Und nein, das sollte eigentlich niemand tun wollen. Aber die Logik dahinter und die Konsequenzen zeigen wahrscheinlich, warum.
Da die Multiplikation verteilend ist, ist das Produkt zweier Zahlen, die in derselben Basis geschrieben sind, $ b, $ span> $ $
\ begin {alignat} {7}
n ^ {\ text {A}} \ times n ^ {\ text {B}} ~~ & \ Rightarrow ~~ &&
\ left (\ sum_ {i} c_i ^ {\ text {A}} \ cdot {b} ^ {i} \ right) \ times \ left (\ sum_ {j} c_j ^ {\ text {B}} \ cdot {b} ^ {j} \ right) \\ [5px]
& = && \ sum_ {i} {\ sum_ {j} {c_i ^ {\ text {A}} \ cdot c_j ^ {\ text {B}} \ cdot {b} ^ {i} \ cdot {b} ^ {j}}} \\ [5px]
& = && \ sum_ {i} {\ sum_ {j} {c_i ^ {\ text {A}} \ cdot c_j ^ {\ text {B}} \ cdot {b} ^ {i + j}}}
\ ,. \ end {alignat}
$$ span>
Die obigen Definitionen gelten für Zahlen, die unendlich viele Informationen enthalten. In der Praxis sind Computer (einschließlich Menschen) endlich (es sei denn, Sie finden einen Hypercomputer), daher beenden wir den Vorgang an zwei Enden:
-
Wir deklarieren eine minimale Basis, $ \ cdot b ^ {i _ {\ text {min}}}, $ span> nach der wir alle weiteren Basen ignorieren , normalerweise unter dem Argument, dass sie verrauscht sind (wenn durch Messung / Schätzung) oder um Rechenarbeit zu sparen (wie Computer).
-
Wir deklarieren eine maximale Basis, $ \ cdot b ^ {i _ {\ text {max}}}, $ span> nach der wir alle weiteren Basen ignorieren . Normalerweise wählen wir $ i _ {\ text {max}} $ span> so, dass wir nur Begriffe abschneiden, in denen $ c_i = 0, $ span>, da die Nullterme sowieso nichts beeinflussen.
ol>
Zunächst stellen wir fest, dass jede Basis $ \ cdot b ^ k $ span> von einem verrauschten Begriff betroffen ist, wenn $ k < i _ {\ text {min}} + j _ {\ text {max}} $ span> oder / und $ k < i _ {\ text {max}} + j_ { \ text {min}} $ span> - ignoriert Fälle, in denen $ c_i c_j \ geq b, $ span>, die ich später erwähnen werde.
Zweitens stellen wir fest, dass jede Basis $ \ cdot b ^ k $ span> ein Nullterm ist, wenn $ k > i _ {\ text {max}} + j _ {\ text {max}}. $ span>
Angesichts dieser beiden Einschränkungen interessieren wir uns daher nur für Basen $$
\ cdot b ^ k ~~ \ text {so dass} ~~ k \ in \ left [\ max {\ left (i _ {\ text {min}} + j _ {\ text {max}}, ~ i _ {\ text {max}} + j _ {\ text {min}} \ right)}, ~ i _ {\ text {max}} + j _ {\ text {max}} \ right]
\ ,. $$ span> Da die Anzahl der Elemente in einem inklusiven Bereich wie diesem liegt, dh $ \ left [n _ {\ text {min}}, ~ n _ {\ text {max}} \ right], $ span> ist $ 1 + n _ {\ text {max}} - n _ {\ text {min}}, $ span> wir Ich interessiere mich daher für $$
\ begin {alignat} {7}
1 + i _ {\ text {max}} + j _ {\ text {max}} - \ max {\ left (i _ {\ text {min}} + j _ {\ text {max}}, ~ i _ {\ text { max}} + j _ {\ text {min}} \ right)}
~~ & = ~~ && 1 + \ min {\ left (i _ {\ text {max}} - i _ {\ text {min}}, ~ j _ {\ text {max}} - j _ {\ text {min} } \ right)} \\ [5px]
& = && \ min {\ left (1+ i _ {\ text {max}} - i _ {\ text {min}}, ~ 1 + j _ {\ text {max}} - j _ {\ text {min}} \ Recht)}
\ end {alignat}
$$ span> Basen.
Wissen Sie also, wie sie sagen, dass das Produkt, wenn Sie zwei Zahlen mit signifikanten Zahlen multiplizieren, die geringere der signifikanten Zahlen der Multiplikanden hat? Das liegt daran, dass $$
\ underbrace {1 + k _ {\ text {max}} - k _ {\ text {min}}} _ {\ begin {array} {c} \ text {signifikante Zahlen} \\ \ text {im Produkt} \ end {array}}
~~ = ~~ \ min {(\ underbrace {1+ i _ {\ text {max}} - i _ {\ text {min}}} _ {\ begin {array} {c} \ text {signifikante Zahlen in der} \\ \ text {erster Multiplikand} \ end {array}}, ~ \ underbrace {1+ j _ {\ text {max}} - j _ {\ text {min}}} _ {\ begin {array} {c} \ text {signifikante Zahlen im} \\ \ text {zweiter Multiplikand} \ end {array}})}
\ ,. $$ span> Dies bedeutet, dass das Produkt die geringere Anzahl signifikanter Zahlen aus beiden Multiplikanden aufweist.
Außer, dass es hier ein Problem gibt: Die obige Logik geht davon aus, dass Basen nicht überlaufen. Was wahr wäre, wenn wir in Base-2 (binär) arbeiten würden, aber in Base-10 (dezimal) haben wir Fälle, in denen $ c_i c_j \ geq b, $ span> z $ 5 \ times 5 \ geq 10. $ span> Ich werde das hier nicht diskutieren, da es von den Standardregeln ignoriert wird, aber ich denke, das Problem ist offensichtlich genug. Allerdings sollen signifikante Zahlen eher ein einfacher Trick sein als für strenge Berechnungen verwendet werden, so dass sie ein bisschen kaputt sind, ist eine Selbstverständlichkeit. (Siehe auch: meine Antwort hier.)
Betrachtet führende Nullen als signifikant
Bei der obigen Ableitung der Signifikanzlogik haben wir die Regel ausgewählt, dass führende Nullen ignoriert werden sollen. Was passiert also, wenn wir sie als für signifikant halten?
Insbesondere fragen Sie nach dem Fall, in dem $ i _ {\ text {max}} $ span> oder $ j _ {\ text {max}} $ span> ist kleiner als Null - z. B. wie in $ 0.01, $ span> in dem $ i _ {\ text {max}} = -2 $ span> - und dann fragen, warum wir die Nullen, die wir noch geschrieben haben, nicht berücksichtigen können, also vermutlich $ i _ {\ text {max}} = 0. $ span>
Nennen wir also Ihre Änderungen $ i _ {\ text {max}} ^ {*} $ span> und $ j_ {\ text {max}} ^ {*}, $ span> wobei $$
i _ {\ text {max}} ^ {*} ~ \ equiv ~ \ max {\ left (i_ \ text {max}, ~ 0 \ right)}
~~~~ \ text {und} ~~~~
j _ {\ text {max}} ^ {*} ~ \ equiv ~ \ max {\ left (j_ \ text {max}, ~ 0 \ right)}
\ ,. $$ span> Dann sagen wir, dass wir an " signifikanten " Zahlen interessiert sind, die führende Nullen enthalten, obwohl wir immer noch auf die vorherigen Begriffe von $ i _ {\ text {max}} $ span> und $ j _ {\ text {max}} $ span>, weil sie für die wichtig sind Problem der Verfolgung der Ausbreitung von Rauschen in der Berechnung.
Wir interessieren uns also für die Basen $$
\ cdot b ^ k ~~ \ text {so dass} ~~ k \ in \ left [\ max {\ left (i _ {\ text {min}} + j _ {\ text {max}}, ~ i _ {\ text {max}} + j _ {\ text {min}} \ right)}, ~ i _ {\ text {max}} ^ {*} + j _ {\ text {max}} ^ {*} \ right]
\ ,, $$ span>, das zum Wiederherstellen der Berechnung der Elementanzahl $$ enthält
1
+ i _ {\ text {max}} ^ {*} + j _ {\ text {max}} ^ {*}
- \ max {\ left (i _ {\ text {min}} + j _ {\ text {max}}, ~ i _ {\ text {max}} + j _ {\ text {min}} \ right)}
$$ span> Mitglieder.
Um die neue Regel für signifikante Zahlen abzuleiten, müssen wir nur $ i _ {\ text {min}} $ span> und $ j _ {\ text {max}} $ span> in Bezug auf $ i _ {\ text {min}} ^ {*} $ span> und $ j _ {\ text {max}} ^ {*}, $ span> und wir sind fertig.
Also, ähm. Wenn $ i _ {\ text {max}} ^ {*} ~ \ equiv ~ \ max {\ left (i_ \ text {max}, ~ 0 \ right)}, $ und wir wissen $ i _ {\ text {max}} ^ {*}, $ span>, wie berechnen wir dann $ i_ \ text {max}? $ span>
Ich meine natürlich, dass $ i _ {\ text {max}} $ span> entweder gleich $ sein wird i _ {\ text {max}} ^ {*} $ span> wenn $ i _ {\ text {max}} ^ {*} > 0, $ span> aber Wenn $ i _ {\ text {max}} ^ {*} = 0, $ span>, dann wissen wir nur, dass $ i_ {\ text {min}} \ leq i _ {\ text {max}} \ leq 0. $ span> Unser Problem ist, dass diese Informationen verloren gehen, sodass nur die Anzahl der " signifikanten Zahlen " bekannt ist. em> "reicht nicht aus, um festzustellen, wie viele wir benötigen.
Aber scheiß drauf, bedeutende Zahlen sind sowieso ein Hack. Und solange wir die Grenze auf der niedrigstwertigen Basis respektieren, können wir zusätzliche Nullen behalten, wenn wir möchten. Da sie, wissen Sie, nichts beeinflussen.
Um zu vermeiden, dass führende Ziffern ungleich Null versehentlich abgeschnitten werden, müssen wir die Regeln so schreiben, dass mindestens so viele signifikante Zahlen im Produkt vorhanden sind, wie erforderlich, um die Konsistenz zu gewährleisten.
Wir brauchen also eine Reihe von signifikanten Zahlen, die $$ entsprechen
\ max {\ left (
1
+ i _ {\ text {max}} ^ {*} + j _ {\ text {max}} ^ {*}
- \ max {\ left (i _ {\ text {min}} + j _ {\ text {max}}, ~ i _ {\ text {max}} + j _ {\ text {min}} \ right)}
~~~~ \ forall
\ begin {array} {l}
i _ {\ text {max}} \ in \ left [i _ {\ text {min}}, ~ \ max {\ left (0, ~ i _ {\ text {max}} ^ * \ right)} \ right] \ \.
j _ {\ text {max}} \ in \ left [j _ {\ text {min}}, ~ \ max {\ left (0, ~ j _ {\ text {max}} ^ * \ right)} \ right]
\ end {array}
\Recht)}
\ ,, $$ span> reduziert sich auf $$
1 + i _ {\ text {max}} ^ {*} - i _ {\ text {min}} + j _ {\ text {max}} ^ {*} - j _ {\ text {min}}
\ ,, $$ span> oder $$
\ underbrace {1 + i _ {\ text {max}} ^ {*} - i _ {\ text {min}}} _ {\ begin {array} {c} \ text {signifikante Zahlen im} \\ \ text { erster Multiplikand} \ end {array}}
+ \ underbrace {1 + j _ {\ text {max}} ^ {*} - j _ {\ text {min}}} _ {\ begin {array} {c} \ text {signifikante Zahlen im} \\ \ Text {zweiter Multiplikand} \ end {array}}
- 1
\ ,. $$ span> Mit anderen Worten, die neue Regel lautet, dass wir eine Anzahl von signifikanten Zahlen beibehalten müssen, die der Summe der signifikanten Zahlen der Multiplikanden minus eins entspricht, wobei die neue " signifikant" ist "Ziffern, falls vorhanden, sind führende Nullen.
Dies ist eine Regel, die Sie haben können , aber es erfordert dann, dass Sie die signifikanten Zahlen des Produkts anschließend wiedergeben, bevor Sie weitere Operationen ausführen, da diese Logik nicht konservativ ist.
Problem: Die Anzahl der signifikanten Zahlen wächst
Um ein falsches Abschneiden zu vermeiden, mussten wir mindestens so viele führende Nullen beibehalten, um sicherzustellen, dass nichts gelöscht wurde. Wenn diese Berechnungen wiederholt werden, kann das Aufblähen führender Nullen weiter zunehmen. (Was ich eigentlich nicht herausgefunden habe; das Ausschreiben dauerte länger als ursprünglich angenommen, und ehrlich gesagt ist mir langweilig. = P)
Da diese Ableitung jedoch davon ausgeht, dass es uns nichts ausmacht, triviale Arbeit zu leisten, haben wir das Löschen von Begriffen $ c_i c_j b ^ {i + j} = 0 abgelehnt $ span> aus der Berechnung, das ist vermutlich kein Problem für jemanden, der diese Logik verwenden möchte.
Schlussfolgerung
Lange Rede, kurzer Sinn, Sie können führende Nullen als " signifikant " betrachten, wenn Sie möchten, und dann eine Reihe führender Nullen vor Zahlen einfügen, um diese Logik beizubehalten.
Es hat eigentlich nichts zu bedeuten, da es im Grunde nur zusätzliche Nullen enthält, aber es ist ein mathematisch konsistenter Berechnungsansatz, den man wählen könnte, wenn sie so geneigt wären.