Tatsächlich ist eine Wellengleichung jede Gleichung, die wellenartige Lösungen zulässt, die die Form $ f (\ vec {x} \ pm \ vec {v} t) $ annehmen. Die Gleichung $ \ frac {\ partiell ^ 2 f} {\ partiell t ^ 2} = c ^ 2 \ nabla ^ 2 f $ ist nicht die einzige, obwohl sie " die Wellengleichung" genannt wird Gleichung, die dies tut.

Wenn Sie die Wellenlösung für ein konstantes Potential in die Schrödinger-Gleichung einfügen, verwenden Sie $ \ xi = x - vt $

$$ \ begin {align} - i \ hbar \ frac {\ partiell} {\ partiell t} f (\ xi) & = \ biggl (- \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ nabla ^ 2 + U \ biggr) f (\ xi) \\ i \ hbar vf '(\ xi) & = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} f' '(\ xi) + Uf (\ xi) \\\ end {align} $$

Dies hängt eindeutig nur von $ \ xi $ ab, nicht von $ x $ oder $ t $ einzeln, was zeigt, dass Sie wellenförmige Lösungen finden können. Sie sehen aus wie $ e ^ {ik \ xi} $.

Beide sind Arten von Wellengleichungen, da sich die Lösungen so verhalten, wie Sie es für "Wellen" erwarten. Mathematisch gesehen handelt es sich jedoch um partielle Differentialgleichungen (PDE), die nicht vom gleichen Typ sind (Sie erwarten also, dass die Lösungsklasse unter bestimmten Randbedingungen ein anderes Verhalten aufweist). Die Einschränkungen für die Eigenwerte des linearen Operators gelten auch für jeden der PDE-Typen. Im Allgemeinen kann eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in zwei Variablen als

$$ A \ partielle_x ^ 2u + B \ partielle_x \ partielle_yu + C \ partielle_y ^ 2u + \ text {niedrigere Ordnung geschrieben werden Begriffe} = 0 $$

Die Wellengleichung in einer von Ihnen angegebenen Dimension ist eine einfache Form für eine hyperbolische PDE , die $ B ^ 2 - 4AC > 0 $ erfüllt.

Die Schrödinger-Gleichung ist eine parabolische PDE , in der wir $ B ^ 2 - 4AC < 0 $ haben. Es kann auf die Wärmegleichung abgebildet werden.

Im technischen Sinne ist die Schrödinger-Gleichung not eine Wellengleichung (es handelt sich nicht um eine hyperbolische PDE).In einem heuristischeren Sinne kann man es jedoch als eins betrachten, weil es einige der Eigenschaften typischer Wellengleichungen aufweist.Insbesondere ist die wichtigste Eigenschaft, die mit Wellengleichungen geteilt wird, das Huygens-Prinzip.Dieses Prinzip steckt beispielsweise hinter dem Doppelspaltexperiment.

Wenn Sie über dieses Prinzip und die Schrödinger-Gleichung lesen möchten, lesen Sie Huygens-Prinzip, das freie Schrödinger-Teilchen und die Quanten-Antizentrifugalkraft und Huygens-Prinzip als universelles Modell vonAusbreitung.Siehe auch diesen Math.OF-Beitrag für weitere Details zu HP und hyperbolischen PDEs.

Wie Joe in seiner Antwort auf ein Duplikat ausführt, ist die Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen eine Variante der langsam variierenden Hüllkurvennäherung der Wellengleichung. aber ich denke, seine Antwort vermisst einige Feinheiten.

Nehmen Sie eine allgemeine Lösung $ f (x) $ für die Wellengleichung $ \ partiell ^ 2 f = 0 $ (wir verwenden die Lorentz-Kovarianten-Notation und die - +++ Vorzeichenkonvention). Stellen Sie sich vor, Sie zerlegen $ f $ in eine einzelne ebene Welle, die durch eine Hüllkurvenfunktion $ \ psi (x) $ moduliert wird: $ f (x) = \ psi (x) \, e ^ {ik \ cdot x} $, wobei die vier- Der Vektor $ k $ ist null. Die Wellengleichung wird dann $$ (\ partiell ^ \ mu + 2 ik ^ \ mu) \ partiell_ \ mu \ psi = ({\ bf \ nabla} + 2 i \, {\ bf k}) \ cdot {\ bf \ nabla} \ psi + \ frac {1} {c ^ 2} (- \ partielle_t + 2 i \ omega) \ partielle_t \ psi = 0, $$ Dabei ist $ c $ die Wellengeschwindigkeit.

Wenn es einen Lorentz-Frame gibt, in dem $ | {\ bf k} \ cdot {\ bf \ nabla} \ psi | \ ll | {\ bf \ nabla} \ cdot {\ bf \ nabla} \ psi | $ und $ | \ partielle_t \ dot {\ psi} | \ ll \ omega | \ dot {\ psi} | $, dann können in diesem Rahmen die beiden mittleren Terme vernachlässigt werden, und wir bleiben mit $$ i \ partielle_t \ psi = - \ frac {c ^ 2} {2 \ omega} \ nabla ^ 2 \ psi, $$ Dies ist die Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen der Masse $ m = \ hbar \ omega / c ^ 2 $.

$ | \ partielle_t \ dot {\ psi} | \ ll \ omega | \ dot {\ psi} | $ bedeutet, dass sich die Zeitableitung $ \ dot {\ psi} $ der Hüllkurvenfunktion viel langsamer ändert als die ebene Welle schwingt (dh viele ebene Wellenschwingungen treten in der Zeit $ auf | \ dot {\ psi} / \ partielle_t \ dot {\ psi} | $, die erforderlich sind, damit sich $ \ dot {\ psi} $ signifikant ändert) - daher der Name "langsam variierende Hüllkurvennäherung". Die physikalische Interpretation von $ | {\ bf k} \ cdot {\ bf \ nabla} \ psi | \ ll | {\ bf \ nabla} \ cdot {\ bf \ nabla} \ psi | $ ist viel weniger klar und ich habe keine große Intuition dafür, aber es scheint im Grunde zu implizieren, dass, wenn wir die Richtung von nehmen Die Wellenausbreitung ist $ \ hat {{\ bf z}} $, dann ändert sich $ \ partielle_z \ psi $ sehr schnell im Raum entlang der Richtung der Wellenausbreitung (dh Sie müssen nur einen kleinen Bruchteil einer Wellenlänge $ \ lambda $ zurücklegen, bevor sich $ \ partielle_z \ psi $ signifikant ändert. Dies ist eine ziemlich seltsame Grenze, da es offensichtlich nicht wirklich sinnvoll ist, $ \ psi $ als "Hüllkurve" zu betrachten, wenn sie sich über eine Längenskala ändert, die viel kürzer ist als die Wellenlänge der Welle, die sie einhüllen soll. Ehrlich gesagt bin ich mir nicht einmal sicher, ob dieses Limit mit dem anderen Limit $ | \ partielle_t \ dot {\ psi} | kompatibel ist \ ll \ omega | \ dot {\ psi} | $. Ich würde es begrüßen, wenn jemand darüber nachdenken würde, wie diese Grenze zu interpretieren ist.

Wie in anderen Antworten und Kommentaren betont, besteht der gemeinsame Punkt zwischen diesen Gleichungen darin, dass ihre Lösungen "Wellen" sind. Dies ist der Grund, warum die von ihnen beschriebene Physik (z. B. Interferenzmuster) ähnlich ist.

Vorläufig würde ich eine "wellenförmige" Gleichung als

1. eine lineare PDE

2. dessen Raum räumlich begrenzter ^{* sup> -Lösungen eine (Pseudo-) Basis der Form zulässt $$ e ^ {i \ vec {k}. \ vec {x} - i \ omega _ {\ alpha} (\ vec {k}) t}, \ vec {k} \ in \ mathbb {R} ^ n, \ alpha \ in \ left \ {1, \ dots, r \ right \} $$ mit $ \ omega_1 (\ vec {k}), \ dots, \ omega_r (\ vec {k}) $ real -bewertet (auch bekannt als. Dispersionsrelation).}

ol>

In der 1 + 1-Dimension sind dies beispielsweise die PDE der Form $$ \ sum_ {p, q} A_ {p, q} \ Partial_x ^ p \ Partial_t ^ q \ psi = 0 $ $ so, dass für alle $ k \ in \ mathbb {R} $ das Polynom $$ Q_k (\ omega) gilt: = \ sum_ {p, q} (i) ^ {p + q} A_ {p, q} k ^ p \ omega ^ q $$ lässt nur echte Wurzeln zu. In diesem Sinne erinnert dies an die hyperbolische vs parabolische Klassifikation, die in der Antwort von @DaniH beschrieben ist, ohne jedoch Derivaten 2. Ordnung eine besondere Rolle zuzuweisen.

Beachten Sie, dass mit einer solchen Definition die freie Schrödinger-Gleichung als wellenförmig gelten würde, aber nicht als solche mit einem Potential (und ich denke zu Recht, dass die Physik des Quantenharmonischen Oszillators mit gebundenen Zuständen ganz anders ist usw). Auch die Wärmegleichung $ \ Partial_t \ psi -c \ Partial_x ^ 2 \ psi = 0 $: Das '$ i $' in der Schrödinger-Gleichung ist nicht wichtig!

_{* Solche Gleichungen lassen häufig auch abklingende Wellen zu, die imaginären $ \ vec {k} $ entsprechen. sub>}

Diese Antwort geht auf meinen Kommentar zu David Zs Antwort ein. Ich denke, seine Definition einer Wellengleichung ist zu weit gefasst, weil sie jede translatorisch invariante PDE und jeden Wert von $ v $ enthält. Lassen Sie uns der Einfachheit halber auf lineare PDEs in einer räumlichen Dimension spezialisieren. Eine solche Gleichung allgemeiner Ordnung $ N $ hat die Form

$$ \ sum_ {n = 0} ^ N \ sum _ {\ mu_1, \ dots, \ mu_n \ in \ {t, x \}} c _ {\ mu_1, \ dots, \ mu_n} \ teilweise _ {\ mu_1} \ dots \ partielle _ {\ mu_n} \, f (x, t) = 0. $$

Um die Notation zu vereinfachen, lassen wir $ \ {\ mu \} $ $ \ mu_1, \ dots, \ mu_n $ bezeichnen, so dass

$$ \ sum_ {n = 0} ^ N \ sum _ {\ {\ mu \}} c _ {\ {\ mu \}} \ partiell _ {\ mu_1} \ dots \ partiell _ {\ mu_n} \, f (x, t) = 0. $$

Lassen Sie uns den Ansatz machen, dass $ f $ nur von $ \ xi abhängt: = x - v t $. Dann ist $ \ partielle_x f (\ xi) = f '(\ xi) $ und $ \ partielle_t f (\ xi) = -v \, f' (\ xi) $. Wenn wir $ a _ {\ {\ mu \}} \ in \ mathbb {N} $ definieren, um einfach die Anzahl der Indizes $ \ mu_i \ in \ {\ mu \} $ zu zählen, die $ t $ entsprechen, wird die PDE

$$ \ sum_ {n = 0} ^ N f ^ {(n)} (\ xi) \ sum _ {\ {\ mu \}} c _ {\ {\ mu \}} (-v) ^ { a _ {\ {\ mu \}}} = 0. $$

Definieren von $ c'_n: = \ sum \ border _ {\ {\ mu \}} c _ {\ {\ mu \}} (-v) ^ {a _ {\ {\ mu \}} $, wir Erhalten Sie die gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

$$ \ sum_ {n = 0} ^ N c'_n \ f ^ {(n)} (\ xi) = 0. $$

Nun können wir wie üblich den Ansatz $ f (\ xi) = e ^ {iz \ xi} $ erstellen und feststellen, dass die Differentialgleichung erfüllt ist, solange $ z $ eine Wurzel des charakteristischen Polynoms $ \ ist Summe \ Grenzen_ {n = 0} c_n '(iz) ^ n $. Unsere völlig willkürlich translatorisch invariante lineare PDE wird also "wellenartige Lösungen" haben, die sich mit jeder möglichen Geschwindigkeit bewegen!

Obwohl es nicht sehr technischer Natur ist, lohnt es sich, zur ersten Definition einer Welle zurückzukehren (dh derjenigen, die Sie verwenden, bevor Sie erfahren, dass "eine Welle eine Lösung ist" eine Wellengleichung "). Der Wortlaut, den ich in den Einführungskursen verwende, ist

eine Bewegungsstörung

wobei die 'Störung' in einer beliebigen messbaren Größe vorliegen darf und einfach bedeutet, dass die Größe von ihrem Gleichgewichtswert abweicht und dann zu diesem Wert zurückkehrt.

Das Überraschende ist nicht, wie allgemein dieser Ausdruck ist, sondern dass es notwendig ist, etwas so Allgemeines zu verwenden, um alle Grundfälle abzudecken: Wellen auf Saiten, Oberflächenwellen auf Flüssigkeiten: Schall und Licht.

Und nach dieser Definition wird die Schrödinger-Gleichung verwendet, um die sich bewegende Variation verschiedener Observablen zu beschreiben, die sich wohl qualifizieren.

Es gibt Raum zum Streiten - die Wellenfunktion selbst ist nicht beobachtbar, und selbst die Verteilungen von Werten, die beobachtet werden können sind oft statistischer Natur -, aber ich war immer damit vertraut dieser Ansatz.