Die linke Multiplikation mit einem Element $ u $ ergibt eine formale Potenzreihe $ \ sum_ {n \ in \ mathbb {Z}} u_n z ^ {- n-1} $, deren Koeffizienten Operatoren sind. Um eine Scheitelpunktalgebra konform zu machen, muss ein definierter Vektor $ \ omega $ gewählt werden, dessen entsprechende Operatoren eine Aktion der Virasoro-Algebra erzeugen, die eine zentrale Erweiterung der komplexierten Lie-Algebra von Polynomvektorfeldern auf dem Kreis darstellt. Sie verlieren konzeptionell nicht viel, wenn Sie sich Virasoro als den Tangentenraum der Gruppe $ Diff (S ^ 1) $ an der Identität vorstellen, aber es gibt eine Anomalie der "zentralen Ladung ungleich Null" im Spiel, die die zentrale Erweiterung erforderlich machen kann. Der Kreis wird hier angezeigt, da er die Grenze einer Punktion darstellt, an der ein Feld eingefügt wird.

Mein Verständnis der physikalischen Interpretation ist das folgende unvollständige und möglicherweise falsche Bild: Innerhalb einer 2D-konformen Feldtheorie gibt es eine Algebra von (beispielsweise sich nach links bewegenden) chiralen Symmetrien, und genau diese Informationen werden vom Konformen erfasst Scheitelpunktalgebra. Der Zustandsraum in der Theorie zerfällt in eine Reihe von "Sektoren", die Module der Scheitelpunktalgebra sind. Wenn wir eine Riemann-Oberfläche wählen (die in den meisten Lehrbüchern eine Kugel ist) und Zustände aus verschiedenen Sektoren an eine Reihe unterschiedlicher Punkte anhängen, sollten wir eine Reihe von Amplituden erhalten, bei denen es sich um Werte chiraler Korrelationsfunktionen handelt, die an diese Eingabedaten angehängt sind. Ich habe gehört, dass es einen Weg gibt, vom chiralen Material zur eigentlichen konformen Feldtheorie überzugehen, wo die Mehrdeutigkeit in den Korrelatoren verschwindet und man ehrliche Korrelationsfunktionen erhält, aber ich habe es in der mathematischen Literatur nicht gesehen. In jedem Fall leben konforme Blöcke in dieser Maschine - bei Sektoren, die an Punkten auf einer Riemann-Oberfläche angebracht sind, ist ein konformer Block ein Gadget, das die Auswahl von Zuständen in diesen Sektoren aufnimmt und Werte von Korrelationsfunktionen in einer Weise ausgibt, die mit den chiralen Symmetrien übereinstimmt .

Hier ist eine Skizze der mathematischen Konstruktion von Edward Frenkel (und ausführlicher in seinem Buch Vertex-Algebren und algebraische Kurven mit David Ben-Zvi beschrieben): Es gibt eine "positive Hälfte" "der Virasoro-Algebra, die von den Generatoren $ -z ^ n \ frac {d} {dz} $ für $ n \ geq 0 $ überspannt wird, und sie erzeugt die Lie-Algebra von Ableitungen auf der infinitesimalen komplexen Scheibe und wirkt auch auf die konforme Vertexalgebra $ V $. Mit dieser Aktion können wir ein Vektorbündel $ \ mathscr {V} $ mit flacher Verbindung auf unserer Riemann-Oberfläche Ihrer Wahl nach der Gelfand-Kazhdan-Methode "formale Geometrie" (die ich nicht beschreiben werde) konstruieren. Bei gegebenen Einstichen $ p_1, \ dots, p_n $ konstruiert man aus dem De Rham-Komplex von $ \ mathscr {V} $ eine Lie-Algebra $ L $, die auf natürliche Weise auf $ n $ -Tupel von $ V $ -Modulen wirkt. Bei $ V $ -Modulen $ M_i $, die an den Punkten $ p_i $ angehängt sind, ist ein konformer Block eine $ L $ -Modulzuordnung von $ \ bigotimes M_i $ zum Trivialmodul.

Es ist im Allgemeinen recht Aufgrund der Menge an Geometrie ist es schwierig, explizite Berechnungen mit konformen Blöcken durchzuführen. Wenn Ihre Riemann-Oberfläche Griffe hat, müssen Sie sich mit einer Auswahl komplexer Strukturen befassen, und wenn sie viele Einstiche aufweist, müssen Sie sich mit einem komplizierten Konfigurationsraum von Punkten befassen. In der Regel werden Diagramme auf Baumebene mit 4 Eingaben angezeigt, weil:

1. Hier erscheint das absolute Minimum an Geometrie - da die Automorphismusgruppe der komplexen Projektionslinie dreifach transitiv ist, ist der Konfigurationsraum von vier Punkte ist eine dreimal punktierte Linie (womit ich eine Kugel meine).
2. Abhängig von der Detailgenauigkeit, die Sie suchen, ist es oft alles, was Sie brauchen - die Räume von Blöcken können zusammengesetzt werden, indem Sie Oberflächen aus Hosen zusammenkleben und Summen über Sektoren ziehen, in denen das Nähen stattfindet. In dem komplexen algebro-geometrischen Bild bedeutet dieses Nähen, dass Kugeln an Punkten quer zusammengeklebt werden, um eine Knotenkurve zu erhalten. Man verformt sich dann, um eine glatte komplexe Kurve zu erhalten, und führt einen parallelen Transport entlang des entsprechenden Pfades im Modulraum markierter Kurven durch. Die Vierpunktkonfiguration ist eine Situation, in der Sie genau einen Nähvorgang haben (und die andere Situation ist ein durchstochener Torus, der wichtig ist, um Zeichen zu erhalten).
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In der Tat, wenn die Die konforme Feldtheorie verhält sich angemessen gut (sprich: rational). Man erhält die Raumdimensionen aller konformen Blöcke nur aus den Dimensionen der Nullpunkte der Dreipunktgattung, die auch als Strukturkonstanten der Fusionsalgebra bezeichnet werden. Man sieht dies zum Beispiel in der Verlinde-Formel.

Ich denke, Beispiele für konforme Blöcke haben eine gewisse notwendige Komplexität, aber hier ist eine Übersicht über einen relativ einfachen Fall, der durch das WZW-Modell motiviert ist. Wählen Sie eine einfache Lie-Gruppe wie $ SU (2) $ und eine Ebene $ \ ell $ (die wir als positive Ganzzahl betrachten können). Man konstruiert die Vertexalgebra und ihre Module als integrale Darstellungen der affinen Kac-Moody-Lie-Algebra $ \ hat {\ mathfrak {sl} _2} $, die eine zentrale Erweiterung der Schleifenalgebra der Komplexifizierung von darstellt die Lie-Algebra $ \ mathfrak {su} _2 $. Wenn wir eine Riemann-Oberfläche (z. B. eine Kugel) auswählen und Punkte nur mit dem Vakuummodul dekorieren, erhalten wir einen Raum aus konformen Blöcken, der der Raum globaler Abschnitte eines bestimmten Linienbündels $ L_G ^ {\ otimes \ ell} ist. $ auf dem Modulraum von $ SU (2) $ -Bündeln auf der Oberfläche. Hier ist $ L_G $ der reichliche Generator der Picard-Gruppe des Modulraums.

Ich habe ein bisschen darüber gelesen und es stellt sich heraus, dass konforme Blöcke für meine Forschung tatsächlich ziemlich relevant sind! Also dachte ich, es lohnt sich, genauer nachzuforschen. Ich habe die formale Feldtheorie nie formal studiert, aber ich hoffe, ich schreibe hier nichts völlig Falsches. (Ich habe meinen ersten Entwurf verloren und musste ihn rekonstruieren, weshalb er so lange dauert.)

In der konformen Feldtheorie ist es üblich, Koordinaten in einem zweidimensionalen Raum mithilfe komplexer Zahlen darzustellen , also wird $ \ vec {r} = (x, y) $ zu $ ​​\ rho = x + iy $. In dieser Notation ist die Theorie unter der Wirkung einer Möbius-Transformation (auch bekannt als konforme Transformation),

$$ \ rho \ to \ frac {a \ rho + b}, unveränderlich. {c \ rho + d} $$

wobei $ a $, $ b $, $ c $ und $ d $ komplexe Konstanten sind, die $ ad - bc \ neq 0 $ erfüllen. Die Transformation hat drei komplexe Freiheitsgrade. Mit anderen Worten, wenn Sie drei Anfangspunkte und drei Endpunkte auf der komplexen Ebene angeben, gibt es eine eindeutige Möbius-Transformation, die diese drei Anfangspunkte den drei Endpunkten zuordnet.

Also jede Funktion von vier Koordinaten in der Ebene, zum Beispiel eine Vierpunktkorrelationsfunktion von Quantenfeldern,

$$ G_4 = \ langle \ phi_1 (\ rho_1, \ rho_1 ^ *) \ phi_2 (\ rho_2, \ rho_2 ^ *) \ phi_3 (\ rho_3, \ rho_3 ^ *) \ phi_4 (\ rho_4, \ rho_4 ^ *) \ rangle $$

hat nur einen wirklichen Freiheitsgrad , nachdem Sie die der Möbius-Transformation entsprechenden Messfreiheiten herausgerechnet haben. Mit anderen Worten, Sie können drei beliebige dieser Koordinaten auf drei feste Referenzpunkte abbilden (z. B. $ 0 $, $ 1 $ und $ \ infty $), und Sie haben nur noch eine Funktion, z / p>

$$ x = \ frac {(\ rho_4 - \ rho_2) (\ rho_3 - \ rho_1)} {(\ rho_4 - \ rho_1) (\ rho_3 - \ rho_2)} $$

Dies öffnet die Tür zum Schreiben von $ G_4 $ als einfache Funktion dieses einen Verhältnisses (zumindest einfacher als eine Funktion von vier unabhängigen Koordinaten).

Der spezielle Teil der CFT, in dem konforme Blöcke angewendet werden (soweit ich das beurteilen kann; ich fange an, hier ein wenig aus meiner Tiefe herauszukommen), hat mit Virasoro-Algebren zu tun. Insbesondere wird die Art und Weise, wie sich die einzelnen Felder $ \ phi_i $ unter einer konformen Transformation transformieren, durch die durch die Virasoro-Algebra definierte Gruppe beschrieben. Die Vierpunktfunktion $ G_4 $ kann als Summe von Beiträgen aus verschiedenen Darstellungen der Gruppe geschrieben werden:

$$ G_4 (\ rho_1, \ rho_2, \ rho_3, \ rho_4) = \ sum_l G_l f (D_l, d_i, C, x) f (D_l, d_i, C, x ^ *) $$

Hier indiziert $ l $ die verschiedenen Darstellungen; $ C $ ist eine Konstante (die "zentrale Ladung" der Virasoro-Algebra); und $ d_i $ und $ D_l $ sind anomale Dimensionen der externen Felder bzw. des internen Feldes. Die Funktion $ f $ heißt konformer Block.

$ f $ ist nützlich, da es (im Prinzip oder in der Praxis bin ich mir nicht sicher, welche) nur mit Informationen über eine einzelne Darstellung der berechnet werden kann Virasoro-Gruppe. Es kann als eine Reihe in $ x $ einer bekannten Form ausgedrückt werden, deren Koeffizienten von der Struktur der Gruppe abhängen.

Weiterführende Literatur

1. Belavin A. Unendliche konforme Symmetrie in der zweidimensionalen Quantenfeldtheorie. Kernphysik B . 1984; 241 (2): 333 & ndash; 380. Verfügbar unter: http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(84)90052-X.
2. Zamolodchikov AB. Konforme Symmetrie in zwei Dimensionen: eine explizite Wiederholungsformel für die konforme Teilwellenamplitude. Kommunikation in der mathematischen Physik (1965-1997) . 1984; 96 (3): 419 & ndash; 422. Verfügbar unter: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103941860.
3. Zamolodchikov AB. Konforme Symmetrie im zweidimensionalen Raum: Rekursionsdarstellung des konformen Blocks . Theoretische und Mathematische Physik . 1987; 73 (1): 1088 & ndash; 1093. Verfügbar unter: http://www.springerlink.com/content/khq7730604681676/.
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und natürlich das Buch von DiFrancesco et al.

Es gibt bereits gute Antworten sowohl aus physikalischer als auch aus mathematischer Sicht, die die Grundidee erklären - angesichts der Algebra holomorpher Operatoren (oder gleichwertig der Symmetriealgebra) einer CFT können wir eine Sammlung von Gleichungen (die Ward-Identitäten) aufschreiben ) dass die Partitionsfunktion der Theorie auf jeder Riemannschen Oberfläche erfüllt sein muss. Der Raum der Lösungen dieser Gleichungen ist der Raum der konformen Blöcke. Wenn wir tatsächlich eine vollständige CFT haben, ist die Partitionsfunktion ein bestimmter konformer Block. Bei jedem konformen Block können wir jedoch immer noch die Korrelationsfunktionen auf der Riemann-Oberfläche verstehen und so einen Großteil der Feldtheorie ausführen.

Es gibt eine Menge mathematischer Arbeit, um eine chirale Algebra auf eine vollständige zu erweitern CFT, insbesondere im rationalen Fall (wie Scott betonte, ist dies ein zentraler Schwerpunkt des erweiterten Oeuvres von Fuchs, Schweigert, Runkel und Mitarbeitern). Dies beinhaltet das Finden einer modularen invarianten Kombination von Modulen für die chirale Algebra und kann auf das Finden spezieller Module reduziert werden (Frobenius-Algebra-Objekte in der Kategorie der geflochtenen Tensoren von Modulen unter bestimmten Bedingungen). Im irrationalen Fall steckt diese Theorie wirklich in den Kinderschuhen - es gibt eine Vorstellung davon, was Branes sein sollten, aber es gibt keine vollständige Strukturtheorie.

Ich denke, ein sehr aufschlussreicher Standpunkt zu Konformität Blöcke ergeben sich aus der Idee, dass eine chirale CFT eher einer dreidimensionalen [topologischen] Quantenfeldtheorie ähnelt als einer ehrlichen CFT (und dies kann im rationalen Fall präzisiert werden, siehe z. B. das Buch von Bakalov-Kirillov). Unter diesem Gesichtspunkt haben wir eine 3D-QFT, die auf gekrümmten Hintergründen (tatsächlich topologisch invariant) sinnvoll ist, sodass wir einen Hilbert-Zustandsraum aus der Quantisierung der Theorie auf einer Riemann-Oberfläche mal R zuordnen können. Dieser Zustandsraum ist der Raum von konformen Blöcken. Allgemeiner können wir Linienoperatoren in dieser dreidimensionalen Theorie betrachten, was bedeutet, dass wir Operatoren an Punkten der Riemannschen Oberflächenzeiten R einfügen können. Diese Operatoren entsprechen Modulen für die chirale Algebra, und der resultierende Hilbert-Raum ist der Raum konformer Blöcke mit Moduleinfügungen. Wenn wir eine nicht-rationale CFT haben, erhalten wir keine vollständige topologische 3D-QFT, können aber Riemann-Flächen oder Flächen mit Moduleinfügungen Hilbert-Räume zuweisen, also konforme Blöcke. (In einer vollwertigen Theorie würden diese Vektorräume durch die genaue Definition der Spur des Hamilton-Operators, die in einer topologischen Theorie Null ist, zu einer endlichen Dimension gezwungen.)

Eine konforme Feldtheorie ist eine Quantenfeldtheorie, die bei konformen Transformationen invariant ist. Aufgrund dieser Invarianz müssen Korrelationsfunktionen linearen Gleichungen folgen, die als konforme Ward-Identitäten bezeichnet werden. Konforme Blöcke sind nicht nur Lösungen der konformen Ward-Identitäten, sondern tatsächlich Elemente einer bestimmten Lösungsbasis. Konzentrieren wir uns auf zweidimensionale CFT. In zwei Dimensionen werden konforme Transformationen durch zwei Virasoro-Algebren beschrieben, die als linksbeweglich (oder holomorph) und rechtsbeweglich (oder antiholomorph) bezeichnet werden.

Die Frage wurde in Form von $ n $ -Punkt-konformen Blöcken auf der komplexen Ebene formuliert, aber es ist technisch einfacher, zuerst Nullpunkt-konforme Blöcke auf dem Torus zu betrachten. Dies sind nur Zeichen von Darstellungen der Virasoro-Algebra. Angenommen, Sie möchten eine Torus-Nullpunktfunktion (Partitionsfunktion) berechnen, $$ Z = \ mathrm {Tr} _S q ^ {E} \ bar {q} ^ {\ bar {E}} $$ wobei $ q $ ist der (potenzierte) Modul des Torus, $ E $ und $ \ bar {E} $ sind die Energieoperatoren, die den sich links und rechts bewegenden Virasoro-Algebren zugeordnet sind, und $ S $ ist der Raum der Zustände von Ihre CFT. Der Zustandsraum kann in Darstellungen der Virasoro-Algebren zerlegt werden: $$ S = \ bigoplus_ {R, \ bar {R}} m_ {R, \ bar {R}} R \ otimes \ bar {R} $$ wobei $ R, \ bar {R} $ Darstellungen unserer beiden Virasoro-Algebren sind und die ganzen Zahlen $ m_ {R, \ bar {R}} $ ihre Multiplizitäten sind. Dann reduziert sich die Berechnung der Spur über $ S $ auf die Summierung über Zustände in jeder Darstellung $ R $ oder $ \ bar {R} $, und eine solche Summe ist per Definition ein Zeichen $$ \ chi_R (q) = \ mathrm {Tr} _R q ^ {E} = \ sum_L q ^ {E (L)} $$ wobei $ L $ eine orthonormale Basis von $ R $ bezeichnet, die aus Eigenvektoren von $ E $ besteht. Also erhalten wir $$ Z = \ sum_ { R, \ bar {R}} m_ {R, \ bar {R}} \ chi_R (q) \ chi _ {\ bar {R}} (\ bar {q}) $$ Dies ist die konforme Blockzerlegung von $ Z $: Die konformen Blöcke $ \ chi_R (q) $, $ \ chi _ {\ bar {R}} (\ bar {q}) $ sind lokal holomorph Funktionen von $ q $ und $ \ bar {q} $ werden vollständig durch konforme Symmetrie bestimmt und durch Darstellungen der Symmetriealgebra parametrisiert. Andererseits bleiben die Multiplizitäten $ m_ {R, \ bar {R}} $ durch die Symmetrie unbestimmt.

Die gleichen Ideen gelten für die Kugel-Vierpunktfunktion . Eine Vierpunktfunktion kann durch Einfügen eines Identitätsoperators in Produkte von Dreipunktfunktionen zerlegt werden, und wir erhalten schematisch $$ \ left< \ prod_ {i = 1} ^ 4 V_i (z_i, \ bar {z} _i) \ right> = \ sum_ {R, \ bar {R}} m_ {R, \ bar {R}} \ sum_ {L, \ bar {L}} \ left< V_1V_2 \ middle | (R, L), (\ bar {R}, \ bar {L}) \ right> \ left< (R, L), (\ bar {R}, \ bar {L}) \ middle | V_3V_4 \ right> $$ Nun stellt sich heraus, dass eine Dreipunktfunktion $ \ left< V_1 V_2 \ middle | (R, L), (\ bar {R}, \ bar {L}) \ right> $ wird durch konforme Symmetrie bis zu einem Faktor $ C_ {1,2, (R, \ bar {R})} $ bestimmt , was weder von $ z_i, \ bar {z} _i $ noch von $ L, \ bar {L} $ abhängt, und wir haben $$ \ left< \ prod_ {i = 1} ^ 4 V_i (z_i, \ bar { z} _i) \ right> = \ sum_ {R, \ bar {R}} m_ {R, \ bar {R}} C_ {1,2, (R, \ bar {R})} C _ {(R, \ bar {R}), 3,4} F_R (z_i) F _ {\ bar {R}} (\ bar {z} _i) $$ Der Vierpunkt-Konformitätsblock $ F_R (z_i) = \ sum_L \ cdots $ wird vollständig durch konforme Symmetrie bestimmt. Dies hängt von allen linksbeweglichen Parametern ab: den Positionen $ z_i $, der $ s $ -Kanaldarstellung $ R $ und den linksbeweglichen Darstellungen, die den Feldern $ V_i $ entsprechen. Bis zu trivialen Faktoren ist ein konformer Vierpunktblock tatsächlich eine Funktion des Kreuzverhältnisses $ z = \ frac {(z_1-z_2) (z_3-z_4)} {(z_1-z_3) (z_2-z_4)} $: Dies ist eine einfache Folge von Ward-Identitäten, die unabhängig davon gilt, ob Sie eine lokale oder globale konforme Symmetrie haben. Ein konformer Block folgt im Allgemeinen keiner Differentialgleichung in $ z $. Er folgt nur dann einer Belavin-Polyakov-Zamolodchikov-Gleichung, wenn mindestens eines der Felder $ V_i $ ein sogenanntes entartetes Feld ist.

Konforme Blöcke sind nützlich, weil sie universelle Größen sind, in dem Sinne, dass sie durch konforme Symmetrie bestimmt werden. Um Korrelationsfunktionen in einem bestimmten Modell zu bestimmen, müssen lediglich modellabhängige Größen wie die Multiplizitäten $ m_ {R, \ bar {R}} $ und die Faktoren $ C_ {1,2, berechnet werden. (R, \ bar {R})} $. Diese modellabhängigen Größen sind einfacher als die Korrelationsfunktionen: Insbesondere hängen sie normalerweise von weniger Parametern ab.

Weitere Informationen in diesem Sinne finden Sie in meinem Übersichtsartikel.

Die konforme Feldtheorie ist die Theorie der Skaleninvarianz (oder des Verhaltens großer Ordnung) in zwei Dimensionen. Skalierung bedeutet nur Abhängigkeit von Winkeln. In 2d ist eine Gruppe von winkelerhaltenden (konformen) Transformationen unendlich dimensional, und tatsächlich gibt es in einer 2d-Metrik nach konformen Transformationen und Diffeomorphismen nur eine endliche Anzahl von Freiheitsgraden. (Die Freiheitsgrade sind der Modulraum von Riemann-Oberflächen.)

Felder in einer Theorie mit konformer Symmetrie müssen Darstellungen dieser Symmetriealgebra liefern, und solche Darstellungen sind durch eine Quantenzahl gekennzeichnet, die als konforme Dimension oder Gewicht bezeichnet wird . Die Transformationen selbst sind holomorphe Koordinatenänderungen ($ z \ rightarrow f (z) $ und werden durch die Lie-Algebra der holomorphen Vektorfelder $ L_n: = -z ^ {n + 1} \ Partial_z $ und ihrer komplexen Konjugate erzeugt. Sie können diese Algebra berechnen: $ [L_n, L_m] = (nm) L_ {m + n} $, die als Virasoro-Algebra bezeichnet wird. (Es gibt zwei davon, eine mit z und eine mit z-Balken.) Quantenmechanisch Diese Algebra kann durch die konforme Anomalie korrigiert werden, die durch die zentrale Ladung parametrisiert wird ("zentral", da der zusätzliche Term mit allen anderen pendelt).

Genau wie in einer rotationsinvarianten Theorie müssen Sie nur wissen, in welcher Darstellung der Zustand liegt, wenn Sie wissen möchten, wie eine Lösung nach einer Rotation aussieht. In einer konformen Theorie müssen Sie nur wissen, in welcher Konformität die Koordinaten infinitesimal geändert werden sollen die konformen Gewichte der Felder. Solche Transformationen sind jedoch infinitesimale Koordinatenänderungen, so dass sich eine Differentialgleichung ergibt, die der Korrelator beachten muss ey. Alles in der Theorie kann in Form von Lösungen für diese Differentialgleichungen geschrieben werden - diese werden konforme Blöcke genannt. (Es gibt auch Lösungen in $ \ bar {z} $.)

Diese Methode wird in der klassischen Arbeit von Belavin, Polyakov und Zamolodchikov (NPB 241 (1988) S. 333) (ein weiterer Pionier) beschrieben ist Knizhnik).

p.s. In der Stringtheorie dreht sich alles um 2d-Feldtheorien und ihre Abhängigkeit von den Modulen der Riemannschen Oberflächen. Die Bedingung, dass die konforme Theorie anomaliefrei ist, ist die häufigste Methode zur Ableitung von Dimensionsformeln in der Stringtheorie.