Die Definition eines Quantenfeldes hängt geringfügig von dem von Ihnen verwendeten Formalismus ab. Global werden Quantenfelder jedoch global als Operator-Wert-Verteilungen definiert.Das heißt, wenn Sie ein Quantenfeld $ \ Phi $ haben, wird es als

$$ \ Phi: \ mathscr D (\ mathcal M) \ bis \ mathcal B (\ mathscr H) $$

Es ordnet glatte Funktionen mit kompakter Unterstützung auf dem Raumzeitverteiler linearen Operatoren im Hilbert-Raum zu, in dem Ihre Quantentheorie definiert ist.Durch einen Missbrauch der Notation schreiben wir sie manchmal als $ \ Phi (x) $, obwohl dies nur dann gut definiert ist, wenn die Verteilung selbst eine reibungslose Funktion ist.

Damit sind einige Schwierigkeiten verbunden (da Verteilungen nicht einfach miteinander multipliziert werden können und QFT viele Produkte von Feldern umfasst), was bedeutet, dass man Methoden wie Wellenfrontsätze und Renormierungen verwenden muss, um alles zu verstehen.

Die Antworten, die darauf hindeuten, dass die Antwort auf "Was ist ein Quantenfeld?" ist unklar oder sogar offen sind falsch.

Der Eindruck, dass dies unklar sein könnte, ist auf die Standardlehrbücher zurückzuführen, die sich an die Heuristiken halten, die Tomonaga-Schwinger-Feynman-Dyson vor vielen Jahrzehnten geholfen haben, die Theorie zu erraten, aber die mathematische Natur der realistischen Quantenfeldtheorie wurde vollständig verstanden Mitte der 70er Jahre und seitdem weiterentwickelt. Eine Übersicht über den Stand der Technik finden Sie unter

• PhysicsFormums-Insights - Einführung in die störende Quantenfeldtheorie

Zunächst lohnt es sich zu erkennen, dass es einen Unterschied zwischen einer Feldkonfiguration und einer im Raum aller Feldkonfigurationen beobachtbaren gibt.

Ein Feld selbst, entweder in der klassischen Physik oder in seiner Quantisierung, ist einfach eine Funktion der Raumzeit, die jedem Raumzeitpunkt den "Wert" dieses Feldes an diesem Punkt zuweist. Im Allgemeinen handelt es sich um einen Abschnitt eines Bündels über die Raumzeit, der als Feldbündel bezeichnet wird. Wenn zum Beispiel das Feldbündel ein Spinbündel ist, dann ist das Feld ein Spinor, wenn es das Differentialformbündel ist, dann ist das Feld ein Messpotential wie für Elektromagnetismus usw.

Aus der Lagrange-Dichte erhält man nun zwei Dinge: die Bewegungsgleichungen sowie eine prä-symplektische Form auf dem Raum all jener Feldgeschichten, die die Bewegungsgleichungen lösen. Dies wird als kovarianter Phasenraum der Theorie bezeichnet.

Ein Observable ist eine Funktion in diesem kovarianten Phasenraum. Es sendet jeden Feldverlauf an eine Zahl, den "Wert des in diesem Feldverlauf beobachtbaren Wertes". Da der kovariante Phasenraum selbst ein Raum von Funktionen (oder vielmehr Abschnitten) ist, ist eine Funktion on eine funktionale .

Nun passiert bei der Quantisierung nur noch, dass die punktweise Produktalgebra von Funktionalen im kovarianten Phasenraum zu einer nicht kommutativen Algebra deformiert wird. Es ist traditionell zu fordern, diese Algebra in einer Algebra von Operatoren auf einem Hilbert-Raum darzustellen, aber zum größten Teil ist dies ein roter Hering. Was zählt, ist die nicht kommutative Algebra von Quantenobservablen. Für die Berechnung der Vorhersagen der Theorie, ihrer Streuamplituden, ist es eigentlich nicht erforderlich, dies durch die Operatoralgebra darzustellen.

Egal, ob Sie die nicht kommutative Algebra von Quantenbeobachtungsobjekten durch Operatoren darstellen möchten oder nicht, auf jeden Fall ist das Ergebnis jetzt, dass eine Punktbewertungsfunktion etwas ist, das eine Schmierfunktion einliest und dann das entsprechende Beobachtbare erzeugt. jetzt als Element einer nichtkommutativen Algebra ausgestellt. Auf diese Weise sind Quantenbeobachtungsgrößen auf Feldern Verteilungen mit Algebra-Element-Wert (z. B. Operator-Algebra-Element-Wert).

Und ja, für freie Felder ergibt dies die bekannten Vernichtungsoperatoren für die Erstellung. Einzelheiten dazu finden Sie unter

• im nLab bei Wick-Algebra .

Diese Fragen werden unter

• Geometrie der Physik - Eine erste Idee des Quantenfeldes Theorie

Derzeit ist dies bis zur klassischen Geschichte geschrieben.Informationen zur Quantentheorie finden Sie in zwei Monaten erneut auf der Website.

Es gibt noch keine mathematisch fundierte Formulierung einer realistischen QFT, daher haben wir derzeit keine wirkliche Antwort auf Ihre Frage. Die QFT, mit der Physiker Vorhersagen treffen, liegt in der sogenannten Lagrange-Formulierung vor, einem heuristischen Rahmen, um störende Erweiterungen mithilfe von Feynman-Diagrammen zu erhalten. Es gibt auch algebraische oder axiomatische QFT, mathematisch gut definiert, aber bisher auf freie Theorien und Spielzeugmodelle beschränkt. Die Idee ist, dass QFT eine Liste von Axiomen erfüllen muss, wobei die Wightman-Axiome am häufigsten verwendet werden, und die Herausforderung besteht darin, realistische Theorien zu konstruieren, die sie erfüllen. Die mathematische Konstruktion einer Yang-Mills-Theorie mit einer Massenlücke ist eines der Millenium-Probleme.

In algebraischen QFT-Feldern werden Verteilungen mit Operatorwerten identifiziert, und das Fock-Raumbild ist eine doppelte Darstellung davon. Diese Dualität ähnelt den Bildern von Schrödinger gegen Heisenberg in der Quantenmechanik. Die Idee ist, dass der Hilbert-Raum von Quantenfeldern als Verteilungen, die lokalisierten Regionen der Raumzeit zugeordnet sind, einheitlich dem Fock-Raum entspricht, in dem Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren definiert sind und der in der Praxis viel häufiger verwendet wird. Dies ist der Fock-Raum der zweiten Quantisierung, daher sind diese Operatoren nicht dieselben wie die Feldoperatoren, bei denen es sich um quantisierte Versionen klassischer Felder handelt (intuitiv sind die Fock-Raumoperatoren "global", während die Feldoperatoren "lokalisiert" sind):

" Glücklicherweise enthalten die Operatoren in einem QFT-Hilbert-Raum eine Reihe von Feldoperatoren. Wenn eine bestimmte Wellengleichung durch ein klassisches Feld $ \ phi (x) $ erfüllt wird, wird sie auch in der Operatorgleichung erfüllt Form durch eine Reihe von Operatoren $ \ widehat {\ phi} (x) $ im Zustandsraum der quantisierten Version der Feldtheorie. Etwas ungenau gesprochen, verhält sich $ \ widehat {\ phi} (x) $ wie ein Feld von Operatoren und weist jedem Punkt x einen Operator mit dem Erwartungswert $ (\ psi, \ widehat {\ phi} (x) \ psi) $ zu . Wie der Staat entwickelt sich dynamisch, diese Erwartungswerte entwickeln sich wie die Werte eines klassischen Feldes. Die Menge der Feldoperatoren wird manchmal als operator-bewertetes Quantenfeld bezeichnet. Eine Einschränkung, die später wichtig sein wird: Genau genommen können wir kein nichttriviales Feld von Operatoren $ \ widehat {\ phi} (x) $ konstruieren, die an Punkten definiert sind. Es ist jedoch möglich, ein "verschmiertes" Quantenfeld durch Faltung mit Testfunktionen zu definieren.

[...] Wir brauchen eine Interpretation feldtheoretischer Zustände, um zu bestimmen, welche physisch bedingte Tatsachen, die sie darstellen. Im Einzelteilchen-QM ist ein Zustand eine Überlagerung von Zuständen mit bestimmten Werten für die Observablen der Theorie (z. B. Position und Impuls). In Feldtheorien interessieren wir uns für Systeme, die Werte für ein Feld $ \ phi (x annehmen ) $ und sein konjugierter Impuls $ \ pi (x) $. Wenn wir also eine Feldtheorie quantisieren, sollten wir nur das tun Feld, was wir mit dem mechanischen System gemacht haben, um QM zu generieren. Setzen Sie $ \ phi (x) $ und $ \ pi (x) $ Kommutierungsrelationen auf und verschieben Sie unsere Zustände in den Hilbert-Raum von wavefunctionals ($ \ Psi (\ phi) $), die Überlagerungen verschiedener klassischer Feldkonfigurationen beschreiben.

Die Äquivalenz zum Fock-Raumbild kann für die freie QFT bewiesen werden, aber die axiomatische QFT hat Schwierigkeiten, Interaktionen einzubeziehen oder Positionsoperatoren zu definieren. Aus diesem Grund argumentieren einige, dass weder Quantenfeld- noch Fock-Raum / Teilchen-Interpretationen in einer mathematisch ausgereiften QFT überleben können, siehe z. Baker's Against Field Interpretations der Quantenfeldtheorie, aus der das obige Zitat stammt.

Wallace hat eine nette Rezension Zur Verteidigung der Naivität: Der konzeptionelle Status der Lagrange-QFT, die die mathematische Struktur der QFT analysiert, wie sie praktiziert wird, und im Gegenteil argumentiert, dass sie als eine angesehen werden kann gültige Näherung dessen, was algebraische QFT eines Tages ergeben könnte. Wenn dies der Fall ist, sind vom Operator bewertete Verteilungen und Fock-Raumzustände, die als Teilchenzustände interpretiert werden, effektive Erkenntnisse darüber, was Quantenfelder bei niedrigen Energieniveaus "sind":

" Wir haben argumentiert, dass solche QFTs zu perfekt definierten Quantentheorien gemacht werden können, vorausgesetzt, wir nehmen den Hochenergie-Cutoff absolut ernst; die verschiedenen Möglichkeiten, dies zu tun, stehen nicht in Konflikt, vorausgesetzt, wir verstehen sie als Annäherung an die Struktur einer tieferen, noch unbekannten Theorie, dass die Existenz inäquivalenter Darstellungen kein Problem darstellt, dass für solche Theorien ein Konzept der Lokalisierung definiert werden kann, das ausreicht, um zumindest einige der praktischen Probleme zu analysieren, mit denen wir sind konfrontiert, und dass die Ungenauigkeit, die diesem Konzept innewohnt, weder für die relativistische Quantenmechanik einzigartig noch in irgendeiner Weise problematisch ist.