Ein Standardargument, um die Möglichkeit zu verweigern, dimensionale Größen in transzendentale Funktionen einzufügen, ist der folgende Ausdruck für die Taylor-Erweiterung von z. $ \ exp (\ cdot) $:

$$ e ^ x = \ sum_n \ frac {x ^ {n}} {n!} = 1 + x + \ frac {x ^ 2} { 2} + \ dots \ ,. \ Tag1 $$

Hier würden wir Mengen mit unterschiedlichen Abmessungen hinzufügen, die Sie bereits akzeptiert haben. Dies macht keinen Sinn.

OTOH, es gibt ein Argument (Paywalled Paper), dass in der Taylor-Erweiterung, in der die Ableitungen "richtig" genommen werden, für eine Funktion $ f $ etwa Folgendes angezeigt wird:

\ begin {mehrzeilig} f (x + \ delta x) = f (x) + \ delta x \ frac {df (x)} {dx} + \ frac {\ delta x ^ 2} 2 \ frac {d ^ 2f (x) } {dx ^ 2} + \ frac {\ delta x ^ 3} {3!} \ frac {d ^ 3f (x)} {dx ^ 3} + \ dots = \\ = f (x) + \ sum_ { n = 1} ^ \ infty \ frac {\ delta x ^ n} {n!} \ frac {d ^ nf (x)} {dx ^ n}, \ tag2 \ end {multline}

und die Dimensionen von Derivaten sind diejenigen von $ 1 / dx ^ n $, die diejenigen von $ \ delta x ^ n $ Termen aufheben, was das obige Argument fadenscheinig macht.

(Ich weiß, dass ich eine alte Frage beantworte, aber ich denke, das Folgende ist eine gute Möglichkeit, jungen Studenten zu erklären.)

Sie müssen Taylor-Erweiterungen nicht kennen. Denken Sie einfach an die Definition des Exponentials. Es erfüllt die Differentialgleichung

$$ \ frac {\ text dy} {\ text dx} = y (x) $$

Demnach ist die Ableitung von $ \ text e ^ x $ hat die gleiche Dimension wie $ \ text e ^ x $. Daher sollte $ x $ dimensionslos sein, da die Ableitung von $ \ text e ^ x $ die Dimension von $ \ text e ^ x $ geteilt durch $ x $ hat. (Diese Behauptung stammt aus der Definition der Ableitung als Grenze und wird auch durch die Notation $ \ text d / \ text d x $ vorgeschlagen.)

Aufgrund der Art und Weise, wie ein Exponential definiert wird. Mit einem Ausdruck wie $ a ^ b $ meinen wir zu sagen, dass die Menge $ a $ $ b $ mal mit sich selbst multipliziert wird. Ein Ausdruck wie $ (5m) ^ {7s} $ würde also bedeuten, dass $ 5m $ "7 Sekunden" mal mit sich selbst multipliziert wird, was bedeutungslos ist.

Ein weiterer zu beachtender Punkt ist, dass streng genommen nur gesagt wird, dass der Exponent dimensionslos ist und nicht, dass er keine Ausdrücke mit Dimension enthält. So könnten wir zum Beispiel einen Ausdruck wie $ X = a ^ {(E / E_0)} $ haben, wobei der Exponent für a ein Verhältnis von Energien ist.

Es gibt verschiedene Einschränkungen für den Raum (manchmal betrachtet) als Vektorraum) von Dimensionsgrößen: Beispielsweise werden Einheiten zu rationalen, aber nicht zu irrationalen Werten erhoben. Dies ermöglicht die Bildung eines Satzes: The Buckingham $ \ Pi $ Theorem.

Die Antwort des Community-Wikis scheint zu einer nicht schlüssigen Mischung von Meinungen geworden zu sein, gefolgt von einem langen Kommentarthread, der schwer zu interpretieren ist. Das Papier, auf das dort Bezug genommen wird, ist Matta et al., Http://pubs.acs.org/doi/pdf/10.1021/ed1000476. Das Matta-Papier behauptet, "häufige Missverständnisse und Fehler" zu korrigieren, aber tatsächlich ist ein Großteil ihrer eigenen Argumentation fadenscheinig.

Wie Matta betont, gibt es keinen Grund, warum eine transzendentale Funktion eine Eingabe ohne Einheit und eine Ausgabe ohne Einheit annehmen muss. Zum Beispiel sei f (t) = (1 Meter) exp [t / (1 Sekunde)]. Dies ist eine vollkommen sinnvolle transzendentale Funktion, die eine Eingabe ohne Einheit und eine Ausgabe ohne Einheit liefert. Wenn Sie die Taylor-Reihe nehmen, werden Sie feststellen, dass die Koeffizienten der Reihe die richtigen Einheiten haben, so dass f auf Wunsch anhand der Taylor-Reihe definiert werden kann.

Alles, was Sie in diesem Sinne sagen können, ist, dass viele der Standard -Funktionen Eingaben ohne Einheit erfordern und Ausgaben ohne Einheit liefern, wenn Sie sie durch ihre Taylor-Reihe definieren. Dies ist keineswegs ein schlüssiges Argument in allen Fällen, sowohl weil wir andere Funktionen als die Standardfunktionen haben können (wie das oben definierte f) als auch weil nicht alle Funktionen in Form von Taylor-Reihen definiert werden müssen oder sogar definiert werden können.

Ein gutes Beispiel ist die Quadratwurzelfunktion. Wir möchten es nicht anhand seiner Taylor-Reihe über x = 0 definieren, da es keine solche Taylor-Reihe gibt. Wenn wir pervers sein wollten, könnten wir es anhand seiner Taylor-Reihe um einen Punkt b> 0 definieren. Dann wäre alles, was passieren würde, wenn b Einheiten hätte, würden auch die Koeffizienten in der Taylor-Reihe.

Wenn es um Protokolle und Exponenten geht, ist es kein offensichtlicher Unsinn, Protokolle mit einheitlichen Mengen zu erstellen. Zum Beispiel können Sie sagen, dass ln (5 Meter) = ln (5) + ln (Meter).

Matta beschwert sich, dass Log (Meter) keinen Sinn macht, denn auf welche Leistung würden Sie e erhöhen, um Meter zu erhalten? Alles, was sie hier wirklich bewiesen haben, ist, dass y keine Größe ist, die in die Algebra einheitlicher Größen passt. Dies ist ein schwaches Argument, da wir durch die Einführung einheitlicher Größen die Algebra der Realzahlen bereits erweitert haben. Wenn wir zum Beispiel drei Basiseinheiten (m, kg, s) haben, ist die Algebra der einheitlichen Größen isomorph zum direkten Produkt RxQxQxQ. Zum Beispiel würden 7 Newton durch das 4-Tupel (7,1,1, -2) dargestellt, wobei der zweite bis vierte Eintrag die Exponenten der Basiseinheiten sind und die Gruppenoperation für die Multiplikation als Multiplikation definiert ist der erste Eintrag und das Hinzufügen der anderen. Es ist also durchaus vernünftig, sich vorzustellen, diese Algebra auf Dinge wie ln (Meter) auszudehnen. Ein zwingenderer Einwand wäre, dass diese Algebra keine schönen Eigenschaften hat, z. B. kein Feld.

Matta weist richtig darauf hin, dass es vollkommen gute Alternativen zum Schreiben von Dingen wie ln (5 Meter) gibt. Zum Beispiel kann man in [(5 Meter) / (1 Meter)] schreiben, und dies ist der Stil, den die Zeitschrift bevorzugt, in der das Papier veröffentlicht wurde. Dies ist jedoch nur eine Frage des Stils, nicht der Logik.