Der Faktor 1/2 wird für die galiläische Invarianz benötigt, damit sich die Energie ohne Faktor mit dem Impuls vermischt. Dies wurde vor der Relativitätstheorie verstanden, ist jedoch vor der Relativitätstheorie weitgehend konventionell, da Sie die Energie mit einem bestimmten Koeffizienten mit dem Impuls verwechseln können. Sobald Sie die Relativitätstheorie haben, ist die 1/2 nicht mehr optional.

Ich beginne mit der Relativitätstheorie. Die kinetische Energieformel ist die zusätzliche Energie in einem sich bewegenden Teilchen

$$ {m \ over \ sqrt {1-v ^ 2}} = m + {mv ^ 2 \ over 2} + \ cdots $ $

in Einheiten mit c = 1. Die eine Hälfte stammt aus der Ausdehnung der geometrischen Quadratwurzel, und die Quadratwurzelform im Nenner ist eindeutig und natürlich festgelegt, indem Energie und Impuls zu einem Vektor mit vier Vektoren zusammenpassen müssen. Dies ist die einzige natürliche Definition in der Relativitätstheorie und wird durch die Geometrie gerechtfertigt.

In der Newtonschen Mechanik wandeln sich Energie und Impuls nach einem galiläischen Schub zusammen. Wenn Sie ein geschlossenes System mit Impulsen $ p_i $ haben, die sich zu Null addieren (Schwerpunktrahmen), beträgt die Änderung der kinetischen Energie nach einem Boost, der $ p_i \ rightarrow p_i - m_i v $ verschiebt,

$$ \ sum_i {p_i ^ 2 \ über 2m_i} \ rightarrow \ sum_i m_i ~ (v_i - v) ^ 2 = \ sum_i {p_i ^ 2 \ über 2m_i} - \ sum_i p_i \ cdot v + \ sum_i m_i { v ^ 2 \ over 2} $$

Die Änderung besteht aus zwei Teilen:

$$ (\ sum_i p_i) \ cdot v $$

Dies ist das Mischen von Energie und Impuls, und dieser Teil ist der Gesamtimpulspunkt der Geschwindigkeit, und er ist Null, wenn Sie im CM-Rahmen beginnen. Der andere Teil ist:

$$ (\ sum_i m_i) {v ^ 2 \ over 2} $$

Dieser Teil ist die Gesamtmasse mal das halbe Quadrat der Geschwindigkeit. oder die gesamte kinetische Energie, die dem Objekt durch Verstärkung hinzugefügt wird. Sie sehen, dass Sie die richtige Antwort erhalten, die Gesamtmasse multipliziert mit der Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts, jetzt, wo sich der Massenschwerpunkt bewegt. Wenn sich das Objekt bereits bewegt hat, ist es nicht trivial, sicherzustellen, dass Sie die richtige Antwort erhalten - das neue Quadrat des Massenschwerpunkts multipliziert mit dem Quadrat der Gesamtmasse - für die neue Energie.

Diese Anforderung, dass die Energie unter galiläischen Boosts konsistent ist, ist mit der Vermischung von Impuls und Energie gemeint. Am einfachsten ist es, wenn Sie den Koeffizienten 1/2 nehmen, letztendlich, weil dies die natürliche nichtrelativistische Grenze der Relativitätstheorie ist. Sie hätten einen Faktor von 2 im p-Mischterm, wenn Sie nicht den Koeffizienten 1/2 nehmen würden. Es ist tatsächlich ein Beweis für die Einsicht der Physiker des 19. Jahrhunderts, dass sie die natürlichste Konvention angenommen haben, bevor die Relativitätstheorie entdeckt wurde.

Die Hälfte der nicht-relativistischen kinetischen Energie kann auf den Arbeitsenergiesatz zurückgeführt werden $ ^ 1 $.

Wenn man nur daran interessiert ist, ein Problem der elastischen Kollision für ein isoliertes System von Punktpartikeln unter Verwendung von Impuls- und kinetischer Energieerhaltung zu lösen, wird natürlich kein Schaden durch Multiplikation der Energieerhaltungsgleichung mit einem Faktor 2 angerichtet beide Seiten der Gleichung.

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$ ^ 1 $ Hier nehmen wir an, dass die Standardformeln für die Arbeit $ W = \ int {\ bf F} \ cdot d {\ bf r} $, Newtons 2. Gesetz $ {\ bf F} = m {\ bf a} $, Beschleunigung $ {\ bf a} = \ Punkt {\ bf v} $, Geschwindigkeit $ {\ bf v} = \ Punkt {\ bf r} $ usw. gelten ohne unkonventionelle Normalisierungsfaktoren.

Der Grund liegt im Arbeitsenergiesatz, der besagt, dass, wenn eine Kraft über eine Entfernung auf ein Objekt ausgeübt wird, das Integral der Kraft entlang der Entfernung oder die auf das Objekt ausgeübte Arbeit gleich der sein muss Änderung der kinetischen Energie, da die durch Arbeit übertragene Energie erhalten bleiben muss. Wenn also für ein ruhendes Objekt eine Kraft $ F $ in einer Dimension über eine Distanz $ x $ angewendet wird, ergibt sich ihre Änderung der kinetischen Energie aus der am Objekt durchgeführten Arbeit: $$ E_k - 0 = \ int_ {0 } ^ {x} {F \ cdot dx} $$ (Wir haben die Änderung der kinetischen Energie, dargestellt durch $ E_k $ als endgültige kinetische Energie und $ 0 $ als anfängliche kinetische Energie.) Wenn wir das Integral mit $ F manipulieren = ma $, es wird $$ E_k = \ int_ {0} ^ {x} {ma \ cdot dx} $$ Wir können im Integral mit $ \ frac {dt} {dt} $ multiplizieren und es wird $$ E_k = \ int_ {0} ^ {x} {ma \ hspace {2pt} dt \ cdot \ frac {dx} {dt}} $$ Da wir wissen, dass $ v = \ frac {dx} {dt} $ und dass $ a = \ frac {dv} {dt} $, $ a \ hspace {2pt} dt $ zu $ ​​dv $ und $ \ frac {dx} {dt} $ zu $ ​​v $ wird. Dadurch wird das Integral zu: $$ E_k = \ int_ {0} ^ {v} {mv \ cdot dv} $$ Wir integrieren jetzt von $ 0 $ nach $ v $, weil wir das Integral in eine Integral-Over-Position in ein Integral-Over-Velocity verwandelt haben Das Integrieren einer linearen Funktion $ kx $ in Bezug auf $ x $ ergibt $ \ frac {1} {2} kx ^ 2 $, der Ausdruck wird: $$ E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $$

Im Grunde genommen ist der Arbeitsenergiesatz sowie die Manipulation des Integrals der Grund für das $ \ frac {1} {2} $ in $ \ frac {1} {2} mv ^ 2 $.

Beachten Sie zusätzlich zu den anderen Antworten, dass $ E = \ frac 1 2 mv ^ 2 $ eine quadratische Form ist.

Quadratische Formen entstehen immer dann, wenn Sie ein $ f (x) = integrieren k \ cdot x $ -Funktion.

Beispiele:

$$ E_ {kin} = \ int mv \; \ mathrm d v = \ tfrac 1 2 m v ^ 2 \\ A_ \ circ = \ int \ tau r \; \ mathrm dr = \ tfrac 1 2 \ tau r ^ 2 \ quad \ tau = 2 \ pi \\ E_ {spring} = \ int kx \; \ mathrm dx = \ tfrac 1 2 kx ^ 2 \\ v = \ int at \; \ mathrm dt = \ tfrac 1 2 at ^ 2 $$

In der Speziellen Relativitätstheorie ist die additive Gruppe der Geschwindigkeit nicht die Reals, sodass Sie ein anderes Ergebnis dieser Integration erhalten.

Kinetische Energie ($ \ mathrm {KE} $) entspricht der geleisteten Arbeit, $ \ mathrm {KE} = W $, und Arbeit entspricht der Kraft ($ F $), die auf einen Körper ausgeübt wird, multipliziert mit der Entfernung ( $ d $) es reist oder $ W = Fd $. Da $ F = ma $ ist, macht die frühere Gleichung $ W = mad $.

Angenommen, die Beschleunigung ist gleichmäßig und die Anfangsgeschwindigkeit ist Null, nehmen wir an, dass sich auf $ y ein Graph mit der Geschwindigkeit $ v $ befindet $ -Achse und Zeit ($ t $) auf der $ x $ -Achse. Außerdem verläuft eine Linie durch den Ursprung und hat eine Steigung, die der Beschleunigung des Körpers entspricht. Für ein gegebenes Zeitintervall entspricht die vom Körper zurückgelegte Entfernung der Fläche unter der Linie und das ist $ d = vt / 2 $. Wenn wir $ d $ durch $ W = mad $ ersetzen, erhalten wir $ W = mavt / 2 $ (beachten Sie, wie die Hälfte erschienen ist). Die Gleichung wird zu $ ​​W = matv / 2 $, aber da $ at = v $ ist, erhalten wir $$ W = \ mathrm {KE} = \ frac {1} {2} mv ^ 2. $$

Siehe das folgende Diagramm, in dem die Gleichung der Linie (d. h. eine lineare Funktion) eine Steigung aufweist, die der Beschleunigung eines Körpers entspricht. Erinnern Sie sich an die y-Achsenabschnitt-Gleichung für eine Linie oder $ y = mx + b $, wobei $ m $ die Steigung und $ b $ den y-Achsenabschnitt oder die Anfangsgeschwindigkeit darstellt. Beachten Sie auch, dass die Form des Bereichs $ d $ die eines rechtwinkligen Dreiecks ist. Dies bedeutet, $$ v = bei $$

Kinetische Energie isoliert die Energie, die direkt mit der Vektorbewegung eines bestimmten Objekts verbunden ist, und schließt den Gegenimpuls zu anderen Objekten aus, die notwendigerweise in entgegengesetzter Richtung existieren müssen, um Newtons drittes Gesetz zu erfüllen.

Die Summe der gesamten kinetischen Energie, die über alle Objekte hinweg erzeugt wird, entspricht der so angelegten Energiemenge. Da jedoch jedes einzelne Objekt (sehr locker verwendet) nur die Hälfte der damit verbundenen Energie "besitzen" kann Mit seiner insgesamt größeren impulsneutralen Bewegung ist dies daher auch alles, was er übertragen kann, indem er bei einer Kollision seinen eigenen Impuls weitergibt.

Andere Energieformen erfassen die Gesamtenergie, die zur Erzeugung einer Bewegung in einem Impuls erforderlich ist neutrale Mode. Insbesondere umfasst die potentielle Gravitationsenergie sowohl die Bewegung, die mit einem auf die Erde fallenden Objekt verbunden ist, als auch die viel kleinere, aber immer noch impulsgleiche Bewegung der Erde, die sich aufsteigt, um das Objekt zu treffen. So die Existenz der halben Konvention. Verwandte: Schwerkraft und KE

Der gleiche Grund, warum die Entfernung die Hälfte der Beschleunigung beträgt Ich habe meine eigenen Möglichkeiten, die Frage zu beantworten, da ich keinen Kalkül kenne. Wie auch immer

$ w = mda $, vorausgesetzt, Sie kennen Entfernung und Beschleunigung (vorerst)

$ d = \ frac {1} {2} bei ^ 2 $

$ \ frac {2d} {a} = t ^ 2 $

$ \ sqrt {\ frac {2d} {a}} = t $

Multiplizieren der Zeit t mit der Beschleunigung a ergibt die Geschwindigkeit

$ v = \ sqrt {\ frac {2d} {a}} a $

$ v = \ frac {\ sqrt {{2d}}} {\ sqrt {a}} a $

$ v = \ sqrt {2d} \ sqrt {a} $

$ v = \ sqrt {2da} $ und da sind gleich Arbeit über Masse, also

$ v = \ sqrt {\ frac {2w} {m}} $

$ v ^ 2 = \ frac {2w} {m} $

$ mv ^ 2 = 2w $

$ w = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $