Während andere Antworten korrekt sind, können sie Ihr spezifisches Problem nicht lösen. Es sieht so aus, als würden Sie Newtons zweites Gesetz so behandeln, als würde es eine einzelne Funktion definieren, wenn dies nicht der Fall ist.

Wenn ich beispielsweise in der Algebra sage, dass eine Funktion $ f (x) = x ^ 2 + 3 $ span> ist, kann ich diese Funktion "einstecken" so etwas wie $ sx $ span>, so dass $ f (sx) = (sx) ^ 2 + 3 $ span> von wie wir die Funktion definiert haben.

Dies ist nicht das, was Newtons zweites Gesetz tut. $ F (x) = m \ ddot x $ span> ist keine Funktion, die sagt "was auch immer ich in die Funktion $ F $ span> Ich nehme seine zweite Ableitung in Bezug auf die Zeit und multipliziere sie mit $ m $ span>." Ihre Aussage von $ F (sx) = ms \ ddot x $ span> ist also nicht korrekt. Das Newtonsche Gesetz ist eine Differentialgleichung , keine Funktionsdefinition. $ F (x) $ span> wird durch die auf unser System einwirkenden Kräfte definiert, und Newtons zweites Gesetz besagt dann, dass die Beschleunigung proportional zu dieser Kraft ist.

Um mit der Art der Analyse fertig zu werden, die Sie durchführen möchten, müssen Sie vorsichtig sein.Es ist etwas umständlich, $ F (\ vec {x}) = m \ ddot {\ vec {x}} $ span> zu schreiben, aber das können Sie schreibensolange du verstehst was es bedeutet.Dies bedeutet, dass Sie sowohl die Kraft als auch die Beschleunigung als Felder betrachten, da Sie das Newtonsche Gesetz an jedem Punkt im Raum berücksichtigen.Eine klarere Schreibweise ist also $$ F (\ vec {x}) = m \ ddot {\ vec {x}} (\ vec {x}) $$ span>

Edit $ 1 $ span> : Lassen Sie mich die Bedeutung dieses Ausdrucks etwas klarer erläutern. Wie gesagt, ich betrachte an jedem Punkt im Raum ein Teilchen. $ \ ddot {x} (x) $ span> bedeutet also einfach die Beschleunigung des Partikels, das sich bei $ x $ befindet span>. Die Klammer $ x $ span> ist eine Bezeichnung. Wenn ich beispielsweise das zweite Newtonsche Gesetz für $ N $ span> -Partikel aufschreiben würde, würde ich $ F (x_i) schreiben ) = \ ddot {x} _i $ span> für $ i = 1,2, ..., N $ span>. Jetzt setze ich an jedem Koordinatenpunkt ein Partikel und die Bezeichnung $ i $ span> wird durch die Koordinatenbezeichnung $ x $ . Wenn ich also einfach $ i $ span> durch $ x $ span> ersetze, bekomme ich $ F (x (x)) = \ ddot {x} (x) $ span> wobei $ x $ span> eine Bezeichnung ist, genau wie $ i $ span>. Beachten Sie nun, dass $ F (x (x)) $ span> die Kraft an der Position $ x $ span> bedeutet eines Partikels mit der Bezeichnung $ x $ span>. Die Bedeutung der Koordinatenbeschriftung $ x $ span> impliziert jedoch per Definition, dass die Position $ x $ span> von Ein Partikel, das mit $ x $ span> gekennzeichnet ist, wäre einfach $ x $ span>. Daher nehme ich eine prägnante Notation für $ F (x (x)) $ span> an und schreibe einfach $ F (x) $ span>. Somit wird $ F (x (x)) = \ ddot {x} (x) $ span> zu $ F (x) = \ ddot {x} (x) $ span>, dies ist der oben geschriebene Ausdruck, außer in Vektorschreibweise.

Jetzt können Sie das Skalierungsspiel ausführen und $$ F (s \ vec {x}) = m \ ddot {\ vec {x}} (s \ vec {) schreiben x}) $$ span>

Nun sehen Sie, dass es keinen Grund zu der Annahme gibt, dass $$ \ ddot {\ vec {x}} (s \ vec {x}) = s \ ddot {\ vec {x}} (\ vec {x}) $$ span> im Allgemeinen. Sie können jedoch versuchen, herauszufinden, wann dies der Fall ist. Und wenn Sie das tun, können Sie sehen, dass dies wahr wäre, wenn $$ F (s \ vec {x}) = sF (\ vec {x}) $$ span >

Das haben Sie letztendlich bekommen. Dies bedeutet jedoch einfach, dass Sie die Bedingung herausgefunden haben, unter der $ \ ddot {\ vec {x}} (s \ vec {x}) = s \ ddot {\ vec { x}} (\ vec {x}) $ span> wäre gültig. Ihr Fehler war, dass Sie angenommen haben, dass $ \ ddot {\ vec {x}} (s \ vec {x}) = s \ ddot {\ vec {x}} (\ vec { x}) $ span> ist generisch wahr (wahrscheinlich aufgrund Ihrer verwirrenden Notation) und kam dann zu dem Schluss, dass $ F (s \ vec {x}) = sF (\ vec {x }) $ span> sollte generisch wahr sein, was nicht wahr ist, da Ihre implizite Annahme nicht generisch wahr ist.

Edit $ 2 $ span>

Ich betrachte die Umwandlung $ x \ in sx $ span> als Mittel, das uns vom Punkt $ x $ zeigt $ sx $ span> in denselben Einheiten. Wenn ich also das Newtonsche Gesetz für das Teilchen an Position $ x = 1 $ span> als $ F_1 = a_1 $ bedeutet die Transformation, dass ich jetzt das Newtonsche Gesetz für ein anderes Teilchen schreibe, eines, das sich bei $ x = s $ span> befindet, und ich würde schreiben $ F_s = a_s $ span>. Hier passiert also nichts Nicht-Triviales. Die Annahme des OP war, dass $ a_s = sa_1 $ span> eine sehr nicht triviale Behauptung ist, da sie eine Beziehung zwischen Beschleunigungen von Partikeln an verschiedenen Punkten herstellt. Ich weise nur auf das Offensichtliche hin, dass dies nicht wahr ist, es sei denn, die Kräfte an diesen Positionen sind so miteinander verbunden, dass eine solche Beziehung hergestellt wird, dh es sei denn, $ F_s = sF_1 $ span >.

Was Sie hier gefunden haben, ist keine Inkonsistenz der Newtonschen Mechanik, sondern eine Symmetrie des harmonischen Oszillators. Betrachten Sie der Einfachheit halber ein Punktteilchen in $ \ mathbb {R} ^ n $ span>. Die Kraft kann als eine Funktion betrachtet werden $ F: \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ span>, wobei die Position des Partikels als Argument verwendet wird . Das Newtonsche Gesetz besagt, dass eine physikalische Flugbahn $$ \ gamma: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $$ span> eines Punktteilchens der Masse $ m $ span> erfüllt die Gleichung $$ F (\ gamma (t)) = \ ddot \ gamma (t) $$ für alle Zeiten $ t \ in \ mathbb {R} $ span>.

In Bezug auf Ihre Frage haben Sie festgestellt, dass wenn wir eine physikalische Flugbahn $ \ gamma $ span> nehmen und diese mit einer reellen Zahl $ s \ in \ mathbb {R} $ span>, dies erfüllt das Newtonsche Gesetz nur, wenn $ F $ span> linear ist. Dies ist jedoch keine Inkonsistenz der Newtonschen Mechanik, da scaling einer physischen Flugbahn im Allgemeinen keine neue physikalische Flugbahn ergibt. Stattdessen ist die richtige Interpretation dessen, was Sie hier gefunden haben, dass diese Art der Skalierungssymmetrie ein Merkmal des harmonischen Oszillators (quadratisches Potential) ist.

Als Schlussfolgerung haben Sie angenommen, dass die Skalierung einer physischen Trajektorie eine neue physische Trajektorie ergibt, was im Allgemeinen nicht der Fall ist. Sie haben festgestellt, dass diese Symmetrie eine Eigenschaft von linearen Kräften / quadratischen Potentialen ist. Ich hoffe das konnte dir helfen! Prost!

Für $ \ vec x $ span>, skaliert durch eine beliebige Konstante $$ span>, erhalten wir: $$ F (s \ vec {x}) = ms \ vec {\ ddot {x}} \ Longleftrightarrow \ frac {F (s \ vec {x})} {s} = m \ vec {\ ddot {x}} $$ span>

Dies ist nicht wahr. Denken Sie daran, dass $ \ vec x $ span> und $ \ vec F (\ vec x) $ span> etwas Physisches darstellen. $ \ vec x $ span> repräsentiert die Position und $ \ vec F (\ vec x) $ span> repräsentiert das Netz Kraft als Funktion der Position. Sobald Sie $ \ vec x $ span> mit $ s $ span> multipliziert haben, hat es diese Bedeutung nicht mehr. $ \ vec F (s \ vec x) $ span> repräsentiert also nicht länger die Nettokraft als Funktion der Position, es sei denn, $ \ vec F $ span> ist zufällig linear (in diesem Fall ist es proportional zur Kraft). Hier nehmen Sie implizit an, dass $ \ vec F $ span> linear ist, und zeigen dann, dass dies damit übereinstimmt, dass es linear ist. Dies ist Ihre Diskrepanz.

Mir scheint, Sie haben versucht, Variablen illegal zu ändern. Sie können $ \ vec {x} $ span> nicht einfach durch $ s \ vec {x} $ span> ersetzen .

Denken Sie daran, dass die Gleichung $ F (\ vec {x}) = m \ vec {\ ddot {x}} $ span> nicht für alle möglichen zeitlich variierenden Größen $ \ vec {x} $ span>. Es handelt sich um eine bestimmte Behauptung über $ \ vec {x} $ span>, die für einige zeitlich variierende Größen gilt. $ \ vec {x} $ span> und false für andere zeitlich variierende Größen $ \ vec {x} $ span>. Newtons zweites Gesetz besagt, dass die Gleichung wahr ist, wenn $ \ vec {x} $ span> die Position eines Teilchens in einem Kraftfeld ist, das durch die Funktion $ F $ span>.

Wenn Sie also eine ähnliche Änderung wie die von Ihnen vorgenommenen vornehmen möchten, müssen Sie eine neue Menge definieren. $ \ vec {y} = \ frac { \ vec {x}} {s} $ span>, und dann können Sie $ s \ vec {y} $ span> ersetzen. Container "> $ \ vec {x} $ span>.

Von dort können Sie schließen, dass

$$ F (s \ vec {y}) = ms \ vec {\ ddot {y}} \ Longleftrightarrow \ frac {F (s \ vec {y})} {s} = m \ vec {\ ddot {y}} = \ frac {m} {s} \ vec {\ ddot {x}}, $$ span>

und der Ausdruck ganz rechts ist hier eindeutig nur $ \ frac {F (\ vec {x})} {s} $ span>. Deshalb:

$$ \ frac {F (\ vec {x})} {s} = \ frac {F (s \ vec {y})} {s}. $$ span>

Das ist natürlich überhaupt kein Widerspruch. Es ist eine Tautologie, da $ \ vec {x} = s \ vec {y} $ span> nach der Definition von $ \ vec {y} $ span>.

Newtons zweites Gesetz besagt nichts $$ \ vec F (\ vec x) = m \ ddot {\ vec x} \. $$ span> Es sagt aus $$ \ vec F = m \ ddot {\ vec x} \. $$ span> Das heißt, die Kraft $ \ vec F $ span> ist im Allgemeinen keine Funktion der Position.(Beachten Sie, dass die Position nicht einmal auf der rechten Seite angezeigt wird!) Wenn Sie möchten, ist es für eine bestimmte Trajektorie $ \ vec x (t) $ span> aFunktion der Funktion $ \ vec x (t) $ span> (seitdem können Sie berechnen$ \ ddot {\ vec x} (t) $ span>).

Aber im Allgemeinen können Sie $ \ vec F (\ vec x) $ span> einfach nicht auf die linke Seite schreiben und somit alles, was Sie von Ihrem ableitenDie erste Gleichung leidet unter diesem falschen Ausgangspunkt.

Ich denke, dass die meisten Antworten nicht richtig vermitteln, was los ist. Die Gleichung, die Sie schreiben, ist fast wahr. Die einzige "Sünde", die Sie begangen haben, ist die Annahme, dass die Kraft $ F $ span> nicht durch die Neuskalierung der Variablen $ \ vec {x} $ span>.

Wenn Sie " $ \ vec {x} $ span> sagen, skaliert durch eine beliebige Konstante", meinen Sie tatsächlich: "Definieren Sie die Variable $ \ vec {y} $ span> soll $ \ vec {x} / s $ span> sein." $ \ vec {x} $ span> könnte also die Position des Partikels sein, das ich in Kilometern messe, und $ \ vec {y } $ span> die Position, die Sie in Meilen messen. Dementsprechend haben wir zwei verschiedene Funktionen für die Kraft: die Kraft in Kilometern und die in Meilen.

Wenn wir also das Newtonsche Gesetz in den USA anwenden, hätten wir ( $ \ vec {y} $ span> ist in Meilen) $$ F _ {\ mathrm {mi}} (\ vec {y}) = m \ vec {\ ddot {y}} \,. $$ span> Wenn wir es in einem anderen Land anwenden, das das metrische System übernommen hat ( $ \ vec {x} $ span> ist in Kilometern angegeben). $$ F _ {\ mathrm {km}} (\ vec {x}) = m \ vec {\ ddot {x}} \,. $$ span> Nochmals: Beachten Sie, dass $ F _ {\ mathrm {mi}} $ span> und $ F _ {\ mathrm {km}} $ muss nicht dieselbe Funktion sein. Dann sollte die Gleichung wie folgt angegeben werden $$ F _ {\ mathrm {km}} (\ vec {x}) = m \ vec {\ ddot {x}} \ quad \ Longrightarrow \ quad F _ {\ mathrm {km}} (s \ vec {y}) = ms \ vec {\ ddot {y}} \,. $$ span>

Dies ergibt zusammen mit der ersten Gleichung die folgende Gleichheit $$ F _ {\ mathrm {km}} (s \ vec {y}) = s \, F _ {\ mathrm {mi}} (\ vec {y}) \ ,. $$ span> Sie haben gerade festgestellt, dass die Kraft bei einer Änderung der Skalierung keine skalare Größe ist, sondern eine Größe, die sich mit einem Gewicht von eins transformiert. Dies geschieht in vielen anderen Fällen in der Physik und ist wichtig, weil es Ihnen sagt, um welche Art von Objekt es sich bei der Kraft handelt. Der Drehimpuls würde sich beispielsweise anders transformieren.

Die Probleme, die ich mit den anderen Antworten habe, sind

• Es ist wahr, dass $ F $ span> im Allgemeinen keine Funktion der Position ist, aber es könnte sein. Und es ist sicherlich nicht wahr, dass wenn $ F $ span> eine Funktion der Position ist, sie linear sein muss.

• Es spielt keine Rolle, dass es eine Ableitung gibt. Wenn $ s $ span> eine Konstante ist, wird sie durchlaufen. Das Argument würde für $ s $ span> eine Funktion der Zeit nicht funktionieren, aber wir fragen nicht danach.

• Es ist offensichtlich wahr, dass $ \ ddot {x} \ zu s \ ddot {x} $ span> unter einer Neuskalierung. Das ist eine Eigenschaft der Derivate: Derivate sind linear. Lassen Sie uns hier nicht verwirren.

• $ \ ddot {x} (sx) $ span> hat ebenfalls keine wirkliche Bedeutung. $ \ ddot {x} $ span> hängt nicht von der Position ab. Oder zumindest auf kreisförmige Weise, weil wir die Differentialgleichung $ F = m \ ddot {x} $ span> verwenden, um zu sagen, was der Wert von $ \ ddot {x} $ span> an einem bestimmten Punkt. Daher wäre $ F (x) = \ ddot {x} (x) $ span> eine leere Anweisung.

• Vor und nach der Transformation muss immer zwischen den $ F $ span> unterschieden werden. Und die Transformation ist keine Tautologie, sondern eine wichtige Eigenschaft der Kraft.

• Die akzeptierte Antwort ist richtig, aber verwirrend: Was ist der Unterschied zwischen einer Gleichung und einer Definition?Das Gleichheitszeichen sollte sich in beiden Fällen korrekt verhalten.

Natürlich stimme ich der Antwort über den harmonischen Oszillator zu.Dort ist der Standpunkt anders, also lassen Sie mich das ansprechen.@Johnny Longsom führt eine Neuskalierung der Variablen durch, ohne die Einheiten zu ändern!Es geht also nicht um dasselbe System mit imperial oder metrisch.Es geht um verschiedene Systeme, die miteinander verwandt sind, indem eines die vergrößerte Version des anderen ist.Die Schlussfolgerung des Beitrags ist richtig: Das ist eine Symmetrie des Systems!

Und Sie sehen: Um herauszufinden, dass es eine Symmetrie war, mussten wir wissen, wie $ F $ span> transformiert wurde.Fragen Sie jedes Mal, wenn Sie ein neues Tier in der Physik sehen, wie es sich transformiert.

Auf der rechten Seite der Gleichung ist $ a $ span> eine Funktion der Zeit: $$ a = a (t) = \ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} $$ span> Gleiches gilt also für die linke Seite. $ F = F (t) $ span>

Es ist beispielsweise durchaus möglich, unterschiedliche Beschleunigungs- (und Kraft-) Werte für denselben $ x $ span> zu unterschiedlichen Zeiten zu haben, wie bei einem Auto auf einer Rennstrecke.Es kann also im Allgemeinen keine Funktion von $ x $ span> sein.

Und wenn wir wissen wollen, $ \ mathbf F (st) = m \ mathbf a (st) $ span>, dann natürlich $ \ mathbf a (st) \ ne s \ mathbf a (t) $ span> im Allgemeinen.

Die Behauptung ist im Wesentlichen, dass sich Newtons zweites Gesetz ändert, wenn wir die Einheiten ändern, in denen wir die Entfernung messen.In diesem Fall ändern sich jedoch auch die Krafteinheiten.Mit anderen Worten, die korrekte Neuskalierung lautet $ \ mathbf {x} \ rightarrow s \ mathbf {x}, \ mathbf {F} \ rightarrow s \ mathbf {F} $ span>, so dass, Rücksicht auf $ s $ span>: $$ m \ ddot {\ mathbf {x}} = \ mathbf {F}. $$ span>

Da ich im Nachhinein feststelle, dass diese Frage auf verschiedene Arten beantwortet werden kann, veröffentliche ich selbst eine weitere Antwort, die einige der besten Antworten kombiniert und hoffentlich jemand anderem helfen könnte, zu verstehen, warum diese offensichtlich falsche physikalische Argumentation mathematisch auftritt.

Wie an dieser Stelle klar ist, war das ursprüngliche Problem eine schlechte Notation, und es gibt mindestens vier verschiedene Möglichkeiten, wie diese Frage verstanden (und gelöst) werden kann. Von nun an werde ich die aktuelle Position als $ \ vec {x} _0 $ span> und die Flugbahn als Funktion dieser Startposition und Zeit als $ \ vec {x} (t) $ span>, so dass $ \ vec {x} (0) = \ vec {x} _0 $ span>, um Verwirrung zu vermeiden. In allen Fällen wird die andere Anfangsbedingung $ \ vec {\ dot {x}} (0) = \ vec {v} _0 $ span> nicht sehr berücksichtigt, aber wir müssen uns dessen immer noch bewusst sein.

1. Erstes Szenario: Wie richtig ausgeführt, impliziert das zweite Newtonsche Gesetz nicht , dass die Kraft von einem Potential stammt und / oder eine Funktion der aktuellen Position ist. In diesem Fall ist die Kraft einfach eine Definition und die Frage gilt nicht mehr, da die Kraft keine Funktion der Flugbahn sein muss:
ol>

$$ \ vec {F} (t) = m \ vec {\ ddot {x}} (t) $$ span>

2. Zweites Szenario: Die Kraft kommt von einem Potential, so dass $ \ vec {F} (\ vec {x} (t)) = - \ left. \ frac {\ partielles U (\ vec {x} ')} {\ partielles \ vec {x}'} \ rechts | _ {\ vec {x} '= \ vec {x} (t)} $ span> und wir machen eine Koordinatentransformation der gesamten Trajektorie $ \ vec {x} (t) = s \ vec {y} (t) $ span> für einen Skalierungsfaktor $ s $ span>. In diesem Fall: $$ \ vec {F} (\ vec {x} (t)) = m \ vec {\ ddot {x}} (t) \ Leftrightarrow \ vec { F} (s \ vec {y} (t)) = ms \ vec {\ ddot {y}} (t), \ qquad \ vec {F} (\ vec {x} (t)) = \ vec {F. } (s \ vec {y} (t)) $$ span> Dies ist eine einfache Änderung der Variablen, und hier ist nicht viel anderes zu finden - sicherlich sowieso keine Widersprüche.

3. Drittes Szenario: Die Kraft kommt von einem Potential und wir skalieren den Anfangszustand der Differentialgleichung neu, so dass $ \ vec {\ tilde {x}} (0) ) = s \ vec {x} _0 $ span>. Im Allgemeinen unterscheidet sich diese Flugbahn vollständig von $ \ vec {x} (t) $ span> und der einzige Weg $ \ vec {\ tilde {x}} (t) = s \ vec {x} (t) $ span> ist, wenn die Kraft einem quadratischen Potential entspricht.

4. Viertes Szenario: Die Kraft kommt von einem Potential und wir skalieren die Lösung $ x (t) $ span> der Differentialgleichung neu, so dass $ \ vec {\ tilde {x}} (t) = s \ vec {x} (t) $ span>. Im Allgemeinen erfüllt diese neu skalierte Funktion die ursprüngliche Differentialgleichung nicht mehr und es kann nichts anderes gesagt werden. Die neue skalierte Flugbahn erfüllt die ursprüngliche Differentialgleichung nur, wenn wir ein harmonisches Potential haben.

ol>

Beachten Sie, dass der Unterschied zwischen 3. und 4. subtil ist: Die neue Trajektorie $ \ vec {\ tilde {x}} (t) $ span> in 3. erfüllt Newtons zweites Gesetz, aber seine Form unterscheidet sich im Allgemeinen von $ \ vec {x} (t) $ span>, während die $ \ vec {\ tilde {x}} (t) $ span> in 4. erfüllt im Allgemeinen nicht das zweite Newtonsche Gesetz (und muss es auch nicht) und seine Form ist dieselbe wie $ \ vec {x} (t) $ span>. Sowohl in 3. als auch in 4. können die Trajektorien nur für ein harmonisches Potential degenerieren (obwohl man möglicherweise mit der Geschwindigkeitsanfangsbedingung herumspielen muss, um dies zu erreichen), was mein ursprünglicher Beitrag "bewiesen" hat, obwohl es sicherlich nicht klar ist ob ich aufgrund meiner schlechten Notation 3. oder 4. (möglicherweise auch nicht) bewiesen habe!

Ich bin mir nicht sicher, wo Ihrer Meinung nach eine Inkonsistenz vorliegt?Alles, was Sie mit Ihrer endgültigen Gleichung sagen, ist, dass die Force @ -Position $ \ vec {x} $ span>, = Force @ skalierte Position $ s \ vec {x} $ span> geteilt durch die Skalierung, was ist völlig richtig?Auf die gleiche Weise $$ sF (\ vec {x}) = F (s \ vec {x}) \ tag {1} $$ span> wenn $ F $ span> linear ist.

Die Verwendung von $ F $ span> dient nur dazu, die Berechnung der Kraft zu bezeichnen. $ F (\ vec {x}) \ neq F (s \ vec {x}) $ span>

Vielleicht ist es für Sie klarer, die Kraft auf Position $ \ vec {x} $ span> als $ F_x $ zu bezeichnen span> und die Kraft auf die skalierte Position $ s \ vec {x} $ span> als $ F_ {sx} $ span>.