Ihre "Abmessungen" sind nicht ganz "korrekt". Die Berechnung sollte ungefähr $ 10 ^ {7} \ frac {\ hbox {Atome}} {\ hbox {Zeile}} \ mal 2 \ mal 10 ^ 7 \ hbox {Zeile} = 2 \ mal 10 ^ {14} $ sein Atome. In der Tat sind Atome Objekte, die gezählt und hinzugefügt werden müssen, wie Autos oder Birnen.

Ich glaube, ich erinnere mich an einen Mathematikkurs, dass die Griechen (anscheinend) keine Zahlen abstrahieren konnten und daher immer an "$ 5 $" als Objekte denken würden: $ 5 $ Äpfel, $ 5 $ Kieselsteine ​​usw. Sie könnten also hinzufügen Äpfel: $ 5 $ Äpfel + $ 5 $ Äpfel + $ 5 $ Äpfel sind $ 15 $ Äpfel.

Die Multiplikation war unterschiedlich und wurde als geometrische Operation betrachtet. Ein Rechteck der Seiten $ 3 $ m und $ 4 $ m hatte eine Fläche von $ 3 \ mal 4 = 12 \ hbox {m} ^ 2 $.

Infolgedessen "entdeckten" sie (anscheinend) nie das allgemeine abstrakte Ergebnis, dass $ a \ times b = b + b + b \ ldots $ ($ a $ times), da die beiden Operationen in gewissem Sinne "inkompatibel" waren ". Da wir in $ \ mathbb {R} ^ 3 $ leben, war es für sie außerdem nicht sinnvoll, mehr als $ 3 $ Zahlen miteinander zu multiplizieren.

Das OP möchte ebenfalls zwei "inkompatible" Operationen (im Sinne der Griechen) gleichsetzen, deren Ergebnis numerisch übereinstimmt, weil man alle Atome aller Zeilen summieren muss, anstatt Atome miteinander zu "multiplizieren".

Leider kann ich keine Quelle finden, um dies zu bestätigen.

Es gibt keine Einheit wie ein Atom $ ^ 2 $.

Sie zählen die Anzahl der Objekte (Atome) und fügen so

$ 10 ^ {7} \, \ rm Atome \, + 10 ^ {7} \, \ rm Atome \, + 10 ^ {7} \, \ rm Atome \, + 10 ^ {7} \, \rm Atome \, +.....+ 10 ^ {7} \, \ rm Atome \, $

mit $ 2 * 10 ^ {7} $ Begriffen in der Summe und Sie schreiben dies in "Kurzschrift" als

$ (10 ^ {7} * 2 * 10 ^ {7}) \, \ rm Atome = 2 * 10 ^ {14} \, Atome $.

Atome sind nicht wirklich eine Einheit. Sie werden beim Multiplizieren nicht richtig kombiniert. Wenn Sie vorsichtig sind, können Sie sie in bestimmten Situationen zum Laufen bringen, wie beide anderen Antworten zeigen (+1 für beide).

Aber wie Sie gesehen haben, funktionieren sie nicht überall. Nicht wie eine Länge würde. Wenn der Abstand von Atom zu Atom 1 Angstrom beträgt, gibt es kein Problem mit einer Fläche von $ 10 ^ {14} $ Angstrom $ ^ 2 $.

Also, was ist die Einheit? Eine Zählung ist dimensionslos.

Trotzdem wird es oft als Einheit verwendet, in der es funktioniert. Sie müssen nur vorsichtig sein, um es nicht dort zu verwenden, wo es nicht ist.

Physiker sind manchmal so schlampig, dass Mathematiker viel vorsichtiger sind. Beispielsweise kann eine Funktion an den meisten Stellen einen Wert von $ 0 $ haben, aber eine hohe, dünne Spitze in der Nähe von $ 0 $, sodass der Bereich unter der Spitze 1 ist. Dies ist in einigen Situationen nützlich. Physiker finden, dass die Spitze unendlich schmal sein muss. Also haben sie die Dirac-Delta-Funktion erstellt, die überall $ 0 $ ist, außer bei $ 0 $. Der Wert bei $ 0 $ ist unendlich. Die Fläche unter der Spitze beträgt $ 1 $.

Ein Mathematiker würde Probleme mit einer solchen "Funktion" finden und sagen, dass sie nicht existiert. Ein Physiker achtet darauf, es dort einzusetzen, wo es funktioniert.

Ihre Einheiten sind keine Atome, sondern Atombegrenzungsbreiten.Das Quadrat der Atombegrenzungsbreiten wird natürlich in Einheiten der Atombegrenzungsflächen angegeben.

Was an Ihrer Berechnung falsch ist, ist, dass Sie eine Dimension durch eine "Anzahl" ersetzt haben.
Der richtige Weg wäre, die Länge von $ 10 ^ 7 $ Atomen zu bestimmen.Angenommen, sie benötigen 1 cm, dann hätte $ 1 cm ^ 2 $ $ 1x10 ^ {14} $ Atome und the sheet (1 cm x 2 cm oder 2 $ cm ^ 2 $) would ($ 1x10 ^ {} enthaltenAtome / $ cm ^ 2 $ x 2 $ cm ^ 2 $ =) $ 2x10 ^ {14} $ Atome.