Das Problem mit der Orbitalmechanik besteht darin, dass sie schnell außerordentlich kompliziert und schwer intuitiv zu verstehen ist. Ich denke jedoch, dass es einen ziemlich einfachen Weg gibt, um zu zeigen, wie wenig Einfluss GR auf eine Erd-Mond-Transferbahn hat. Dies erfordert jedoch eine kleine Vorbereitung. Nehmen Sie mich mit, während ich eine kurze Einführung gebe.

Ich hoffe, dass jeder, der diese Site liest, weiß, dass die potentielle Energie der Gravitation durch das Newtonsche Gesetz gegeben ist:

$$ V (r) = - \ frac {GMm} {r} $$

Die potentielle Gravitationsenergie ist auf die anziehende Gravitationskraft zurückzuführen, aber für ein umlaufendes Objekt gibt es auch eine (fiktive) Zentrifugal Kraft nach außen drücken. Wenn wir die potentielle Energie aufgrund der Zentrifugalkraft berechnen und zur potentiellen Gravitationsenergie addieren, erhalten wir eine effektive potentielle Energie:

$$ V_ {eff} (r) = - \ frac {GMm} { r} + \ frac {L ^ 2} {2mr ^ 2} \ tag {1} $$

wobei $ L $ der Drehimpuls ist, der eine Konstante für ein umlaufendes Objekt ist (weil Drehimpuls ist in einem zentralen Feld erhalten). Wenn wir $ V_ {eff} $ für ein Objekt in einer Erd-Mond-Transferbahn berechnen, erhalten wir ein Diagramm wie das folgende:

Die stabile Kreisbahn befindet sich am Minimum des Potentials, dh bei ungefähr 384.400 km, was beruhigend ist, da dies die Erde-Mond-Entfernung ist. So weit so gut.

Aber wenn wir die Auswirkungen der Allgemeinen Relativitätstheorie einbeziehen, stellen wir fest, dass sie die Gleichung für das effektive Potential modifiziert. Die Details sind im Wikipedia-Artikel über Schwarzschild-Geodäten angegeben, aber lassen Sie uns die Details überspringen und geben Sie einfach die Gleichung für $ V_ {eff} $ einschließlich relativistischer Effekte an:

$$ V_ {eff} (r) = - \ frac {GMm} {r} + \ frac {L ^ 2} {2mr ^ 2} - \ frac {GML ^ 2} {c ^ 2mr ^ 3} \ tag {2} $ $

Das Einbeziehen relativistischer Effekte fügt also nur einen dritten Term in $ r ^ {- 3} $ hinzu.

Nun berechnen wir die Position der stabilen Umlaufbahn, indem wir das Minimum von $ V_ {eff} $ ermitteln, d. h. wir berechnen $ dV / dr $, setzen es auf Null und lösen die resultierende Gleichung für $ r $. Wenn wir dies für das Newtonsche Potential (1) tun, erhalten wir:

$$ r = \ frac {L ^ 2} {GMm ^ 2} \ tag {3} $$

Finden Das Minimum des relativistischen Ausdrucks (2) ist etwas komplizierter, da wir am Ende ein Quadrat zum Lösen haben, aber ein bisschen herumspielen endet mit:

$$ r = \ frac {L ^ 2} {2GMm ^ 2} \ left (1 + \ sqrt {1 - \ frac {12G ^ 2M ^ 2m ^ 2} {L ^ 2c ^ 2}} \ right) $$

und wir können uns annähern die Quadratwurzel unter Verwendung des Binomialsatzes, um zu erhalten:

$$ \ begin {align} r & \ approx \ frac {L ^ 2} {2GMm ^ 2} \ left (1 + 1 - \ frac { 6G ^ 2M ^ 2m ^ 2} {L ^ 2c ^ 2} \ rechts) \\ & \ approx \ frac {L ^ 2} {GMm ^ 2} - \ frac {3GM} {c ^ 2} \ tag {4 } \ end {align} $$

Wenn wir unsere berechneten Newtonschen (3) und relativistischen (4) Abstände vergleichen, stellen wir fest, dass der Unterschied zwischen ihnen ist:

$$ \ Delta r \ ca. \ frac {3GM} {c ^ 2} \ ca. 1,3 \ text {cm} $$

So groß ist also der Unterschied einschließlich der allgemeinen Relativitätstheorie zur berechneten Erd-Mond-Transferbahn - ca. 1,3 cm!

Das Jet Propulsion Laboratory hat seit Mitte bis Ende der 1960er Jahre allgemeine relativistische Effekte in seine numerische Integration der Planeten einbezogen. Zum Beispiel hat die 1967 veröffentlichte JPL DE19-Ephemeride relativistische Effekte in ihre Modellierung des Sonnensystems einbezogen.

Dies hat nicht viel geholfen. Hätten sie relativistische Effekte ignoriert, hätte dies nur geringe Auswirkungen gehabt. Fehler in diesen älteren JPL-Ephemeriden häuften sich schnell an und wurden in nur wenigen Jahren nutzlos. Die meisten dieser Fehler waren auf extrem schlechte Rechenfähigkeiten (Ihr Laptop / Heimcomputer ist viel leistungsfähiger als der größte Supercomputer der 1960er Jahre) und ziemlich miese Messungen (das JPL Deep Space Network steckte noch in den Kinderschuhen) zurückzuführen.

Andere Teile der NASA, einschließlich anderer Teile der JPL, haben relativistische Effekte nicht in ihre Ausbreitung ihres Raumfahrzeugs einbezogen. Es hatte wenig Sinn. In den 1960er Jahren war das NASA-Modell des Schwerefelds der Erde ein 4x4-Modell der sphärischen Harmonischen und des Mondes ein einfaches Modell der sphärischen Schwerkraft. (Vergleichen Sie dies mit dem Erdgravitationsmodell 2159x2159 EGM2008 und dem Mondgravitationsmodell 900x900 GRGM900C.) Die durch diese bekannten Einschränkungen verursachten Fehler stellen den Fehler in den Schatten, indem diese winzigen relativistischen Effekte nicht modelliert wurden.

1968 war die NASA recht schockiert über die 2 Kilometer langen Fehler, die sie in ihren Mondsonden und im Flug von Apollo 8 von 1968 sahen. Dies war etwas, was die NASA verfolgte. Es stellt sich heraus, dass die nahe Seite des Mondes fünf große Massenkonzentrationen aufweist, die aus diesem einfachen sphärischen Schwerkraftmodell einen Spott machen. Dieses Problem war es wert, behoben zu werden.

Relativistische Effekte nicht modellieren? In vielen Fällen lohnt es sich immer noch nicht, dies zu korrigieren. Bis vor kurzem war ich der Schlüsselarchitekt eines Großteils der im NASA Johnson Space Center verwendeten Software für Orbitalmechanik. Ich bat jährlich darum, unseren Gravitationsberechnungen relativistische Effekte hinzufügen zu können. Dieser Antrag wurde jedes Jahr abgelehnt. Ich habe gefragt, weil ich es einfügen wollte, nicht weil es für die Modellierung des Verhaltens von Raumfahrzeugen wichtig ist.

Die allgemeine Relativitätstheorie hat einen winzigen Einfluss auf das Raumfahrzeug. Sie sind nicht lange genug aktiv, um die Fehler zu erkennen, die sich aus dem Ignorieren dieser Effekte ergeben, um zu wachsen. Das Ignorieren relativistischer Effekte führt zu einem winzigen Fehler im propagierten Zustand, der vollständig von anderen Fehlern überschwemmt wird. Zum Beispiel sind im Fall eines Fahrzeugs in einer erdnahen Umlaufbahn die Unsicherheiten in der oberen Erdatmosphäre enorm. Eine kleine Sonneneruption genügt, um die obere Erdatmosphäre wie einen Ballon anschwellen zu lassen. Es macht keinen Sinn, relativistische Effekte zu modellieren, wenn der Luftwiderstand um mehrere Größenordnungen höher ist und wenn Sie das Glück haben, den Luftwiderstand an zwei Stellen mit Genauigkeit zu kennen.

Wenn ein Fahrzeug zum Mond oder zu einem anderen fährt Planet, die Fehler in den Leit-, Navigations- und Steuerungssystemen überschwemmen erneut die Auswirkungen des Ignorierens der Relativitätstheorie. Diese und andere Fehler müssen korrigiert werden, damit das Raumschiff das Ziel nicht verfehlt. Jedes Raumschiff, das zu einem anderen Körper des Sonnensystems fährt, muss auf dem Weg mindestens eine Korrektur während des Kurses vornehmen. Im schlimmsten Fall bedeutet das Ignorieren relativistischer Effekte lediglich, dass Sie ein kleines bisschen zusätzlichen Kraftstoff für diese Korrekturen während des Kurses mitbringen müssen.

Einige Überprüfung der geistigen Gesundheit, ohne tatsächlich etwas zu berechnen:

Erstens ist der Fehler aufgrund der Vernachlässigung der allgemeinen Relativitätstheorie so gering, dass er die Vorhersage von Mondfinsternissen nicht beeinflusst und nur in bemerkt wird Merkurs Umlaufbahn (zumindest erst, wenn sie Experimente zur Erkennung geringfügiger Abweichungen durchgeführt haben). Ich weiß, dass dies keine völlig zufriedenstellende Antwort gibt, aber der Mond und unsere Raketen folgen denselben physikalischen Gesetzen. Wenn die Kepler-Mechanik für den Mond gut genug ist, ist sie für die Rakete gut genug.

Zweitens: Die Präzision der Raketenschubkraft und -dauer, insbesondere vor einem halben Jahrhundert, war begrenzt. Die Präzision in der Brute-Machinery-Technik (für die sich eine Rakete zur Verbrennung fester Brennstoffe definitiv qualifiziert) liegt optimistisch bei drei Dezimalstellen, was viel schlechter ist als die Präzision, mit der die Newtonsche Dynamik experimentell überprüft wurde.

Drittens werden während des Fluges Kursanpassungen vorgenommen, um die Flugbahn zu korrigieren und das richtige Ziel zu erreichen. Wir verlassen uns daher nicht auf einen äußerst präzisen Start, um die Anhäufung von Fehlern zu beseitigen.

Kurz gesagt, allgemeine Relativitätseffekte werden vollständig durch Mängel an Hartmetallmaschinen, schlecht gemessene Kraftstoffmengen, Kraftstoffverunreinigungen und Verbrennung überschattet Unregelmäßigkeiten, Turbulenzen und allgemeine Aerodynamik in der Atmosphäre während des Starts, ungenau bestimmtes Nutzlastgewicht, Vogelkot auf der Windschutzscheibe und so weiter. Angesichts der Tatsache, dass wir mit der Steampunk -Technologie zum Mond gekommen sind, kann die allgemeine Relativitätstheorie für die Raumfahrt ignoriert werden, zumindest wenn Sie weit genug von einem Stern entfernt sind.

Das natürlich bedeutet nicht, dass die allgemeine Relativitätstheorie anderswo nicht erkennbar ist. GPS ist definitiv davon betroffen, und unsere Zeitmessung ist auch genau genug, um einen Zeitunterschied zu erkennen, wenn Sie auf einen Berg klettern und wieder herunterkommen.

Ich werde den Ball auf diesem rollen lassen. Mein GR-Wissen ist wahrscheinlich nicht gut genug, um dies zu einer wirklich befriedigenden Antwort zu machen ...

Die Gravitationsbeschleunigung für ein Objekt, das sich radial mit nicht relativistischen Geschwindigkeiten in der Schwarzschild-Metrik bewegt, wird um einen Faktor $ (1) modifiziert - r_s / r) (3 [1-r_s / r] -2) $, wobei $ r_s = 2GM / c ^ 2 = 0,00885 m $ für die Erde.

Wenn wir eine niedrige Erde nehmen Umlaufbahn von einigen hundert Kilometern beträgt der Faktor 0,999999995 $. Für irgendwo zwischen der Erde und dem Mond sind es $ 0,9999999998 $.

Wenn Sie also etwas Dummes tun, wie 3 Tage lang eine einheitliche Beschleunigungsgleichung zu verwenden, dann kommt die (radiale) Positionsungenauigkeit, die sich ergibt, vom Gravitationsfeld mal $ t ^ 2 $ multipliziert mit den obigen Faktoren. Ich denke, der zweite Faktor ist realistischer, da die meiste Zeit zwischen der Erde und dem Mond verbracht wurde. Das Gravitationsfeld liegt hier in der Größenordnung von 0,02 m / s $ ^ 2 $, was einen Positionsfehler in der Größenordnung nach einem dreitägigen Flug von 0,3 Metern ergibt, oder etwas größer, wenn mehr Zeit in einem stärkeren Gravitationsfeld verbracht wird. P. >

Tangential denke ich, dass wir eine Größenordnungsberechnung durchführen können, indem wir die metrische Schwarzschild-Zeitdilatation für die Erde auf der Mondbahn verwenden. Bei der ersten Bestellung läuft eine Uhr am Mond schneller als eine an der Erdoberfläche mit einer Rate von $ (1-r_s / r) ^ {- 1/2} $, wobei $ r \ sim 6.400 \ km $. Multipliziert man dies mit 3 Tagen, so ergibt sich ein zeitlicher Fehler von 0,2 Millisekunden. Während dieser Zeit hat sich der Mond (um die Erde) um etwa 0,2 Meter bewegt.

Diese außerordentlich grobe Berechnung scheint also darauf hinzudeuten, dass GR hier kein Grund zur Sorge ist. Aber ich bin sicher, dass jemand einen genaueren Job machen kann. Auf jeden Fall denke ich nicht, dass die Prämisse der Frage richtig ist, da Korrekturen während des Transits und im Orbit (mehrmals) während der Apollo-Flüge durchgeführt werden konnten und wurden.

Bedenken Sie, dass es nicht besonders schwierig wäre, eine Landung vom Apollo-Typ durchzuführen, wenn jede Ihrer relativen Geschwindigkeits-, Entfernungs- und Winkelmessungen um +/- 5% abweicht.

Sie könnten einfach eine Landung durchführen kleine iterative Korrekturen auf dem Weg, bis die absoluten Werte klein genug waren, um die relativen Fehler unwichtig zu machen. Im schlimmsten Fall müssten Sie etwas mehr Sicherheitsspielraum für Kraftstoff haben.

Absolut, wir könnten, und tatsächlich vermute ich stark, dass die Allgemeine Relativitätstheorie im Apollo-Programm nie verwendet wurde. Zum einen waren die Bordnavigationscomputer bei weitem nicht leistungsfähig genug, um mit GR nützliche Berechnungen durchzuführen.

Auf der anderen Seite ist es möglich, die Position des Mondes auf wenige Zentimeter genau zu messen (viel genauer als nötig, um ein Raumschiff sicher dorthin zu bringen), und es ist sicherlich notwendig, GR zu verwenden, um dies zu modellieren Daten genau.