Das ist eine gute Frage. Die Punkt- und Kreuzprodukte wirken sehr mysteriös, wenn sie einem neuen Schüler vorgestellt werden. Warum enthält beispielsweise das Skalarprodukt (Punktprodukt) einen Kosinus und das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) einen Sinus und nicht umgekehrt? Und warum treten dieselben zwei sehr nicht offensichtlichen Arten der "Multiplikation" von Vektoren in so vielen verschiedenen Kontexten auf?

Die grundlegende Antwort (die leider nicht sehr leicht zugänglich ist, wenn Sie ein neuer Schüler sind) ist, dass es in $ n nur zwei algebraisch unabhängige Tensoren gibt, die unter beliebigen Rotationen invariant sind $ span> Dimensionen (wir sagen, dass sie " $ \ mathrm {SO} (n) $ span> invariant sind"). Dies sind das Kronecker-Delta $ \ delta_ {ij} $ span> und das Levi-Civita-Symbol $ \ epsilon_ {ijk \ cdots} $ span>. Das Kontrahieren von zwei Vektoren mit diesen Symbolen ergibt die Punkt- bzw. Kreuzprodukte (letzteres funktioniert nur in drei Dimensionen). Da die Gesetze der Physik isotrop zu sein scheinen (d. H. Rotationsinvariant), ist es sinnvoll, dass jedes physikalisch nützliche Verfahren zum Kombinieren physikalischer Größen wie Vektoren auch isotrop sein sollte. Die Punkt- und Kreuzprodukte stellen sich als die einzigen zwei möglichen mehrlinearen Optionen heraus.

(Warum multilineare Karten in der Physik so nützlich sind, ist eine noch tiefere und grundlegendere Frage, aber welche Antworten auf diese Frage zufriedenstellend sind, ist wahrscheinlich von Natur aus Ansichtssache.)

Ein Kreuzprodukt ist eng mit einem anderen Konzept verbunden, dem Außenprodukt (oder Keilprodukt). Ein Außenprodukt ist ein sehr natürliches Produkt, das in der Algebra vorkommt. Das äußere Produkt zweier Vektoren ist ein Bivektor, dessen Richtungen sehr natürlich sind (während das Drehmoment als Vektor im rechten Winkel zur Kraft und zum Hebelarm steht, ist es beim äußeren Produkt einfach ein Bivektor, der durch zwei Richtungen definiert ist - die Kraft und die Hebelarm).

Leider ist es schwierig, Außenprodukte frühzeitig zu unterrichten. Sie brauchen viel Mathe. Cross-Produkte sind viel einfacher zu erklären. Und wie sich herausstellt, sind Kreuz- und Außenprodukte in drei Dimensionen isometrisch. Sie verwandeln sich auf die gleiche Weise. Wenn Sie mit Kreuzprodukten rechnen, erhalten Sie die gleiche Antwort wie mit Außenprodukten. Dies funktioniert nicht in allen Dimensionen (Kreuzprodukte sind eine dreidimensionale Sache, während Außenprodukte in einer beliebigen Anzahl von Dimensionen hergestellt werden können), aber es funktioniert in drei Dimensionen, und viel Physik wird in drei Dimensionen durchgeführt! P. >

Ich konzentriere mich auf die Geometrie von Kreuzprodukten

Cross-Produkte werden verwendet, wenn wir am Moment-Arm einer Menge interessiert sind. Dies ist der Mindestabstand eines Punkts zu einer Linie im Raum.

1. Die Distance zu einem Strahl von Origin. Ein Strahl entlang des Einheitsvektors $ \ boldsymbol {e} $ span> passiert einen Punkt $ \ boldsymbol {r} $ span> im Raum.

   $$ d = \ | \ boldsymbol {r} \ times \ boldsymbol {e} || \ tag {1} $$ span>

   $ d $ span> ist der senkrechte Abstand zum Strahl (auch als Momentarm der Linie bekannt).

2. Der moment-Kraftarm (Drehmomentvektor) . Eine Kraft $ \ boldsymbol {F} $ span> entlang $ \ boldsymbol {e} $ span> verursacht das folgende Drehmoment ungefähr der Ursprung

   $$ \ boldsymbol {\ tau} = \ boldsymbol {r} \ times \ boldsymbol {F} \; \; \ rightarrow \ | \ boldsymbol {\ tau} \ | = d \, \ | \ boldsymbol {F} \ | \ tag {2} $$ span>

3. Der moment-Rotationsarm (Geschwindigkeitsvektor) . Eine Drehung $ \ boldsymbol {\ omega} $ span> um die Achse $ \ boldsymbol {e} $ span> verursacht das ein Körper, der sich am Ursprungsort um

   bewegt

   $$ \ boldsymbol {v} = \ boldsymbol {r} \ times \ boldsymbol {\ omega} \; \; \ rightarrow \ | \ boldsymbol {v} \ | = d \, \ | \ boldsymbol {\ omega} || \ tag {3} $$ span>

4. Der moment-Arm von Momentum (Angular Momentum) . Ein klassisches Teilchen mit dem Impuls $ \ boldsymbol {p} $ span> entlang $ \ boldsymbol {e} $ span> hat einen Winkel Impuls über den Ursprung

   $$ \ boldsymbol {L} = \ boldsymbol {r} \ times \ boldsymbol {p} \; \;\ rightarrow \ |\ boldsymbol {L} \ |= d \, \ |\ boldsymbol {p} \ |\ tag {4} $$ span>

ol>

Es ist wirklich viel einfacher als die anderen Antworten bisher gezeigt haben.Wir verwenden die Kreuz- und Punktprodukte (und alle anderen mathematischen Produkte), weil sie es uns ermöglichen, ziemlich einfache mathematische Modelle (dh die Gesetze der Physik) zu erstellen, die genau darstellen, was das Universum tatsächlich tut.

Kreuzprodukte werden häufig mit Pseudovektoren (auch Axialvektoren genannt) verwendet. Weniger mit Vektoren (auch bekannt als polare Vektoren). Hier hilft es, den Unterschied zwischen axialen und polaren Vektoren zu verstehen.

Sowohl axiale als auch polare Vektoren würden Mathematiker als Vektor betrachten. Beide sind ein Satz von 3 Koordinaten. Sie werden oft als Pfeile gezeichnet. Sie können addiert und mit Zahlen wie Pfeilen multipliziert werden.

Physiker benötigen etwas mehr, um eine Größe als Vektor zu betrachten. Sie müssen eine physikalische Größe darstellen, die sich beim Ändern der Basis richtig umwandelt.

Polare Vektoren repräsentieren Größen wie Entfernung, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Kraft. Diese können die Bewegung eines Punktteilchens mit einer Größe und Richtung beschreiben

Axialvektoren repräsentieren einen anderen Satz von Größen, wie Winkelgeschwindigkeit und Drehimpuls. Diese beschreiben Dinge wie Drehbewegungen in einer Ebene. Sie sind eine Größe und Ausrichtung der Ebene. Dies entspricht einer Bewegung um eine Achse. Sie werden häufig durch einen Pfeil dargestellt, wobei der Pfeil parallel zur Achse und senkrecht zur Ebene verläuft. Die Ebenenorientierung beinhaltet die Idee des Uhrzeigersinns gegen den Uhrzeigersinn. Dies wird dargestellt, indem der Pfeil auf die eine oder andere Seite der Ebene gelegt wird, wie es die rechte Regel vorschreibt.

Axialvektoren entstehen häufig als Produkt zweier senkrechter Polarvektoren. $ \ vec \ omega = (\ vec r \ times \ vec v) / r ^ 2 $ span>.

Bei einem starren Objekt, das an einer Achse befestigt ist, kann sich jeder Punkt nur mit $ v $ span> senkrecht zu $ r $ bewegen span>. Ein freies Teilchen kann sich jedoch in jede Richtung bewegen. In diesem Fall wählt das Kreuzprodukt die Komponente von $ v $ span> aus, die senkrecht zu $ r $ span> ist , die Komponente, die zur Drehung um die Achse beiträgt. Das Ergebnis ist ein Vektor senkrecht zu $ v $ span> und $ r $ span> gemäß der rechten Regel.

Das Magnetfeld ist ein axialer Vektor. Weitere Informationen finden Sie unter Warum ist das B-Feld ein axialer Vektor?. Dies bedeutet, dass ein Strom ein $ B $ span> -Feld um ihn herum erzeugt, das durch Magnetfeldlinien beschrieben wird. Bei einem geraden Strom sind die Feldlinien planar und kreisförmig. Bei komplexeren Strömen handelt es sich immer um geschlossene Kurven. An jedem Punkt ist die Feldlinie die "Achse", die senkrecht zur Ebene des Magnetfelds ist.

Magnetkraft wird erzeugt, wenn sich eine Ladung in der Ebene von $ B $ span> bewegt. Das heißt, wenn sich eine Ladung senkrecht zur "Achse" von B bewegt. Dies wird von $ \ vec F = q \ vec v \ times \ vec B $ span> erfasst.

Kreuzprodukte sind von Natur aus nützlich, wenn Rotationen beschrieben werden. Schauen wir uns zunächst zwei verschiedene Arten der Beschreibung von Rotationen in $ \ mathbb {R} ^ {3} $ span> an.

Der erste Weg, dies zu tun, besteht darin, die Rotationsachse anzugeben, die durch eine Linie in $ \ angegeben wird mathbb {R} ^ {3} $ span> und eine Größe (die den Winkel darstellt), die durch eine Zahl in $ \ mathbb {R} $ span angegeben wird >. Wenn ich diese beiden Dinge kombiniere, erhalte ich einen Vektor, beispielsweise $ x \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ span>.

Ein weiterer guter Weg, dies zu tun, besteht darin, die Ebene anzugeben, in der ich mich drehe, die ich durch zwei senkrechte Linien in $ \ mathbb {R} ^ {3} $ span> und eine Größe (die den Winkel darstellt), die wiederum eine Zahl in $ \ mathbb {R ist } $ span>. Ich codiere diese Dinge, indem ich zwei Vektoren $ v, w \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ span> auswähle, und sage, dass die Größe durch das Produkt von codiert wird die Längen $ \ | v \ | \ | w \ | $ span>. Dies bedeutet, dass viele verschiedene Paare von $ v, w \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ span> dieselbe Rotation ergeben, aber das ist in Ordnung. (Ich kann sogar mehr verschiedene Paare zulassen, indem ich nicht annehme, dass $ v $ span> und $ w $ span> senkrecht sind , aber dann muss ich ihr Produkt durch den Bereich der von ihnen überspannten Parallelogramme ersetzen.)

Mit dem Kreuzprodukt können wir nun zwischen diesen verschiedenen Arten der Codierung von Rotationen übersetzen. Um genau zu sein, wenn $ x \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ span> und das Paar $ v, w \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ span> beschreiben dieselbe Drehung, dann $ x = v \ times w $ span>.

(Die Tatsache, dass viele verschiedene Paare $ v, w \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ span> dieselbe Rotation beschreiben, bedeutet, dass $ x $ span> kann auf viele verschiedene Arten als Kreuzprodukt geschrieben werden, dh es gibt viele $ v ', w' \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ span>, so dass $ v '\ times w' = v \ times w = x $ span>.)

Warum dies in der Physik auftaucht, ist nicht so eindeutig zu beantworten, außer dass diese beiden unterschiedlichen Darstellungsweisen von Rotationen ihre Verwendung haben. Wenn Sie beispielsweise in Ihrem Beispiel von einer Ladung sprechen, die sich in einem elektrischen Feld bewegt, würde ich sagen, dass dies nur eine Tatsache der Natur ist, die experimentell festgestellt wurde.

Eine interessante Seite ist, dass Rotationen zusammengesetzt werden können, d. H. Bei zwei Rotationen kann ich zuerst eine und dann die andere machen, um eine dritte Rotation zu erhalten. Es könnte interessant sein, herauszufinden, wie dies in einem der oben angegebenen Bilder funktioniert.

Das Kreuzprodukt ist die Darstellung der so (3) Lie-Algebra.Dies bedeutet, dass die infinitesimale Rotation durch das Kreuzprodukt dargestellt wird.

Ich bin mir nicht sicher, wie fortgeschritten Sie mathematisch sind, daher ist es schwierig zu wissen, wie viel Sie verbal hinzufügen müssen.Außerdem poste ich von einem Tablet aus, so dass das Tippen umständlich ist.

Es gibt keine einzige Antwort, aber das Kreuzprodukt beinhaltet eine Art Drehung um eine Achse.Ob dies eine physikalische Rotation oder eine mathematische Verschiebung ist, hängt von den Umständen ab.

Ein Ort, an dem das Kreuzprodukt ziemlich leicht zu verstehen ist, ist die Beziehung zwischen Drehimpuls, kinnetischer Rotationsenergie und Drehmoment.

Lassen Sie mich wissen, ob Sie der Mathematik anhand des Diagramms folgen können.Ich spreche von den Dervationen in den Kisten.Das Zeug darunter ist unvollständig.