Wie von SchrodingersCat erklärt, ist die mathematische Arbeit proportional zum Skalarprodukt von Kraft und Linienelement. Daher tragen Kräfte, die senkrecht zum Pfad wirken, nicht zur Arbeit bei.

Nun möchten Sie vielleicht fragen, warum Arbeit so definiert ist. Ich möchte diese Definition anhand Ihres Beispiels für den Mond rechtfertigen.

In der Physik ist die Arbeit eng mit der Energie verbunden: Grundsätzlich wenn Sie die Energie eines Objekts ändern möchten, müssen Sie an it arbeiten. Im Fall des Mondes gibt es nun zwei relevante Energien: (1) kinetische Energie des Mondes, bezogen auf die Größe (aber nicht die Richtung) der Mondgeschwindigkeit, d. H. Seine Geschwindigkeit; und (2) Gravitationsenergie in Bezug auf die Position des Mondes im Gravitationsfeld der Erde; Dieser hängt von der Entfernung zwischen Mond und Erde ab.

Für (1) sollte die senkrechte Kraft nicht in die Arbeitsgleichung eingehen, da senkrechte Kräfte die Größe der Geschwindigkeit (nur ihre Richtung) nicht ändern (da sie nicht zur Energieänderung beiträgt).

Wenn Sie für (2) den Mond immer senkrecht zur Richtung der Gravitationskraft verschieben, bleiben Sie in der gleichen Entfernung, d. h. in der gleichen potentiellen Gravitationsenergie. Daher ändern solche senkrechten Verschiebungen die Energie nicht und sollten nicht in den Ausdruck für Arbeit eingehen.

Tatsächlich wurde work oder "Arbeit", wie wir es in der Physik meinen , mathematisch definiert als $$ W = \ int_ {x_1} ^ {x_2} \ vec F \ cdot d \ vec{s} $$ Wenn also $ \ vec {F} $ und $ d \ vec {s} $ orthogonale Vektoren sind, dh der Winkel zwischen den Vektoren $ 90 ^ \ circ $ beträgt, wird gemäß der obigen Formel keine Arbeit geleistet, physisch ;in diesem Fall von der Erde auf dem Mond.

Wie @SchrodingersCat erklärte, wird das System nicht bearbeitet, wenn die Kraft orthogonal zur Verschiebung ist. Ich möchte die Antwort jedoch noch etwas näher erläutern.

Welche physikalische Bedeutung hat die Darstellung der Arbeit an einem Körper durch das Punktprodukt aus Kraft und Verschiebung des Objekts?

Ein Objekt kann sich auch ohne Kraft bewegen (Newtons erstes Gesetz sagt dies aus), die Bewegung ist jedoch nicht beschleunigt. Ein Körper könnte sich also verschieben, selbst wenn keine Kraft vorhanden ist. Wenn Sie klassische Mechanik studiert haben, haben Sie vielleicht gehört, dass es der lineare Impuls ist, der die Übersetzung erzeugt, nicht die Kraft.
Um zu sagen, dass eine Arbeit von einer Kraft auf das Objekt ausgeführt werden soll, sollte sie eine gewisse Auswirkung ^{[1] sup> ..... auf das Objekt haben, richtig? Jede dynamische Eigenschaft (wie in diesem Fall die Wirkung einer Kraft) wird durch eine Änderung der Positionskoordinate des Objekts (deren Reihenfolge je nach dynamischer Größe variiert) während der Zeit dargestellt, da die Position in der Dynamik etwas sehr Grundlegendes ist.
Wenn die Kraft einen gewissen Einfluss auf das Objekt hat (was natürlich eine Beschleunigung ist), trägt diese Kraft zu einer gewissen Verschiebung entlang der Richtung der ausgeübten Kraft bei (selbst wenn bereits eine Bewegung in eine andere Richtung vorliegt). In einem solchen Fall kann die Wirkung der Kraft auf den Körper gemessen werden, indem die Komponente der resultierenden (oder netto, wenn Sie darauf bestehen) Verschiebung entlang der Richtung der ausgeübten Kraft genommen wird. Die von einer Kraft geleistete Arbeit ist also definiert als das Produkt der ausgeübten Kraft mit der durch diese Kraft verursachten Verschiebungskomponente. Dies kann erreicht werden, indem das Punktprodukt der beiden Vektorkraft und der Nettoverschiebung genommen wird.}

Was bedeutet es also, dass keine Arbeit geleistet wird, wenn Kraft und Verschiebung orthogonal sind?

In der euklidischen Geometrie implizieren orthogonale Vektoren zueinander senkrechte Vektoren. Der eigentliche Sinn ist jedoch, dass die beiden Vektoren unabhängig sind. Dies bedeutet, dass eine keine gemeinsame Komponente mit der anderen hat, was gemäß den obigen Diskussionen besagt, dass ein Vektor keine Auswirkung auf den anderen hat. Die aufgetretene Verschiebung ist also nicht auf die gegebene Kraft zurückzuführen. Geometrisch ist dies nur möglich, wenn Kraft und Verschiebung senkrecht zueinander stehen, so dass ihr Punktprodukt verschwindet. Aus diesem Grund werden keine Arbeiten am System durchgeführt, wenn die aufgebrachte Kraft und die resultierende Verschiebung senkrecht sind.

Diese senkrechte Kraft könnte jedoch die Bewegungsrichtung des Körpers beeinflussen (da eine Kraft auf einen Körper ihn irgendwie beschleunigen sollte). Es ist also keine Arbeit erforderlich, um die Richtung eines Körpers zu ändern, obwohl dies nur durch eine Kraft geschieht. In einem solchen Fall gibt es keine Verschiebung aufgrund der ausgeübten Kraft, sondern nur eine Richtungsänderung, deren Wirkung durch das Drehmoment auf den Körper (das Rotationsanalogon der Kraft) definiert wird.

[1]: "Effekt" wird im vorliegenden Kontext verwendet, um alles zu implizieren, was zur Arbeit beitragen kann. Wir können nicht sagen, dass die Kraft keine Wirkung auf das Objekt hat. Es könnte den Körper beschleunigen, selbst wenn aufgrund dieser Kraft, die durch Ändern der Bewegungsrichtung erfolgt, keine Verschiebung stattgefunden hat.

Hintergrund

Das physikalische Grundprinzip in Bezug auf die Energie eines Systems besteht darin, dass sich die Energie ändert, wenn an dem System gearbeitet wird oder wenn das System an einem anderen System arbeitet. Die Arbeit kann die Gesamtenergie des Systems entweder erhöhen (positive Arbeit) oder verringern (negative Arbeit).

Kräfte sind die Agenten der Arbeit. Nur äußere Kräfte können die Gesamtenergie eines Systems verändern. Interne Kräfte bewirken einen Energieaustausch zwischen Teilen des Systems.

Betrachten wir ein System, den Mond (nur). Die Anziehungskraft der Erde kann auf das System wirken. Das würde die Gesamtenergie des Mondes ändern, was in diesem Fall einfach eine Änderung der kinetischen Energie wäre. Was bedeutet eine Änderung der kinetischen Energie? Dies bedeutet, dass sich der speed des Objekts geändert hat.

Der Mond

Wenn sich der Mond in einer Kreisbahn bewegt, ist die momentane Geschwindigkeit des Mondes immer senkrecht zur momentanen Beschleunigung. Entsprechend der (korrekten) Definition der Arbeit in anderen Antworten $$ W = \ int \ vec {F} \ cdot \ mathrm {d} \ vec {s}, $$ span> Die Arbeit ist Null.

Ihre Frage

Sie haben gefragt

Warum wird keine Arbeit geleistet, wenn die Stützkraft senkrecht zur Bewegung steht?

Das heißt, was ist das physikalische Verhalten, das besagt, dass die senkrechte Kraft die Energie nicht verändert?

Da die Änderung der Energie (durch geleistete Arbeit) eine Änderung der kinetischen Energie ist, ändert die Kraft must die Geschwindigkeit der Objekte im System. Beschleunigungen, die senkrecht zur momentanen Geschwindigkeit sind, ändern nur die Richtung, nicht die Geschwindigkeit. Um die Geschwindigkeit zu ändern, muss eine Beschleunigungskomponente vorhanden sein, die nicht senkrecht ist.

Abgesehen von potenzieller Energie

Potenzielle Energie ist eine Systemenergie.Wenn Ihr System nur der Mond ist, gibt es keine potentielle Gravitationsenergie.Wenn Ihr System die Erde und der Mond ist, kann man die Gravitationsenergie aufgrund der Wechselwirkung der beiden berücksichtigen.Bei der Berücksichtigung der Arbeit handelt es sich jedoch um eine Entweder-Oder-Situation: Entweder messen Sie die Energie als Summe aus Kinetik und Potenzial, oder Sie betrachten nur die Kinetik als modifiziert durch die Arbeit, die durch die Gravitationswechselwirkung geleistet wird.Sie können nicht beide gleichzeitig zählen, da eine potenzielle Energieänderung als das Negativ der Arbeit einer konservativen Kraft (in diesem Fall der Gravitation) definiert wird, wenn sich die relativen Positionen der interagierenden Objekte ändern.

Wie andere bereits erwähnt haben, arbeiten Sie (in 3D) an einem System, das als Punktprodukt zwischen der Kraft auf das System und seiner Verschiebung definiert ist.Wenn sie senkrecht stehen, wird keine Arbeit geleistet.

In Bezug auf die Intuition bedeutet dies, dass die Kraft das System (in Ihrem Fall den Mond) "umleitet", jedoch so, dass einige der Partikel beschleunigt und andere bei der Umleitung verlangsamt werdenDas Nettoergebnis ist, dass die Gesamtenergie des Mondes dieselbe ist wie früher.Der Mond ist gezwungen, sich kreisförmig zu bewegen, aber so, dass seine Energie an jedem Punkt gleich bleibt (zumindest in dem extrem einfachen Modell, das Sie annehmen).

Ich sehe, dass die meisten Poster diese Frage im Sinne der üblichen Definition von Arbeit beantwortet haben. Das ist soweit in Ordnung, aber für viele Menschen scheint die Definition von Arbeit in erster Linie etwas willkürlich zu sein.

Eine Alternative wäre die Behandlung des Arbeitsenergiesatzes $$ W_ \ text {net} = \ Delta T \ ;, $$ (mit $ T $ die kinetische Energie) als erwartetes Verhalten (weil es ein wesentlicher Bestandteil beim Aufbau des Erhaltungsgesetzes aus Newtonschen Prinzipien ist und das Erhaltungsprinzip so nützlich ist) und verwenden Sie dieses, um die Form abzuleiten, die die Arbeit annehmen muss, und damit den Grund aufzuzeigen für das Skalarprodukt.

Was folgt, ist nur eine Übersicht.

• Die geradlinige Version gibt uns $ W_ \ parallel = F_ \ text {net} \, \ Delta x $.
• Eine gleichmäßige Kreisbewegung zeigt uns, dass die Geschwindigkeit (und damit die kinetische Energie) nicht durch Kräfte senkrecht zur Bewegungsrichtung verändert wird. Das ist $ W_ \ perp = 0 $.
• Wir können dann jede Nettokraft in ihre parallelen und senkrechten Komponenten aufteilen und feststellen, dass die Arbeit vollständig von der parallelen stammt, so dass das Schreiben der Arbeit in Bezug auf das Skalarprodukt ein natürlicher Schritt wird.

Dies führt uns auch zum physikalischen Hauptinhalt dieser Definition: Kräfte, die senkrecht zur Bewegungsrichtung wirken, verändern nicht die Geschwindigkeit des Objekts und unterscheiden sich auf diese Weise von Kräften, die entlang (oder gegen) die Richtung von angewendet werden Bewegung.

Auf einem höheren Niveau würde man den Satz von Noether als Postulat verwenden und von dort aus arbeiten.

Ich denke du hast recht @Shrodingers Katze.Es wäre besser, die Antwort auf diese Weise zu klären.

Arbeit erledigt (w) = F.d

  = F d Cos θ
 

W = F x d x Cos 90

  = F x d x 0 = 0 Joule.
 

Wenn die Kraft also senkrecht auf die Oberfläche ausgeübt wird, ist die geleistete Arbeit Null.

Wie andere bereits erklärt haben. Nun, its, weil es keine Verschiebung in Richtung der Gravitationskraft gibt. Es wird angenommen, dass die Umlaufbahn während unserer Beobachtung gleich bleibt. Die Erde zieht den Mond in Richtung Zentrum, aber der Mond bewegt sich in einer kreisförmigen Umlaufbahn ohne Verschiebung in Richtung Zentrum.

Eine einfache Analogie ist ein Block, der aus einer bestimmten Höhe freigegeben wird. Jetzt, wo es herunterfällt, wirkt die Gravitationskraft darauf, indem es es über eine Distanz nach unten zieht und seine kinetische Energie erhöht. Nehmen wir nun an, Sie wenden beim Abwärtsbewegen eine konstante horizontale Kraft nach rechts an. Jetzt bewegt sich der Block aufgrund der resultierenden Kraft aufgrund der beiden Kräfte schräg. Wenn wir nun die horizontale Bewegung betrachten, ist die Gravitationskraft nicht die Ursache dafür, sondern einfach Ihre Hand. Ihre Hand arbeitet also für die horizontale Verschiebung, nicht für die vertikale, die durch die Schwerkraft erfolgt.

Im Fall des Mondes ist die Gravitationskraft der Erde also nicht die Ursache dafür, warum sie sich in einem Kreis bewegt, sondern liefert nur die notwendige Zentripetalkraft, und die Zentripetalkraft bewirkt keinerlei Verschiebung zum Mond.

Wenn Sie an einem mathematischeren Ansatz interessiert sind, kann dies tatsächlich vollständig anhand der Geometrie bewiesen werden. Um dies zu beweisen, müssen Sie einige Dinge über Vektoren wissen.

Wenn $ \ vec v = (v_x, v_y, v_z) $ der Geschwindigkeitsvektor des Mondes ist, repräsentieren $ v_x $, $ v_y $ und $ v_z $ die Komponenten der Geschwindigkeit in x-, y- und z-Richtung .

Sie können die Geschwindigkeit des Mondes berechnen, indem Sie die Länge des Geschwindigkeitsvektors berechnen $$ v = | v | = \ sqrt {v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2} $$ Wenn Sie die Länge quadrieren, erhalten Sie $ v ^ 2 = v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2 $, die ich später verwenden werde. Zuletzt wird das Punktprodukt zwischen zwei Vektoren definiert als $$ \ vec a \ cdot \ vec b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = | a || b | \ cos \ alpha $$ $ \ alpha $ ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren. Dies bedeutet, dass das Punktprodukt Null ist, wenn die beiden Vektoren senkrecht sind

Proof

Wenn auf dem Mond keine Arbeit geleistet wird, muss die kinetische Energie konstant sein. Die Ableitung der kinetischen Energie muss also Null sein. Wir nehmen also die Ableitung, indem wir unsere $ v ^ 2 $ -Substitution anwenden und die Konstanten aus der Ableitung herausnehmen. $$ \ frac {dKE} {dt} = \ frac {d} {dt} (\ tfrac {1} {2} mv ^ 2) = \ tfrac {1} {2} m \ cdot \ frac {d} { dt} (v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2) $$ Wenden Sie dann die Kettenregel auf jede der Komponenten an. $$ \ frac {d} {dt} (v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2) = 2v_x \ frac {dv_x} {dt} + 2v_y \ frac {dv_y} {dt} + 2v_z \ frac {dv_z} {dt} = 2v_xa_x + 2v_ya_y + 2v_za_z $$ In dem wir das Punktprodukt erkennen: $$ \ frac {d} {dt} v ^ 2 = 2 \ vec v \ cdot \ vec a $$ So wird die Ableitung der kinetischen Energie $$ \ frac {dKE} {dt} = m \ vec v \ cdot \ vec a $$

Wenn die Umlaufbahn kreisförmig ist, ist die Geschwindigkeit immer senkrecht zur Beschleunigung (und zur Kraft). Die kinetische Energie ändert sich also nicht und auf dem Mond wird keine Arbeit geleistet.