Lassen Sie mich nur ein paar Dinge zu dem hinzufügen, was bereits erwähnt wurde. Ich denke, dass die beste Quelle für QFT für Mathematiker die beiden IAS-Bände sind. Aber da diese ziemlich lang sind und einige Teile für Mathematiker nicht einfach sind (ich habe ein wenig daran teilgenommen, diese aufzuschreiben, und ich weiß, dass sie größtenteils von Leuten geschrieben wurden, die zu der Zeit nicht gut verstanden haben, worüber sie geschrieben haben), also wenn Wenn Sie das Thema wirklich auf mathematische Weise verstehen möchten, würde ich die folgende Reihenfolge vorschlagen:

1) Stellen Sie sicher, dass Sie die Quantenmechanik gut verstehen (es gibt viele mathematische Einführungen in die Quantenmechanik, die mir besonders gefällt ist das Buch von Faddeev und Yakubovsky http://www.amazon.com/Lectures-Mechanics-Mathematics-Students-Mathematical/dp/082184699X)

2) Verstehen Sie sich Worum geht es in der Quantenfeldtheorie (mathematisch)? Die Quelle, die mir hier gefällt, sind die Wightman-Axiome (als etwas, das Sie sich vielleicht in QFT wünschen, das aber fast nie gilt), wie es im 2. Band des Buches von Reed und Simon zur Funktionsanalyse vorgestellt wird; Für eine etwas gründlichere Diskussion schauen Sie sich Kazhdans Vorlesungen in den IAS-Bänden an.

3) Verstehen Sie, wie die zweidimensionale konforme Feldtheorie funktioniert. Wenn Sie eine elementarere und analytischere (und "physischere") Einführung wünschen, schauen Sie sich die Vorlesungen von Gawedzki in den IAS-Bänden an. Wenn Sie etwas Algebraischeres wünschen, lesen Sie die Notizen von Gaitsgory an derselben Stelle.

4) Studieren Sie die störende QFT (Feynmann-Diagramme): Dies ist in IAS-Bänden gut abgedeckt (für einen Mathematiker würde ein Physiker benötigen viel mehr Übung als das, was dort gemacht wird), aber an Ort und Stelle erinnere ich mich nicht genau, wo (sollte aber leicht zu finden sein).

5) Versuchen Sie zu verstehen, wie supersymmetrische Quantenfeldtheorien Arbeit. Dieses Fach ist für Mathematiker am schwierigsten, aber es ist auch die Quelle der meisten Anwendungen für die Mathematik. Dies wird in Wittens Vorlesungen im 2. IAS-Band besprochen (es gibt ungefähr 20 davon, glaube ich), und dies ist wirklich nicht einfach - zum Beispiel erfordert es gute Kenntnisse einiger Aspekte der superdifferenziellen Geometrie (die dort ebenfalls diskutiert werden). Das ist ein rein mathematisches Fach, aber es gibt nur sehr wenige Mathematiker, die es wissen.

Es gibt nicht viele Mathematiker, die all dies durchgemacht haben, aber wenn Sie wirklich in der Lage sein wollen, mit Physikern zu sprechen, denke ich so etwas wie das obige Schema ist notwendig (übrigens: Ich habe die Stringtheorie nicht in meine Liste aufgenommen - dies ist ein zusätzliches Thema; es gibt eine gute Einführung in D'Hokers Vorlesungen in den IAS-Bänden).

Bearbeiten: Wenn Sie eine rein mathematische Einführung in die topologische Feldtheorie wünschen, können Sie außerdem Segals Notizen lesen http://web.archive.org/web/20000901075112/http://www. cgtp.duke.edu/ITP99/segal/; dies ist eine sehr leicht zugängliche (und angenehme) Lektüre! Ein moderner (und technisch viel schwierigerer) mathematischer Ansatz für dasselbe Thema wird von Jacob Lurie http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/cobordism.pdf entwickelt (es gibt keinen physikalische Motivation in diesem Artikel, aber mathematisch gesehen ist dies wahrscheinlich der richtige Weg, um über topologische Feldtheorien nachzudenken.

Wenn Sie Mathematiker sind und QFT verstehen möchten, müssen Sie sich früher oder später mit der Renormierung auseinandersetzen. Ihr Leben wird einfacher, wenn Sie von Anfang an verstehen, dass die Philosophie der effektiven Feldtheorie nach Wilson-Weinberg usw. das wesentliche Organisationsprinzip für das gesamte Fach ist. Insbesondere müssen Sie es wissen, um die Intuition hinter den bestehenden strengen Konstruktionen von QFTs verstehen zu können. Leider sind die Erklärungen zur Renormierung in den Teilchenphysik-orientierten Lehrbüchern, die Mathematiker oft zuerst konsultieren, nicht so gut.

Vielleicht kann ich ein wenig Motivation geben, bevor ich sie zur Liste der empfohlenen Lektüre hinzufüge. P. >

In einem System mit unendlich vielen Freiheitsgraden (wie der Feldtheorie in einer Raumzeit mit einer Dimension von mindestens 2) müssen Sie die Freiheitsgrade irgendwie organisieren, bevor Sie überhaupt darüber sprechen können, wie sie interagieren. In QFT organisieren wir die Freiheitsgrade häufig, indem wir fragen, wie groß sie im Vergleich zu einer festen Entfernungsskala sind. (Die Fourier-Zerlegung des elektromagnetischen Feldes ist ein Beispiel dafür. Wir betrachten das elektromagnetische Feld als eine Summe von Sin / Cos-Wellen verschiedener Wellenlängen.) Wenn wir also über eine Feldtheorie sprechen, denken wir wirklich an a Folge von Approximationen, die mit einer Reihe von Freiheitsgraden beginnt, deren charakteristische Skala mit der Referenzskala vergleichbar ist, und dann systematisch neue hinzufügt, deren charakteristische Skalen weiter von unserer Referenzskala entfernt sind.

Die Grundidee der Philosophie der effektiven Feldtheorie ist, dass wir, anstatt die Freiheitsgrade, die wir in der Nähe der Referenzskala verwenden, als diejenigen zu betrachten, die verbleiben, wenn wir alle anderen wegwerfen, an diese Grade von denken sollten Freiheit als ungefähre "effektive" Beschreibung des Systems, das wir erhalten, indem wir diese anderen Freiheitsgrade mitteln . Wenn Sie diesen Standpunkt vertreten, werden Sie häufig feststellen, dass die Freiheitsgrade auf der Referenzskala denen ähneln, die wir durch blindes Ignorieren der Freiheitsgrade mit kürzeren Entfernungen erhalten hätten, und dass ihre Wechselwirkungen dieselbe Grundform haben, außer dass die Kopplungskonstanten alle unterschiedlich sind. Das Renormierungsverfahren, das in der gesamten QFT angezeigt wird, befasst sich mit der Berechnung, wie Wechselwirkungen zwischen den Freiheitsgraden auf der Referenzskala im Hinblick auf die Wechselwirkungen zwischen den Freiheitsgraden bestimmt werden, die für kürzere Entfernungen geeignet sind, insbesondere um herauszufinden, welche Wechselwirkungen stärker werden und welche schwächer.

Diese Philosophie hat ihren Ursprung in der statistischen Mechanik, dem oft vernachlässigten dritten Bein des QFT-Stuhls. (Das Pfadintegral von QFT hängt eng mit den Partitionsfunktionsberechnungen zusammen, die in der statistischen Mechanik von Feldsystemen angezeigt werden.) Wenn Sie QFT verstehen möchten, müssen Sie QM, Relativitätstheorie und statistischen Mechanismus untersuchen. Der statistische Mechanismus ist nicht wirklich optional.

Einige Referenzen:

• Tim Hollowoods "Cutoffs & Continuum Limits: Ein Wilsonscher Ansatz zur Feldtheorie" ist ein Hervorragende Einführung.

• Kerson Huangs Statistische Mechanik hat eine gute Behandlung des Ising-Modells, das so ziemlich das Ur-Beispiel des Themas ist.

• Zinn-Justins QFT & Critical Phenomena arbeitet diese Ideen sehr detailliert durch.

• David Brydges "Lectures on the Renormalization Group" im IAS / Park City-Band Statistical Mechanics ist ziemlich gut.

• Battle's "Wavelets & Renormalization" führt eine gründliche und mathematisch strenge Behandlung des euklidischen Pfadintegrals für die 3D-Skalarfeldtheorie durch, ganz im Sinne der Renormalisierungsphilosophie.

• Glimm & Jaffes "Quantenphysik: Ein funktionaler integraler Gesichtspunkt" erklärt viele mathematische Maschinen wie Kernräume und Zylindermaße, mit denen die effektive feldtheoretische Idee mathematisch umgesetzt werden kann präzise und verwendet diese Maschinerie, um 2D-Skalarfeldtheorien zu konstruieren und einige nicht triviale Fakten über sie zu beweisen.

Diese Frage hat zwei Aspekte:

1) Welche Quellen versuchen, die übliche vage und spekulative Physikgeschichte so zu kommunizieren, dass Mathematiker sie eher zu schätzen wissen?

2) Welche Quellen versuchen, eine tatsächliche mathematische Behandlung von QFT zu geben, die der Mathematik gerecht wird?

Zum ersten Mal Deligne et al. Quantenfelder und Strings ist wahrscheinlich die beste Antwort, die es bisher gibt.

Aber auch zu der zweiten Frage gibt es viel zu sagen. In den letzten Jahren wurden hier große Fortschritte erzielt. In diesem Dezember (2011) erscheint ein AMS-Band, in dem Umfragen und Originalartikel zu diesem Thema gesammelt werden:

Sati, Schreiber (Hrsg.) Mathematische Grundlagen der Quantenfeldtheorie und der störenden Stringtheorie AMS (2011) Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Band: 83.

Die Einführung mit weiteren Links finden Sie unter arXiv: 1109.0955

[Bearbeiten: In Anbetracht der folgenden Diskussion sollte ich sagen, dass ich überhaupt nicht abwertend "vage und spekulativ" meine. Es ist nur eine Tatsache, dass aus mathematischer Sicht ein Großteil der Physik, sicherlich ein Großteil der Quantenfeldtheorie und der Stringtheorie, so gut etabliert und robust sie auch sein mögen, vage und spekulativ ist. Um ein Gefühl für die Wahrheit zu bekommen, kann es hilfreich sein, zu einem reinen Mathematiker zu gehen, der daran interessiert ist, etwas über das Thema zu lernen, aber keinen Hintergrund hat, und zu versuchen, ihn oder sie zu unterrichten. Daraus lernt man, dass viele Texte von Physikern, die behaupten, "für Mathematiker" zu sein, dies tatsächlich nicht sind. Es gibt eine ziemliche Distanz zwischen einem mathematisch bewussten theoretischen Physiker und einem reinen Mathematiker ohne Hintergrund in der üblichen Physikgeschichte. Viele Physiker sind sich dieser Entfernung nicht bewusst.]

Moshe hat bereits viele Punkte angesprochen. Vielleicht interessiert Sie Follands Quantenfeldtheorie: ein Reiseführer für Mathematiker. Er versucht, so viele Dinge wie möglich auf mathematisch strenge Weise zu tun, und weist auf die Punkte hin, an denen dies nicht möglich ist.

Was den mathematischen Hintergrund betrifft: eine gewisse Vertrautheit mit partiellen Differentialgleichungen und der Theorie der Verteilungen wird bequem sein.

Dies betrifft die "konventionelle" Quantenfeldtheorie. Sie könnten auch an der topologischen Quantenfeldtheorie interessiert sein, die viel eher mathematischer Natur ist.

QFT ist ein großes Fach, das einem Großteil der modernen theoretischen Physik zugrunde liegt. Ich denke, im Großen und Ganzen war die Mathematik-Community an speziellen einfachen Fällen interessiert (z. B. topologische oder rationale QFT), daher ist die Standard-Einschränkung bezüglich des sprichwörtlichen Elefanten hier sehr relevant.

Eine gute Umfrage ist die eine Jahreskurs im IAS für Mathematiker, der viel Boden abdeckt. Es gibt ein zweibändiges Buch, das nicht nur für Mathematiker nützlich ist, und eine Website: http://www.math.ias.edu/qft. Auf diese Weise erhalten Sie einen Überblick über die zentralen Themen und (je nachdem, woran Sie interessiert sind) über den erforderlichen Hintergrund.

Bei Versuchen, die allgemeine QFT zu formalisieren, gibt es viele. Da in der modernen (post-wlison) Behandlung des Subjekts die bestimmenden Eigenschaften von QFT alle mit dem Renormierungsprozess zu tun haben, habe ich hier eine entsprechende Frage gestellt Formalisierung der Quantenfeldtheorie. Die Antworten geben Ihnen möglicherweise einen Eindruck davon, was an dieser Front da draußen ist.

Zusätzlich zu diesen großartigen Antworten möchte ich die Bücher

1. Eine mathematische Einführung in die konforme Feldtheorie von M. Schottenloher
empfehlen
2. Supersymmetrie für Mathematiker: Eine Einführung von VS Varadarajan
3. Spiegelsymmetrie von C. Vafa, E. Zaslow, et. al
4. Einige Physik für Mathematiker von L. Gross

Das erste Buch entwickelt einige der für CFTs erforderlichen Analysen (Kapitel 8) als sowie die Theorie der konformen Verdichtung (Kapitel 1, 2) und die Theorie der Witt- und Virosoro-Algebren (Kapitel 4-6). Das Buch endet mit einer Diskussion der Fusionsregeln und der formalen Konstruktion einer CFT (ausgehend von etwas Analogem zu den Wightman-Axiomen). Ich glaube, dass Schottenloher ein Analytiker ist, so dass Sie aus diesem Buch ein analytischeres Gefühl gewinnen können [lesen: einige funktionale Analysen und grundlegende Darstellungstheorien kennen].

Das zweite Buch wurde aus der Perspektive von jemandem geschrieben, der ist ein funktionaler Analytiker mit einem starken Hintergrund in der Darstellungstheorie. Die ersten beiden Kapitel enthalten eine anständige mathematische Einführung in QFT sowie einige der repräsentationstheoretischeren Ergebnisse, die man vielleicht interessant findet. Der Autor führt auch einige der algebraischen Geometrien ein, die man in einer formalen Analyse von QFT finden könnte (was natürlich in Quantum Fields and Strings in seiner vollen Pracht erläutert wird.

The Das dritte Buch stammt von einer Sommerschule für Mathematik- und Physikstudenten. Als solches führt es eine Vielzahl von Themen ein und bietet eine etwas formale Einführung in QFT.

Schließlich sind die Vorlesungsunterlagen aus Leonard Gross 'Klasse zur Quantenfeldtheorie eine gute formale Einführung für Mathematiker mit a) analytischem Hintergrund und b) keiner Physik, die größer ist als die klassische Mechanik. Es ist ein leicht zu lesender Satz von Notizen mit guten historischen Referenzen. Während ich sowohl Physik als auch Mathematik studierte, fand ich, dass diese Notizen meine Lieblingsreferenz für QFT sind (vielleicht weil ich Analyse und Differentialgeometrie der Algebra und der algebraischen Geometrie vorziehe).

Wenn Sie nach etwas Einfacherem und Pädagogischerem suchen, sollten Sie sich das wunderbare Buch von Baez und Muniain mit dem Titel Messfelder, Knoten und Schwerkraft ansehen. Dieses Buch entwickelt den mathematischen Formalismus der Eichentheorie auf freundliche und unterhaltsame Weise und erfordert nur sehr wenig Hintergrund zum Lesen. Wenn Sie etwas über die physikalischen Aspekte der Quantenfeldtheorie lernen möchten, möchten Sie vielleicht woanders suchen, aber dieses Buch bietet eine völlig eigenständige mathematische Einführung in die Chern-Simons-Theorie, eine Quantenfeldtheorie mit wichtigen Anwendungen in der reinen Mathematik.

Ein weiteres sehr freundliches Buch über Quantenfeldtheorie für Mathematiker sind Frobenius-Algebren und 2D-topologische Quantenfeldtheorien von J. Kock. Dies ist ein guter Ausgangspunkt, wenn Sie die jüngsten Arbeiten von Jacob Lurie zur Klassifizierung topologischer Quantenfeldtheorien studieren möchten. Das einzige Problem mit diesem Buch ist, dass es nicht viel darüber aussagt, wie Quantenfeldtheorien verwendet werden, um Invarianten topologischer Räume zu berechnen. Ich denke daher, dass es am besten ist, dieses Buch mit etwas anderem zu ergänzen - vielleicht dem klassischen Papier von Atiyah.

Dies sollte ein Kommentar sein, keine Antwort, aber ich habe nicht genug Ruf. Grundsätzlich habe ich einen Master in Mathematik (reine Mathematik) gemacht, dann einen Master in Physik (QFT), dann einen Doktortitel in Mathematik (reine, algebraische Geometrie). Also musste ich mich mit dem Problem auseinandersetzen, das Sie zu lösen versuchen. Ich denke, es wird schwierig sein, eine gute Antwort zu erhalten, da Sie nicht angeben, aus welchem ​​Grund Sie QFT lernen möchten. Einige Kommentare dann:

Wenn Sie aus mathematischer Sicht an Dingen wie Seiberg-Witten-Gleichungen arbeiten wollen, dann nehme ich an, dass das Buch Baez und Muniain Gauge Fields, Knots and Gravity heißt. strong> (oben von Bob Jones erwähnt) ist großartig, da Sie die Dinge sowieso nicht quantisieren müssen.

Wenn Sie tatsächlich ein Verständnis für das Thema erhalten möchten, das die physikalische Perspektive enthält (was ich versucht habe), dann schlage ich vor, einen physikalischen Hintergrund zu entwickeln. Daher schlage ich vor, das Buch Sakurai in Quantenmechanik (das aus meiner reinen mathematischen Zeit ein gutes Buch war) zusammen mit Büchern für Laien zu lesen: Feynman QED und Weinbergs Die Entdeckung subatomarer Partikel . Ich habe diese Bücher mit Peskin und Schröders Einführung in die Quantenfeldtheorie verwendet.

Eigentlich habe ich versucht, gleichzeitig einen "mathematisch präziseren" Ansatz für QFT zu verfolgen - aber am Ende dachte ich, dies sei schwieriger als der physikalische Ansatz -, weil ich denke, dass Sie am Ende Geld ausgeben eine enorme Menge an Zeit, um irgendwohin zu gelangen und das Risiko einzugehen, in einem Haufen mathematischen Formalismus begraben zu werden, bevor einfache Berechnungen durchgeführt werden können.

Ein letzter Kommentar. Nach meiner Erfahrung war es großartig, mit Physikern zu sprechen (sie sind eher gesprächig und erzählen mehr Geschichten über ihr Fach als Mathematiker). Daher glaube ich, dass es sehr profitabel ist, während des QFT-Studiums mit einer Gruppe von Physikstudenten / -professoren zusammen zu sein.

Als Amateur-Mathematiker fand ich Franz Mandl & Graham Shaws Quantenfeldtheorie eine schnelle und prägnante Einführung. Man muss jedoch zuvor einige Quantenmechaniken behandelt haben. Das Buch wurde mir ursprünglich empfohlen.

Eine gute Einführung ist "Quantenfeldtheorie für Mathematiker" von Ticciati. Es ist großartig in dem Sinne, dass es ziemlich streng und in sich geschlossen ist und dennoch ziemlich breit in seiner Präsentation.

Eine etwas engagiertere und langwierigere Präsentation mit spezifischen Themen ist "Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematiker ". Dies ist ein 2-bändiges Set mit Vorträgen von Fachleuten. Ziemlich technisch.

Diese Antwort enthält einige zusätzliche Ressourcen, die nützlich sein können. Bitte beachten Sie, dass Antworten, die lediglich Ressourcen auflisten, aber keine Details enthalten, durch die Richtlinien der Website zu Fragen zu Ressourcenempfehlungen dringend empfohlen werden. Diese Antwort enthält zusätzliche Links, die noch keinen Kommentar enthalten.

• Kevin Costello, ein Mathematiker, hat ein Buch über Quantenfeldtheorie geschrieben insbesondere die störenden Aspekte. Das Buch war früher auf seiner Webseite verfügbar, wurde aber jetzt vom AMS veröffentlicht. Sie finden die Links auf seiner Webseite, auf die ich oben verlinkt habe.
• E. Zeidler schreibt eine 6-bändige Abhandlung unter dem allgemeinen Titel "Quantenfeldtheorie: Eine Brücke zwischen Mathematikern und Physikern". Bisher sind 3 Bände erschienen und auch über springerlink.com erhältlich (sofern man das richtige Abonnement hat). Diese Arbeit ist für einen Mathematiker leicht zugänglich.
• Eine hervorragende Einführung in die Mathematik von QFT, die wirklich ein Lehrbuch ist (das beispielsweise als Hilfsmaterial für einen Mathematikkurs im ersten oder zweiten Jahr dienen kann), ist "Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie, eine mathematische Grundierung" von Jonathan Dimock, Cambridge University Press, 2011.

• Für Supersymmetrie (was, wie Alexander Braverman zu Recht sagte, ist am wichtigsten für mathematische Anwendungen), das Buch von Dan Freed ["Fünf Vorlesungen über Supersymmetrie".] [3]

• Quantenfeldtheorie (Mathematische Vermessungen und Monographien) von Folland

• Der Weg zur Realität: eine vollständige Anleitung zu den Gesetzen des Universums

Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie: Eine mathematische Grundierung

• Mathematische Aspekte der Quantenfeldtheorie (Cambridge Studies in Advanced Mathematics

• QFT - Von Prof. CN Yang & Prof. Kenneth Young ( youtube)
• QFT - Von Sidney Coleman ( Vorlesungsnotizen)
• QFT - Von David Tong ( Vorlesungsnotizen)

Links zum Austausch von Physikstapeln:

• Formalisierung der Quantenfeldtheorie;

• Strenge in der Quantenfeldtheorie;

• CFTs und Formalisierung der Quantenfeldtheorie