Warum nicht berechnen?

Betrachten Sie eine Zeichenfolge mit der Länge $ L $ span>, deren Enden auf $ x = \ pm \ frac {L festgelegt sind } {2} $ span>. Nehmen wir zur Vereinfachung an, dass zum Zeitpunkt $ t = 0 $ span> die Zeichenfolge bei $ x = 0 $ "gezupft" wird span>, so dass die Saitenverschiebung relativ zu ihrer Gleichgewichtsposition gegeben ist durch $$ f (x) = A \ left | 1- \ frac {2x} {L} \ right |. $$ span>

Die stehenden Wellenlösungen für die Wellengleichung, die den Randbedingungen entsprechen, sind $$ \ psi_n (x) = \ cos \ left (\ frac {(n- \ frac {1} {2}) 2 \ pi x} {L} \ right) $ $ span> mit $ n \ ge1 $ span>, $ n = 1 $ span> entsprechend der Grundwelle $ n = 2 $ span> zur dritten Harmonischen, $ n = 3 $ span> zur fünften Harmonischen und so weiter. Beachten Sie, dass ich hier keine ungeraden Lösungen (gerade Harmonische) aufgenommen habe, da diese Modi nicht angeregt werden, da $ f (x) $ span> gerade ist.

Es ist eine einfache Übung zu zeigen, dass $ \ psi_n $ span> orthogonal sind: $$ \ int \ begrenzt _ {- L / 2} ^ {L / 2} \ psi_m (x) \ psi_n (x) dx = \ frac {L} {2} \ delta_ {mn} $$ span> Dabei ist $ \ delta_ {mn} $ span> das Kronecker-Delta. Wenn $$ f (x) = \ sum \ limit_ {m = 1} ^ \ infty a_m \ psi_m (x), $$ span> Multiplizieren mit $ \ psi_n $ span>, Integrieren und Verwenden der Orthogonalitätsrelationsausbeuten $$ a_n = \ frac {2} {L} \ int \ begrenzt _ {- L / 2} ^ {L / 2} f (x) \ psi_n (x) dx = \ frac {4A} {L} \ int \ border_ {0} ^ {L / 2} \ left (1- \ frac {2x} {L} \ right) \ cos \ left (\ frac {(n- \ frac {) 1} {2}) 2 \ pi x} {L} \ right) dx. $$ span> Auswertung des Integrals ergibt $$ a_n = \ frac {2A} {\ pi ^ 2 \ left (n- \ frac {1} {2} \ right) ^ 2}. \ tag {1} $ $ span> Die Amplitude der Harmonischen nimmt also ungefähr ab, wenn $ 1 / n ^ 2 $ span>.

Wenn Sie die Saite näher an den Enden zupfen, sinkt die Amplitude der Harmonischen langsamer, d. h. es gibt mehr "Obertöne". Insbesondere wenn der String einen Abstand $ \ ell $ span> von einem der Enden gezupft wird, sind die Amplituden $$ b_n = \ frac {2AL ^ 2} {\ pi ^ 2 \ ell (L- \ ell) n ^ 2} \ sin \ left (\ frac {n \ pi \ ell} {L} \ right) \ tag {2} $$ span> Dabei ist der Sinusfaktor für den langsameren Abfall von $ b_n $ span> verantwortlich, wenn $ \ ell $ span> klein ist. $ (2) $ span> ist allgemeiner als $ (1) $ span>, da es auch gültig ist, wenn die Zeichenfolge wird nicht in der Mitte gezupft und stimmt auch mit der normalen Auswahl einer Gitarrensaite überein.

Note: Die Bedeutung von $ n $ span> in $ b_n $ span> unterscheidet sich von zuvor: hier , $ n = 1 $ span> ist die Grundwelle, $ n = 2 $ span> ist die zweite Harmonische, $ n = 3 $ span> ist die dritte Harmonische und so weiter. Der Unterschied besteht darin, dass beim Zupfen der Saite in der Mitte die geraden Harmonischen nicht angeregt werden.

Was die Energieverteilung betrifft, so ist die Energie in der $ n $ span> -ten Harmonischen $$ E_n = \ frac {1} {4} M \ omega_n ^ 2b_n ^ 2 = \ frac {1} {4} M \ omega_1 ^ 2n ^ 2b_n ^ 2 $$ Dabei ist $ M $ span> die Gesamtmasse des Strings und $ \ omega_n = n \ omega_1 $ span> die Winkelfrequenz der $ n $ span> -ten Harmonischen.

Die Antwort hängt tatsächlich stark davon ab, wie Sie die Zeichenfolge zupfen.Wenn Sie es näher an der Mitte zupfen, geben Sie mehr Energie in die unteren Modi.Zupfen Sie es an beiden Enden, und Sie haben mehr höhere Harmonische.

Und dann gibt es die Obertontechniken, die absichtlich niedrigere Harmonische unterdrücken und nur höhere Harmonische zurücklassen.

Es ist eine einfache Energieeinsparung.Mit zunehmender Harmonischer nimmt die Schwingungsfrequenz der Saite zu.Wir wissen, dass jedes Teilchen in der Kette eine einfache harmonische Bewegung mit Energie ausführt: $ e = \ frac {1} {2} m {\ omega} ^ 2A ^ 2 $ span>

Wir haben eine kontinuierliche Verteilung solcher oszillierenden Massen, die jeweils mit unterschiedlichen Amplituden oszillieren.Ihre Integration würde die Gesamtenergie ergeben, und natürlich würde auch dies von der Frequenz abhängen.

Da das Gerät, mit dem wir die Saite schwingen, eine feste Energie liefert, sollte die Amplitude mit zunehmender Harmonischer abfallen.

Eine einfache Antwort: Die Gesamtenergie der Schwingung muss endlich sein.

Da wir unendlich viele mögliche Schwingungsmodi haben (nicht nur Harmonische, sondern beginnen wir mit ihnen), müssen Sie die Energie auf wenige verteilen (um überhaupt etwas zu hören), und Sie erhaltenImmer weniger Energie bleibt für höhere übrig.

p.s.Sie erhalten nicht immer die maximale Amplitude für die Grundfrequenz, dies hängt von vielen Faktoren ab und es gibt Techniken zum Ändern des harmonischen Inhalts des Tons für die meisten Saiteninstrumente.Es gibt jedoch immer noch wenige Vibrationsmodi, die den größten Teil der Energie verbrauchen.

Wie es in der Physik häufig der Fall ist, wird die Saite bei der Beschreibung der Eigenschaften der Saitenschwingung stets als idealisierte Saite behandelt. Unter diesen Idealisierungen: Die Saite wird als unendlich biegbar behandelt. Für die unteren Harmonischen ist der durch diese Vereinfachung verursachte Fehler akzeptabel klein

Diese Vereinfachung schlägt für höhere Harmonische fehl.
Bei einer Gitarre kann die niedrigste harmonische Schwingung bis zu einer Amplitude von einigen Millimetern oder so reichen. Stellen Sie sich nun einen Abschnitt der Gitarrensaite vor, der beispielsweise auf 1/16 der Gesamtlänge zwischen der Brücke und der Mutter geschnitten ist. Ein so kurzer Abschnitt der Saite ist ziemlich steif, die elastischen Eigenschaften ähneln eher denen eines Stocks als denen einer idealisierten Saite. Während es möglich ist, die 16. Harmonische anzuregen, ist die Amplitude, die Sie anregen können, begrenzt.

Also: Selbst wenn Ihr Saitenzupfen sehr nahe an der Brücke liegt, fließt nicht viel Energie in aufregende höhere Harmonische. Die Zeichenfolge ist dafür nicht biegbar genug.

Als Musiker scheint die Antwort offensichtlich.Ich kann es beobachten, wenn ich Gitarre spiele.

Wenn Sie eine offene Zeichenfolge zupfen, sieht die total-Verschiebung folgendermaßen aus.

Wenn Sie mit equal energy eine zweite Harmonische zupfen, müssen Sie beide Seiten der Saite verschieben.Die Gesamtverschiebung bleibt ungefähr gleich.

P.S.Ich warte jetzt auf die Physiker, die in mich eindringen!

Nun, das liegt daran, dass die Frequenz der Vibration von der Länge der Saite und der Spannung in der Saite abhängt. Wenn Sie Ihr Gerät haben, ist Ihnen so gut wie garantiert, dass Sie einen großen Frequenzbereich haben und der Rest alle einen kleinenKomponenten mit geringeren Amplituden aufgrund der Art und Weise, wie die Wellenschwingung zerlegt wird.