Es spielt keine Rolle, woher die Gleichung stammt - eine Anpassung an experimentelle Daten oder eine theoretische Konstruktion mit tiefen Strings - oder wer die Gleichung erstellt hat - Albert Einstein oder Ihr Nachbar -, wenn die Dimensionen nicht mit der übereinstimmen linke und rechte Seite, das ist Unsinn.

Betrachten Sie z. meine neue Theorie, dass die Masse eines Elektrons gleich der Lichtgeschwindigkeit ist. Es ist einfach sinnloser Unsinn von Anfang an.

Dies ist nicht so restriktiv - es gibt viele Gleichungen mit korrekten Abmessungen (obwohl Sie in einigen Fällen Gleichungen oder Schätzungen durch sogenannte Dimensionsanalyse ableiten können, bei der Sie nur sicherstellen, dass die Einheiten übereinstimmen). Aber es ist nützlich, um Ihre Arbeit zu überprüfen. Wenn Sie ein Ergebnis ableiten und die Abmessungen nicht übereinstimmen, wissen Sie, dass Sie einen Fehler gemacht haben müssen.

Es gibt eine subtile Unterscheidung zwischen Einheit und Dimension. Eine Dimension repräsentiert eine Grundgröße - wie Masse, Länge oder Zeit -, während eine Einheit ein künstliches Maß für eine Grundgröße oder ein Produkt davon ist - wie kg, Meter und Sekunden. Möglicherweise kann man aussagekräftige Gleichungen wie 60 Sekunden = 1 Minute mit übereinstimmenden Dimensionen, aber nicht übereinstimmenden Einheiten (wie zuerst von Mehrdad festgestellt) schreiben.

Es kommt darauf an, was Sie unter "Einheit" verstehen.

Wenn Sie so etwas wie "Sekunden" meinen, dann nein. Gegenbeispiel: 1 Minute = 60 Sekunden hat auf beiden Seiten unterschiedliche Einheiten, aber beide repräsentieren eine Dauer, sodass sie immer noch gleich sein können.

Wenn Sie so etwas wie "Zeit" meinen, dann ja.Eine Gleichung bedeutet, dass zwei Dinge gleich sind, d. H. Gleich .Damit dies wahr ist, müssen sie dieselbe Art von Dingen sein.Sie können Menschen nicht mit Zahlen vergleichen, Sie können die Entfernung nicht mit der Zeit vergleichen, Sie können die Temperatur nicht mit dem Druck vergleichen ...

Die Maßeinheiten in einer Gleichung müssen ausgeglichen sein.Manchmal erscheint eine dimensionslose "Einheit" auf der einen Seite und ist auf der anderen Seite nicht offensichtlich (oder sogar vorhanden).Betrachten Sie beispielsweise die kinetische Energie eines sich drehenden Objekts: $$ K_s = \ frac {1} {2} \ mathcal {I} \ omega ^ 2. $$ Ein Vergleich der SI-Einheiten ergibt Folgendes: $$ [J] = [kg \ cdot m ^ 2] \ frac {[rad] ^ 2} {[s] ^ 2} $$ Die rechte Seite reduziert sich auf $ [J] [rad] ^ 2 $, was sich von der linken ([J]) zu unterscheiden scheint, aber ein Bogenmaß ist dimensionslos, so dass es das Dimensionsgleichgewicht der Gleichung nicht beeinflusst.Andere Rotationsgleichungen können den gleichen Effekt haben.

Nein. Alle Gleichungen haben auf beiden Seiten die gleiche dimension. Die Abmessungen sind Masse, Entfernung, Zeit, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, Leistung, elektrischer Strom, elektrische Ladung usw.

Solange Sie mit symbolischen Beziehungen arbeiten, kümmern Sie sich nur um Dimensionen. Die Gleichung

$$ v = \ frac {s} {t} $$

(Geschwindigkeit = Entfernung / Zeit) funktioniert mit allen Einheiten, solange sie Einheiten für die entsprechenden Abmessungen sind. Zum Beispiel die Gleichung

$$ 17 \ \ mathrm {knot} \ \ dot = \ \ frac {2266 \ \ mathrm {km}} {3 \ \ mathrm {day}} $$

gilt.

Um es jedoch auszuwerten , müssen Sie die Einheiten in eine gemeinsame Basis konvertieren. Offensichtlich entspricht $ \ frac {2266} {3} $ nicht $ 17 $. Es entspricht $ 755. \ bar 3 $ und dann müssen Sie die entsprechenden Umrechnungsfaktoren für $ 1 \ \ mathrm {day} = 24 \ \ mathrm {h} $ und $ 1.852 \ \ mathrm {km} = 1 \ \ mathrm {nmi verwenden } $, um den Wert in Knoten zu erhalten.

Und Sie können dies auf zwei Arten tun:

$$ \ frac {2266 \ mathrm {km}} {3 \ \ mathrm {day}} = \ frac {\ frac {2266 \ \ mathrm {km}} {1.852 \ \ mathrm {km / nmi}} } {3 \ \ mathrm {day} \ cdot 24 \ \ mathrm {h / day}} \ \ dot = \ \ frac {1224 \ \ mathrm {nmi}} {72 \ \ mathrm {h}} \ \ dot = \ 17 \ \ mathrm {nmi / h} $$

oder

$$ \ frac {2266 \ mathrm {km}} {3 \ \ mathrm {day}} \ \ dot = \ 775.3 \ \ mathrm {km / day} \ cdot 24 \ \ mathrm {h / day} \ \ dot = \ \ frac {31.47 \ \ mathrm {km / h}} {1.852 \ \ mathrm {km / nmi}} \ \ dot = \ 17 \ \ mathrm {nmi / h} $$

Beachten Sie, dass die Umrechnungsfaktoren selbst Gleichungen mit unterschiedlichen Einheiten auf jeder Seite sind und für die Umrechnung von Einheiten unerlässlich sind.

Es lohnt sich, natürliche Einheitensysteme zu beachten, die möglicherweise gegen diese Regel verstoßen.

Da bestimmte physikalische Konstanten (z. B. $ G $ und $ c $) einfach eine beliebige Auswahl von Einheiten widerspiegeln, kann es zweckmäßig sein, Einheiten so zu ändern, dass sie identisch 1 sind.

Zum Beispiel können wir in Planck-Einheiten, in denen $ G = c = 1 $ ist, den Schwarzschild-Radius als $ r_s = 2m $ schreiben. Obwohl es den Anschein hat, dass die Dimensionen nicht übereinstimmen, sagt uns dies tatsächlich, dass der Schwarzschild-Radius eines Objekts (gemessen in Plankenlängen) doppelt so groß ist wie seine Masse (gemessen in Planck-Massen ).

Es gibt sogar eine einzigartige Möglichkeit, diese Konstanten anschließend wieder herzustellen, um die übliche Form der Gleichung wiederherzustellen. In diesem Fall wissen wir, dass die LHS Längen- und die RHS-Massendimensionen hat, daher müssen wir eine Konstante der Dimensionen $ [L] [M] ^ {- 1} $ in die RHS einfügen. Wir können dies als $ G / c ^ 2 $ konstruieren und erhalten so die bekannte Form: $$ r_s = \ frac {G} {c ^ 2} \ cdot2m. $$

Natürliche Einheiten haben einige ungewöhnliche Konsequenzen, da zwei beliebige physikalische Größen unabhängig von ihren Abmessungen (etwas) sinnvoll addiert und verglichen werden können. Zum Beispiel wird die Energie-Impuls-Beziehung der speziellen Relativitätstheorie in Planck-Einheiten als geschrieben $$ E ^ 2 = p ^ 2 + m ^ 2. $$ In ähnlicher Weise reduziert sich Einsteins vertraute Energie-Massen-Beziehung erfreulicherweise von $ E = mc ^ 2 $ auf einfach $ E = m $. Ob Sie dies für bequem oder verwirrend halten, liegt bei Ihnen!

Jede Gleichung sollte eine entsprechende Dimension haben.Entweder durch die natürlichen Dimensionen der Gleichung $$ \ text {Durchschnittsgeschwindigkeit} = \ frac {\ text {Entfernung}} {\ text {Zeit}} $$

oder durch eine Konstante, die die richtige Dimension ergibt $$ F = \ frac {Gm_1 m_2} {r ^ 2} $$

Wobei $ G $ die Dimension $ [M ^ {- 1}] [L ^ 3] [T ^ {- 2}] $ hat, um sicherzustellen, dass die Dimensionen auf beiden Seiten gleich sind.

Sie müssen gleich sein, denn wenn die Einheiten nicht identisch sind, fügen wir Fudge-Faktoren hinzu, um sie identisch zu machen.

Was Sie betrachten, wird als Dimensionsanalyse bezeichnet. Die Dimensionsanalyse ist ein Werkzeug, mit dem wir Gleichungen wie $ x (t) = \ frac {1} {2} bei ^ 2 + vt + x_0 $ in etwas verwandeln können, das in der realen Welt von Bedeutung ist.

Die wahre Wahrheit ist, dass es in der physischen Welt keine "Einheiten" gibt. Einheiten sind ein Konzept, das von Menschen entwickelt wurde, weil wir es nützlich fanden, die Welt auf eine Weise zu modellieren, die Einheiten einschließt. Auf diese Weise können wir einen Wert auf sehr objektive Weise mit einem anderen vergleichen. Die Art und Weise, wie Einheiten von Menschen konstruiert wurden, machte sie so nützlich wie möglich. Wir haben festgestellt, dass es möglich ist, die Welt zu betrachten, in der $ 3 (m) + 2 (m) $ oder sogar $ 3 (cm) + 2 (in) $ zu aussagekräftigen Ergebnissen führen, während $ 3 (m) + 2 (s) $ dies nicht tun ergeben aussagekräftige Ergebnisse.

Es gibt Zeiten, in denen dies Komplikationen hatte. Zum Beispiel bemerkte Robert Hooke, dass es eine proportionale Beziehung zwischen der Entfernung, über die Sie eine Feder ziehen, und der Kraft gibt, die sie ausübt: $ F \ propto x $. Diese Beziehung wurde als Hookesches Gesetz in der Form $ F = kx $ kanonisiert. Jetzt wissen wir, dass $ x $ eine Längeneinheit und $ F $ eine Krafteinheit ist. Wir möchten behaupten, dass wir Dimensionsanalysen durchführen können, daher wählen wir geschickt $ k $ in $ (\ frac {N} {m}) $, damit die Einheiten ausgerichtet sind.

Also:

• Wenn man sich in der Lernphase seiner Physikkarriere befindet, funktioniert die Dimensionsanalyse immer, weil die intelligenten Leute, die die Konstanten entwickelt haben, die Einheiten auf ihren Konstanten ausgewählt haben, damit sie funktionieren.

Es gibt ein einfaches Argument, warum Dimensionen auf beiden Seiten übereinstimmen müssen. Um das Beispiel von innisfree zu verwenden, betrachten Sie die (offensichtlich falsche) Gleichung

$$ m_e = c \ tag {*} $$

$ m_e $ ist die Masse des Elektrons und $ c $ die Lichtgeschwindigkeit. Ich gehe davon aus, dass ich diese Gleichung in Einheiten des Internationalen Systems (Kilogramm, Meter, Sekunden) geschrieben habe. Nun, wenn ich diese Gleichung zum Beispiel in ein anderes Einheitensystem schreiben möchte (Gramm, Zentimeter, Sekunden). Dann habe ich einen neuen numerischen Wert für meine Masse und meine Geschwindigkeit, der

$$ m_e '= 1000 m_e, $$

$$ c '= 100 c. $$

Bei dieser Transformation wird Gleichung (*) zu

$$ m_e '/ 1000 = c' / 100 $$

$$ \ Rightarrow m_e '= 10 c'. $$

Ich erhalte eine andere Gleichung als (*). Die Physik sollte in jedem Einheitensystem gleich sein, da Einheiten nur eine menschliche Konstruktion zur Messung von Größen sind und keinen Einfluss auf das Verhalten der Natur haben. Daher muss diese Gleichung falsch sein.

Wenn Sie nun eine korrekte Gleichung wie das zweite Newtonsche Gesetz nehmen

$$ F = m \ cdot a $$

im internationalen Einheitensystem geschrieben und Sie machen die gleiche Transformation von (Kilogramm, Meter, Sekunden) zu (Gramm, Zentimeter, Sekunden) und drücken die neuen Werte $ F '$, $ m' $, $ a 'aus. $ In diesem neuen Einheitensystem können Sie überprüfen, ob Sie eine neue Gleichung erhalten

$ F '= m' \ cdot a '$

das ist die gleiche Gleichung wie zuvor. Newtons zweites Gesetz ist eine Einheitensysteminvariante, wie es jede korrekte Gleichung sein sollte.

Ja sicher. Immerhin kann man nicht sagen, 5 Hühner = 2 Büffel.

Hier ist ein Auszug aus der NCERT-Physik für Klasse 12, Kapitel 2. Ich hoffe, das hilft.

Das Erkennen von Dimensionskonzepten, die die Beschreibung des physikalischen Verhaltens leiten, ist von grundlegender Bedeutung, da nur die physikalischen Größen addiert oder subtrahiert werden können, die die gleichen Dimensionen haben. Ein gründliches Verständnis der Dimensionsanalyse hilft uns, bestimmte Beziehungen zwischen verschiedenen physikalischen Größen abzuleiten und die Ableitung, Genauigkeit und Dimensionskonsistenz oder Homogenität verschiedener mathematischer Ausdrücke zu überprüfen. Wenn Größen von zwei oder mehr physikalischen Größen multipliziert werden, sollten ihre Einheiten auf die gleiche Weise wie gewöhnliche algebraische Symbole behandelt werden. Wir können identische Einheiten im Zähler und Nenner löschen. Gleiches gilt für Dimensionen einer physikalischen Größe. In ähnlicher Weise müssen physikalische Größen, die durch Symbole auf beiden Seiten einer mathematischen Gleichung dargestellt werden, die gleichen Dimensionen haben.

Psst :: Oft können Sie einfach die Dimensionsanalyse verwenden, um in Multiple-Choice-Fragen nach Antworten zu suchen.

Wie in den anderen Antworten erwähnt, muss die Dimension auf beiden Seiten einer Gleichung im Wesentlichen gleich sein und nicht die Einheit. Dies wurde bereits am Beispiel von $ 1 \, \ mathrm {Stunde} = 60 \, \ mathrm {Minuten} $ gesprochen.

Lassen Sie mich Ihnen ein Beispiel geben und Ihnen Folgendes veranschaulichen:

Die so genannte Einheit wurde lediglich zu unserer eigenen Bequemlichkeit entwickelt, damit wir die unordentliche mathematische Arbeit mit großen Zahlen und Exponenten vermeiden können.

In der Teilchenphysik betrachten sie die Lichtgeschwindigkeit der Einfachheit halber als Einheit oder mit anderen Worten als $ c = 1 $. Ja, auch das ohne Einheit! Und dann erhalten Sie die von Einstein formulierte Gleichung und die am häufigsten verwendete Gleichung in der Teilchen-, Kern- und Hochenergiephysik, d. H. $ E = mc ^ 2 $, um $ E = m $ zu werden. Ja, Sie können leicht feststellen, dass in dieser Gleichung die Dimensionen auf beiden Seiten der Gleichung nicht gleich sind. Möglicherweise stellen Sie auch fest, dass dann auch die Einheiten auf beiden Seiten der Gleichung unterschiedlich sind. Aber hier haben sie glücklicherweise die Einheit von Masse und Energie als gleich definiert, d. H. $ \ Mathrm {Elektronenvolt \, \ (eV)} $. Darüber hinaus drücken sie die Temperatur in MeV und GeV anstelle von Celsius oder Kelvin aus!

Der Grund für diese besondere Art der Verwendung von Einheiten besteht darin, dass Teilchenphysiker und Hochenergiephysiker Energie in Masse umwandeln müssen und umgekehrt, um die Energie und die Temperatur herauszufinden, die erforderlich sind, um die Kollision zu erzeugen, die ein bestimmtes Teilchen erzeugen könnte und so weiter.

Daher ist es mühsam, wenn sie ständig unterschiedliche Einheiten verwenden müssen, während sie die riesigen Daten von Kollisionen bewerten. Der Einfachheit halber nehmen sie die Lichtgeschwindigkeit auf $ 1 $ und drücken Masse, Energie und Temperatur mit derselben Einheit aus.

Dies zeigt deutlich, dass Einheiten zu unserer eigenen Bequemlichkeit dienen. Es liegt an uns, wie wir es verwenden wollen, obwohl wir die erste Aussage meiner Antwort im Auge behalten.

Hinweis: Was bekommen Sie, wenn Sie drei Äpfel mit zwei Äpfeln versehen?Sie können nur ähnliche Dinge zu ähnlichen Dingen hinzufügen.In diesem Sinne ist es technisch korrekt, 1 m bis 3 Zoll hinzuzufügen und das Ergebnis als 1 m 3 Zoll anzugeben (beide sind Längenmessungen), aber es wäre nicht sehr nützlich oder eine gute Praxis.

Es gibt sieben grundlegende Einheiten: Kilogramm, Meter, Candela, Sekunde, Ampere, Kelvin und Maulwurf.Alle anderen physikalischen Größen können in Bezug auf diese abgeleitet werden (siehe hier).

Nur wenige der Antworten haben sich bisher direkt mit empirical Gleichungen befasst, wie zum Beispiel die folgenden:

Dampfdruck von Isobutan
_{( source) sub>}

$$ \ log_ {10} {P_ \ mathrm {mmHg}} = 6.74808- {882.80 \ over 240.0 + T_ \ mathrm {^ \ circ C}} $$

Seetonisches Modell für die kinematische Viskosität verschiedener Flüssigkeiten
_{( source; $ K_0 $ ist die modifizierte Bessel-Funktion nullter Ordnung der zweiten Art) sub>}

$$ \ ln {\ left \ {\ ln {\ left [\ nu_ \ mathrm {cSt} + 0.7 + e ^ {- \ nu_ \ mathrm {cSt}} K_0 \! \ left (\ nu_ \ mathrm {cSt} + 1.244067 \ rechts) \ rechts]} \ rechts \}} = A - B \ ln {T_ \ mathrm {^ \ circ K}} $$

Dichte von überkritischem Kohlendioxid
_{( source) sub>}

$$ \ rho_ \ mathrm {kg \ über m ^ 3} = \ sum_ {i = 0} ^ 4 {A_iP_ \ mathrm {psia} ^ i} $$ wobei jedes $ A_i $ berechnet wird als: $$ A_i = \ sum_ {j = 0} ^ 4 {b_ {ij} T_ \ mathrm {^ \ circ C} ^ j} $$

In all diesen Gleichungen werden die Einheiten (im Unterschied zu den Dimensionen , wie in anderen Antworten hervorgehoben), die für jede Variable verwendet werden müssen, als Index angegeben ("$ \ mathrm { cSt} $ "gibt centiStokes -Einheiten an). Es ist offensichtlich, dass eine explizite Einbeziehung dieser Einheiten in die Berechnungen die Dimensionalität aller drei Beziehungen zerstören würde, einschließlich der Verletzung der Anforderung, dass Argumente für transzendentale Funktionen streng dimensionslos sein müssen.

Stattdessen werden in Gleichungen wie diesen nur die numerischen Werte der Variablen in den angegebenen Einheiten verwendet. Tatsächlich werden alle Größen nicht dimensioniert, indem sie durch die jeweilige Einheit dividiert werden. Um beispielsweise den Isobutandampfdruck bei $ 25 ~ ^ \ circ \ mathrm C $ zu erhalten, ersetzt man $ {25 ~ \ mathrm {^ \ circ C} \ durch \ mathrm {^ \ circ C}} = 25 $ für $ T_ \ mathrm {^ \ circ C} $ und erhält als Ergebnis $ P_ \ mathrm {mmHg} = 2611 = {2611 ~ \ mathrm {mmHg} \ over \ mathrm {mmHg}} $, das dann erneut angezeigt wird dimensioniert auf $ 2611 ~ \ mathrm {mmHg} $.