Was sind die besten Lehrbücher für den mathematischen Hintergrund, den Sie für die moderne Physik benötigen, wie z. B. die Stringtheorie?
Einige Themen, die wahrscheinlich behandelt werden müssen:
Das letzte Buch, das ich über "Hintergrund in Mathematik für Physiker" gelesen habe, war "Mathematik für Physik" von Stone und Goldbart, und es hat mir ziemlich gut gefallen. (Seitdem habe ich eher die reinen Mathematikbücher gelesen, aber das ist eine andere Geschichte.)
Noch besser, eine Version des Buches ist online auf der Webseite von Paul Goldbart verfügbar . * Wenn die obige URL nicht funktioniert; Versuchen Sie Folgendes: http://goldbart.gatech.edu/PG_MS_MfP.htm *
Hier ist eine Liste der Themen:
* Kalkül von Variationen * Funktionsräume * Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen * Lineare Differentialoperatoren * Grüne Funktionen * Partielle Differentialgleichungen * Die Mathematik reeller Wellen * Spezielle Funktionen * Integralgleichungen * Vektoren und Tensoren * Differentialrechnung auf Mannigfaltigkeiten * Integration auf Mannigfaltigkeiten * Eine Einführung in Differenzielle Topologie * Gruppen und Gruppendarstellungen * Lügengruppen * Die Geometrie von Faserbündeln * Komplexe Analyse I * Komplexe Analyse II * Spezielle Funktionen und komplexe Variablen o Anhang A: Überprüfung der linearen Algebra o Anhang B: Fourierreihen und Integrale
Sean Carrolls Lecture Notes on General Relativity enthält eine hervorragende Einführung in die Mathematik von GR (Differentialgeometrie auf Riemann-Mannigfaltigkeiten). Diese wurden auch in modifizierter Form in seinem Buch Spacetime and Geometry veröffentlicht.
Spivaks Calculus on Manifolds ist ein Juwel.
Bishop's Tensor Analysis on Manifolds ist eine großartige Einführung in das Thema und wird von Dover veröffentlicht. Es ist sehr günstig (weniger als 10 US-Dollar bei Amazon).
Georgis Lie Algebras In Particle Physics ist unterhaltsam und schnelllebig, überspringt aber wahrscheinlich zu viel, um als angemessene Erstbelichtung verwendet zu werden.
Shutz Geometrische Methoden der mathematischen Physik und Ein erster Kurs in Allgemeine Relativitätstheorie.
Trotz seines unglaublich pompösen Titels bietet Penrose Der Weg zur Realität: Ein vollständiger Leitfaden zu den Gesetzen des Universums einen unterhaltsamen Überblick auf hoher Ebene Eine weite Fläche der mathematischen Physik.
Wie von Cedric erwähnt, bin ich ein großer Fan von Sussmans und Wisdom's Struktur und Interpretation der klassischen Mechanik und dem dazugehörigen Memo über funktionale Differentialgeometrie. Die Zitate in diesen Veröffentlichungen weisen auch auf viel gutes Material hin, und es gibt mehr Extras, wenn Sie im Quellcode herumgraben.
Für eine allgemeine Herangehensweise an die Mathematik der klassischen und der Quantenphysik ist eines meiner Lieblingsbücher:
- "Mathematik der klassischen und Quantenphysik", Byron & Fuller.
Auf der geometrischeren Seite können Sie neben den bereits erwähnten Büchern Folgendes versuchen:
- "Die Geometrie der Physik. Eine Einführung", Theodore Frankel.
Und als Als allgemeine Referenz ist der übliche Text Arfkens "Mathematische Methoden für Physiker".
Wenn Sie jedoch die mathematischen Werkzeuge der Physik gründlich verstehen möchten, sollten Sie "Methoden der Theoretischen Physik" von verwenden Morse & Feshbach. Es ist ein altes Buch, aber wichtig, wenn Sie Jacksons klassische Elektrodynamik oder Messias Quantenmechanik verstehen wollen.
Ich fand, dass Mathematische Methoden in den Naturwissenschaften von Mary Boas ein sehr gutes, breites Buch ist, das die Grundlagen behandelt. Sie werden natürlich andere Bücher benötigen, aber wenn Sie nach einem Buch suchen, um die Grundlagen gründlich zu überprüfen, ist dieses Buch ausgezeichnet.
Hier sind die Kapitelüberschriften:
Ich unterstütze auch Roger Penrose's The Road to Reality als ein gutes Buch mit einem breiten Spektrum an Mathematik mit einer theoretischeren Ausrichtung. P. >
Schöne Frage. Ich weiß weder über Differentialgeometrie noch über algebraische Topologie viel, aber nachdem ich ein wenig Gruppen studiert habe, denke ich, dass ich einige Referenzen für Lie-Gruppen liefern kann. Hier sind die Bücher, die ich nützlich fand
Samelson, Anmerkungen zu Lügenalgebren, geschrieben in einem Definition, Theorem, Proof -Stil Daher ist es wenig schwer zu verstehen (ich empfehle ein mehrfaches Nachlesen), bietet aber einen guten Überblick über die Struktur, Klassifizierung (Wurzelsysteme und Dynkin-Diagramme) und Darstellungen (Theorie des höchsten Gewichts) von Lie-Algebren.
Humphreys, Einführung in Lügenalgebren und Repräsentationstheorie weniger theoremlastig und gesprächiger als Samelson und enthält eine große Anzahl großartiger Übungen.
Fulton, Harris, Repräsentationstheorie In einem ersten Kurs wird mehr oder weniger alles besprochen, was ein Physiker über Gruppen wissen muss (erwähnt auch einige endliche Gruppen). Fehlt der systematische Theorem-basierte Ansatz der beiden obigen Bücher, bietet aber großartige Erklärungen und schöne Bilder. Ich würde es als eine schöne erste Lesung über Gruppen vorschlagen, wenn es nicht so lang wäre.
Goodman, Wallach, Darstellungen und Invarianten der klassischen Gruppen Dies ist eine ultimative Bibel für Gruppen. Die Autoren gehen die Lie-Gruppen algebraisch geometrisch an (anstelle der üblichen Differentialgeometrie), was es für einen normalen Physiker etwas schwierig macht, das Buch zu lesen. Abgesehen davon bietet das Buch einen detaillierten Einblick in viele konkrete Darstellungen (z. B. Tensordarstellungen und Verbindung mit symmetrischen Gruppen; dies wird an anderer Stelle häufig weggelassen), diskutiert die Theorie des höchsten Gewichts ausführlich, bietet eine schöne Einführung in Spinoren und erwähnt auch Verzweigungsregeln. Und viele andere Sachen. Auf jeden Fall zu empfehlen.
Ein ziemlich mathematisches, aber klassisches Buch über Riemannain-Mannigfaltigkeiten ist: Semi-Riemannsche Geometrie von O'Neill.
Einige ansprechbare Lügenalgebra-Notizen sind hier verfügbar. Sie erfordern wenig Hintergrundwissen: Vorlesungsnotizen zur Lügenalgebra.
Mein persönliches Lieblingsbuch über algebraische / Differentialtopologie ist: Kalkül zur Kohomologie. Dieses Buch ist äußerst zugänglich und erfordert nur multivariable Berechnungen und lineare Algebra, um es vollständig zu verstehen. Ich kann es nicht genug empfehlen, besonders für die Physik.
Auch ich dritter Weg zur Realität. Es ist ein sehr lustiges / interessantes Buch!
Was für ein faszinierend ungewöhnliches Buch! Differentialgeometrie als Computeralgorithmen erklärt.
Das Gebiet der Operatoralgebren hat einen starken Zusammenhang mit der Quantentheorie und ist sicherlich eine notwendige Voraussetzung für das Studium vieler Literaturen in der modernen Physik. Ich liste einige der Bücher über Operatoralgebren und Physik im Folgenden auf:
S. Attal, A. Joye, C.A. Pillet, Editoren, Open Quantum-Systeme 1, der Hamilton-Ansatz. Springer, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1880 (2006).
B. Blackadar, Operatoralgebren. Springer, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 122 (2006).
O. Bratteli, D. W. Robinson, Operatoralgebren und quantenstatistische Mechanik 1, $ C ^ * $ - und $ W ^ * $ - Algebren, Symmetriegruppen, Zerlegung von Zuständen. Springer, Texte und Monographien in Physik, 2. Auflage, 2. Druck, (2002).
Connes, A., Nichtkommutative Geometrie. Academic Press, Inc. (1994). Garcia-Bondia, J. M., Varilly, J. C., Figueroa, H., Elemente nichtkommutativer Geometrie. Birkhauser Advanced Texts, Birkhauser, (2000).
N. P. Landsman, Mathematische Themen zwischen klassischer und Quantenmechanik. Springer, Monographien in Mathematik, (1998).
M. Takesaki, Theorie der Operatoralgebren I, II, II. Springer, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 124 (2002).
N. Weber, mathematische Quantisierung. Studium der fortgeschrittenen Mathematik, Chapman und Hall / CRC, (2001).
Zusätzlich zu den oben genannten Büchern finden Sie eine vollständigere Liste allgemeiner Referenzen zu $ C ^ * $ - Algebren und Operatoralgebren Eine einfache Lektüre für Anfänger finden Sie in meinen Vorlesungsunterlagen zu $ C ^ * $ - Algebren hier.
Das beste Mathematikbuch, das ich jemals gelesen habe, um für die Physik nützlich zu sein, ist
Es ist ein absolutes Juwel. Es führt Sie durch lineare Algebra und Differentialformen ab dem ersten Quadrat, vorausgesetzt, Sie kennen nur Algebra und Kalkül. Die Beweise sind legitim und in einigen Fällen wirklich kreativ. Das Beste daran ist, dass es sich an Personen richtet, die Mathematik für Anwendungen verwenden möchten. Die Extremisierung von Funktionen auf Mannigfaltigkeiten ist sehr gut entwickelt und die Autoren geben aufschlussreiche Informationen darüber, wie die im Buch vorgestellten analytischen Themen numerisch angegangen werden können. Wirklich nützliche Dinge wie das Finden von Taylor-Reihen für implizite Funktionen sind gut gemacht. Ich kann diesem Buch wirklich nicht genug Unterstützung geben.
Nachdem ich gelesen habe, dass ich
gelesen habe Dieses Buch integriert formal formale Differentialformen. Trotzdem ist es erstaunlich lesbar und ich habe nie einen einzigen Fehler im gesamten Buch gefunden. Dies war eine großartige Lektüre und stärkte mein Verständnis, war aber für die Physik nicht direkt relevant.
Später las ich
ist eine hervorragende Einführung in gekrümmte Verteiler. Es ist schön, weil er den Unterschied zwischen Vektoren und Co-Vektoren ("Auf" - und "Ab" -Indizes) klar erklärt und alles auf das wirkliche Leben (dh Physik) bezieht.
Fragen Sie nach einem Intro-Level-Buch oder einem fortgeschritteneren Buch für jemanden, der bereits Hintergrundinformationen zu diesen Themen hat?
Für ein Einführungslevel unterstütze ich die oben empfohlenen Schutz- und Spivak-Aspekte. Penrose und Frankel sind meiner Meinung nach nur geeignet, wenn Sie bereits einen Einführungskurs in diese Fächer hatten. Frankels Einführung in Verteiler ist sehr komprimiert, und Penrose bietet wirklich eine Vogelperspektive, während er viele Details überspringt, die Anfänger benötigen würden, um grundlegende Intuitionen zu entwickeln.
Die besten einleitenden Anmerkungen, die ich für Verteiler gefunden habe in GR sind David Malaments, die Sie hier herunterladen können.
'Moderne mathematische Physik' von Peter Szekeres ist das beste Buch, das ich für die Grundlagen der mathematischen Physik gefunden habe. Es ist sehr klar und vermittelt tiefes Verständnis in der ersten Lesung.
Hier gibt es eine Amazon-Vorschau: http://www.amazon.com/Course-Modern-Mathematical-Physics-Differential/dp/0521829607
Kapitelüberschriften:
Mengen und Strukturen
Gruppen
Vektorräume
Lineare Operatoren und Matrizen
Innere Produkträume
Algebren
Tensoren
Äußere Algebra
Spezielle Relativitätstheorie
Topologie
Theorie und Integration messen
Verteilungen (Fourier-Transformationen, Green's Funktionen)
Hilbert-Räume
Quantenmechanik
Differentialgeometrie
Differenzierbare Formen
Integration in Verteiler
Verbindungen und Krümmung
Lügengruppen und Lügenalgebra
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Das Buch von Lee, Einführung in glatte Mannigfaltigkeiten , ist sehr gut und geht das Thema gemächlich und motiviert an. Soweit ich mich erinnere, ist dies nicht auf natürliche Weise mit der Physik verbunden.
Messfelder, Knoten & Gravity von Baez und Munian ist ebenfalls sehr gut lesbar und behandelt die Theorie der Bündel und Differentialformen in der Physik auf einfache, leicht verständliche Weise. Ein bewundernswertes Merkmal des Buches ist, dass die Übungen nur diese Übungen sind, dh sie lehren, wie man das Material versteht.
Ein strengeres Gegenstück zu diesem Material sind die ersten hundert Seiten von Michors Natural Operations in Differential Geometry . Diese Behandlung ist sehr mathematisch und sehr streng.
Was die algebraische Topologie betrifft, so ist das Buch von Lee wieder ein guter Anfang. Eine Einführung in die topologischen Mannigfaltigkeiten und für die fortgeschrittenere Theorie das Buch von Bott & Tu, Differential Formulare in algebraischer Topologie .