Der richtige Weg, darüber nachzudenken, ist, dass über 5.730 Jahre jedes einzelne Kohlenstoff-14-Atom eine 50% ige Chance hat, zu zerfallen . Da eine typische Probe eine große Anzahl von Atomen ^{1 sup> aufweist und sie mehr oder weniger unabhängig 2 sup> zerfallen, können wir statistisch mit a sagen Sehr hohe Genauigkeit, dass nach 5.730 Jahren die Hälfte aller ursprünglichen Kohlenstoff-14-Atome zerfallen ist, während der Rest noch übrig ist.}

Um Ihre nächste natürliche Frage zu beantworten, nein, dies bedeutet nicht, dass die verbleibenden Kohlenstoff-14-Atome wären "kurz vor dem Zerfall". Im Allgemeinen haben Atomkerne kein Gedächtnis ^{3 sup>: Solange sie nicht zerfallen sind, ist ein gestern erzeugter Kohlenstoff-14-Kern genau identisch mit einem vor einem Jahr erzeugten oder vor 10.000 Jahren oder sogar vor einer Million Jahren. Alle diese Kerne haben, wenn sie heute noch vorhanden sind, die gleiche 50% ige Wahrscheinlichkeit, innerhalb der nächsten 5.730 Jahre zu zerfallen.}

Wenn Sie möchten, können Sie sich vorstellen, dass jeder Kohlenstoff-14-Kern wiederholt ein sehr voreingenommene imaginäre Münze sehr schnell (schneller als wir möglicherweise messen könnten): Bei jedem Wurf mit einer sehr, sehr winzigen Chance kommt die Münze hoch Köpfe und der Kern zerfallen; Andernfalls kommt es zu Schwänzen, und der Kern bleibt vorerst zusammen. Über einen Zeitraum von beispielsweise einer Sekunde oder einem Tag sind die Chancen, dass irgendein Münzwurf auftaucht, immer noch gering - aber über 5.730 Jahre summieren sich die vielen, vielen winzigen Chancen allmählich zu einer kumulativen Zerfallswahrscheinlichkeit von ungefähr 50%.

_{1 sup> Ein Gramm Kohlenstoff enthält ungefähr 0,08 Mol oder ungefähr 5 × 10 22 Atome. In einer typischen natürlichen Probe ist ungefähr eine von einer Billion (1/10 sup> 12 sup>) davon Kohlenstoff-14, was ungefähr 50 Milliarden (5 × 10 ^{10) Kohlenstoff-14-Atome in jedem Gramm Kohlenstoff. Sub>}}

_{^{2 sup> Induzierter radioaktiver Zerfall tritt auf, insbesondere bei Spaltkettenreaktionen. Kohlenstoff-14 erfährt jedoch einen spontanen β sup> - sup> Zerfall, dessen Rate normalerweise nicht in nennenswertem Maße durch äußere Einflüsse beeinflusst wird. Sub>}}

_{3 sup> Kernisomere und andere angeregte Kernzustände existieren, daher ist es nicht ganz richtig zu sagen, dass alle Kerne eines bestimmten Isotops sind immer identisch. Selbst diese können in der Praxis effektiv als diskrete Zustände modelliert werden, wobei spontane Übergänge zwischen verschiedenen Zuständen zufällig mit einer festen Rate über die Zeit auftreten, genau wie nukleare Zerfallsereignisse. Sub>}

Kohlenstoff-14 hat eine Halbwertszeit von 5.730 Jahren. Das bedeutet, dass nach 5.730 Jahren die Hälfte dieser Probe zerfällt. Nach weiteren 5.730 Jahren zerfällt ein Viertel der ursprünglichen Probe (und der Zyklus geht weiter und weiter, und man könnte praktisch jedes radioaktive Isotop verwenden). Warum ist das so? Sollte es nicht logischerweise 2.865 Jahre dauern, bis das Quartal verfällt, anstatt 5.730?

Ich weiß genau, woher du kommst. Wenn ich es in meine eigenen Worte fassen kann: Wenn eine Probe einige Zeit zum Zerfall braucht, sollte eine Probe von der halben Größe nicht die halbe Zeit zum Zerfall brauchen? Ich bin darauf hereingefallen scheinbar sinnlicher, aber irgendwie falscher Glaube mehr als einmal.

Hier ist eine Grafik, die zeigt, was ich glaube, dass Sie gerade denken.

Die horizontale Achse ist die Zeit. Auf der Vertikalen zeichne ich die verbleibende Probenmenge. Dieser Graph wäre wahr, wenn die Hälfte der Probe die Hälfte der Zeit zum Zerfall benötigen würde. (Kannst du das in der Grafik sehen? Schau dir $ t = T / 2 $ an, wo die Zeit $ T $ ist, wenn die Probe weg ist.) Ich denke, das macht in gewisser Weise Sinn, aber so funktioniert die Natur nicht.

Hier ist ein Diagramm, was tatsächlich passiert.

Dieses Diagramm "verfällt exponentiell". Es ist eine Folge der folgenden: Eine Stichprobe mit der halben Größe zerfällt mit der halben Rate. Dies ist auch in gewisser Weise sinnvoll (zum Glück): Wenn Sie die Hälfte der Stichprobengröße haben, haben Sie die Hälfte der Abklingrate. Beachten Sie im Gegensatz dazu, dass der erste Graph unabhängig von der Größe der Stichprobe (dh einer konstanten Steigung) eine konstante Abklingrate aufweist.

Diese beiden Möglichkeiten schließen sich also gegenseitig aus: Entweder die Rate von Der Zerfall ist unabhängig von der Größe konstant (erste Grafik) oder die Zerfallsrate ist proportional zur Stichprobengröße (zweite Grafik). Die Beobachtung zeigt, dass das zweite Diagramm korrekt ist.

Sollte es nicht logischerweise 2.865 Jahre dauern, bis das Quartal verfällt, anstatt 5.730?

Stellen Sie sich vor, die Menge $ q (n) $ von etwas zerfällt als

$$ q (n) = Q \ cdot 2 ^ {- n} $$

wobei $ n $ die Anzahl der Halbwertszeiten ist

Anfangs gibt es die Menge $ q (0) = Q \ cdot 2 ^ 0 = Q $ von etwas.

Nach 1 Halbwertszeit gibt es $ q (1) ) = Q \ cdot 2 ^ {- 1} = \ frac {Q} {2} $ verbleibend.

Nach 2 Halbwertszeiten gibt es $ q (2) = Q \ cdot 2 ^ { -2} = \ frac {Q} {4} $ verbleibend.

Nach 3 Halbwertszeiten gibt es $ q (3) = Q \ cdot 2 ^ {- 3} = \ frac {Q. } {8} $ verbleibend.

Nach 4 Halbwertszeiten ...

Beachten Sie nun, dass die Menge $ \ frac {q (n + 1)} {q (n )} = \ frac {1} {2} $ is constant.

Das heißt, wenn eine Menge zu jedem Zeitpunkt gegeben ist (nicht nur der "Startpunkt"), eine Halbwertszeit später die Hälfte dieser Menge ist verfallen. Dies ist die Bedeutung der Halbwertszeit.

Aus dem verlinkten Wikipedia-Artikel:

Die Halbwertszeit (t½) ist die Zeit, die erforderlich ist, damit eine Menge abfällt die Hälfte seines Wertes, gemessen zu Beginn des Zeitraums.

Angenommen, Sie beginnen mit zwei Kilogramm C-14. Nach 5730 Jahren haben Sie noch ein Kilogramm übrig. Nennen Sie das Stück A. Nehmen Sie jetzt ein weiteres Kilogramm C-14, nennen Sie es Stück B und stellen Sie es neben Stück A.

Sie haben jetzt zwei identische Stücke C-14 und noch eines davon (A) soll in 2865 Jahren halb zerfallen und der andere (B) soll in 5730 Jahren halb zerfallen? Sehen Sie, dass dies keinen Sinn ergibt?

Hoffentlich überzeugt Sie dies davon, dass die Geschwindigkeit, mit der ein radioaktives Element zerfällt, nur davon abhängen kann, wie viel davon in diesem Moment vorhanden ist, nicht davon, wie viel davon vorhanden ist Das Originalbeispiel bleibt übrig.

Dies ist etwas, von dem ich glaube, dass keine der anderen Antworten explizit angesprochen wurde, aber Nick Stauner hat in einem Kommentar .

Versuchen Sie als grobe Analogie, um Ihnen eine gewisse Intuition zu vermitteln, Folgendes: Legen Sie 100 Pennys in einen Schuhkarton, alle mit erhobenem Kopf. Schütteln Sie den Schuhkarton kräftig. Nehmen Sie alle Pennys heraus, die sich in Schwänze verwandelt haben. Das ist eine Halbwertszeit. Schütteln Sie die Schachtel erneut und nehmen Sie die Pfennige wieder heraus. Wiederholen Sie diesen Vorgang, bis keine Pfennige mehr in der Schachtel sind.

Die Idee hier ist, dass Heads-up-Pfennige Kohlenstoff-14-Atome darstellen. Die Pfennige repräsentieren die Atome, die zerfallen sind. Für jeden einzelnen Penny besteht jedes Mal, wenn Sie die Schachtel schütteln, eine 50/50-Chance, dass sich der Schwanz dreht, genauso wie für jedes einzelne Atom eine 50: 50-Chance besteht, dass er während einer Halbwertszeit zerfällt. P. >

Grundsätzlich ist der Zerfall von Kernwaffen von Natur aus probabilistisch. Was es bedeutet ist, dass man nicht mit Überzeugung sagen kann, dass sich beispielsweise ein auf einem Tisch gehaltenes Atom beispielsweise in der nächsten Minute auflöst. Alles, was man sagen kann, ist, dass unter einer gegebenen Probe von beispielsweise 100 Kernen 10% davon in der nächsten 1 Minute zerfallen.

Die nukleare Zersetzung folgt der sogenannten Kinetik erster Ordnung, was diese Geschwindigkeit bedeutet der Reaktion ist direkt proportional zur Menge des vorhandenen Reaktanten. Mit anderen Worten,

$$ d / dx (C) = -k C $$

wobei C die aktuelle Konzentration des Reaktanten und k die Proportionalitätskonstante ist.

Aus dieser Berechnung kann man einen Begriff namens Halbwertszeit erhalten, was bedeutet, dass nach Ablauf dieser Zeit die Hälfte der Konzentration zerfällt (ich verwende zerfallene und austauschbare Reaktionen seit der Reaktion beim Zerfall des Kerns) ist Zerfall).

Dies bedeutet, dass eine Probe von 100 Atomen nach einer Halbwertszeit 50 $ = 100 * (1/2) ^ 1 $ bleiben würde, was nach 2 Halbwertszeiten 25 $ werden würde = 100 * (1/2) ^ 2 = 50 * (1/2) ^ 1 $ und so weiter ...

Angenommen, der Zerfall hat so funktioniert, wie Sie es vorgeschlagen haben. Halb so viele Atome brauchen halb so lange, um zu zerfallen. Es klingt zunächst irgendwie plausibel, aber bedenken Sie Folgendes: Woher weiß ein Atom, wann es zerfallen darf? Es kann nicht einfach einen Würfel werfen und zerfallen, wenn es eine 1 würfelt. Es muss wissen, wie groß die Probe ist, in der es sich befindet, und seine Wahrscheinlichkeit des Zerfalls entsprechend anpassen. Wenn es seine Zerfallswahrscheinlichkeit nicht anpassen würde, würde man einen exponentiellen Zerfall erwarten, weil:

Gedankenexperiment: Wirf einen 20-seitigen Würfel. Wenn Sie eine 1 würfeln, verfällt sie. Wie viele Würfe braucht man, um eine 50% ige Wahrscheinlichkeit des Verfalls zu erreichen? (Hinweis: Es ist nicht 10) Wie viele Würfe, um 100% zu erhalten?

Gedankenexperiment 2: Wirf hundert Würfel mit 20 Seiten. Jeder Würfel, der auf 1 Zerfall landet. Wie viele haben Sie wahrscheinlich nach der ersten Runde übrig? Sollte es im Durchschnitt länger dauern, bis sie alle zerfallen, als wenn Sie nur 1 hätten?

Gedankenexperiment 3: so viele Würfel, wie Atome in einem beträchtlichen Stück Material vorhanden sind. Wie verhält es sich?

Es sollte klar sein, dass Sie durchschnittlich 5% der Würfel verlieren, die Sie übrig hatten (nicht von der Anzahl, mit der Sie angefangen haben) nicht etwas, an das sich das System erinnern kann) pro Runde - exponentieller Zerfall. Die "Halbwertszeit" dieser Würfel beträgt ungefähr 13,5 Runden. So lange dauert es, bis ungefähr die Hälfte verfallen ist.

Ich denke, Sie sind einfach durch die Sprache verwirrt. Denken Sie daran, dass es ein Viertel der ursprünglichen Stichprobe ist. Es ist also wie Zinseszins in der Bank. Sie beginnen mit dem anfänglichen Kapital, sobald die Zinsen zusammengesetzt sind, können Sie sagen, dass der Prozentsatz dieses Kapitals dem "Kapital" hinzugefügt wird, und dann wird ein Prozentsatz DIESES berechnet und zu dieser zweiten Zahl addiert. Ähnlich verhält es sich mit dem nuklearen Zerfall, außer dass Sie über ein Jahr hinweg sogar ein halbes Jahr subtrahieren, anstatt jeden Monat etwa 0,05% (oder eine beliebige Anzahl von Banken) zu addieren Die zweite Stichprobe ist ein Viertel des Originals. Sie können diesen Bruchteil des Originals also als $ \ frac {1} {2 ^ n} $ ausdrücken, wobei $ n = $ die Zeiteinheit für Ihre Konstante ist. In diesem Fall ein Jahr. Also für jedes Jahr $ \ frac {1} {2}, \ frac {1} {4}, \ frac {1} {8}, \ frac {1} {16} $ usw.

Die Masse radioaktiver Materialien folgt der gewöhnlichen Differentialgleichung: $$ m '(t) = - am (t), $$ wobei $ m $ die Masse und $ a $ eine positive Konstante ist - dh eine konstante relative Rate des Zerfalls.

Dies impliziert $$ m (t) = m (0) \ mathrm {e} ^ {- at}. \ tag {1} $$ Wenn $ T_h $ die Halbwertszeit ist, dann ist $$ m (T_h) = m (0) \ mathrm {e} ^ {- aT_h} = \ frac {1} {2} m (0) , $$ was bedeutet, dass $$ T_h = \ frac {\ log 2} {a}, $$ und damit $ (1) $ auch als $$ m (t) = 2 ^ {- t / T_h} geschrieben werden kann m (0). $$ Die Viertellebensdauer ist also $ T_Q $, für die $ m (T_Q) = \ frac {1} {4} m (0) $ oder $$ m ( T_Q) = 2 ^ {- T_Q / T_h} m (0) = \ frac {1} {4} m (0), $$, was nur gilt, wenn $ T_Q = 2T_h $!

Stellen Sie sich eine Probe mit 1000 Atomen mit einer Halbwertszeit von 1 Stunde vor.

Das bedeutet, dass die Probe jede Stunde auf 50% ihrer Größe reduziert wird.

Nach einer Stunde, Sie haben noch 500 Atome. Wie viel Zeit, um diese neue Probe (500 Atome) auf 50% (250 Atome) zu reduzieren?

In Ihrer Interpretation:

Für Wenn die neue Probe auf 50% reduziert werden soll, müssen 250 Atome verloren gehen. Da sie in 1 Stunde 500 Atome verloren hat, sollte es 30 Minuten dauern, bis 250 Atome verloren gehen. Und da liegst du falsch. Es dauert noch 1 Stunde, bis die Hälfte der Atome zerfällt.

Sie gehen davon aus, dass die Anzahl der Atome, die mit der Zeit zerfallen (500 / Stunde), konstant ist, aber nicht.

Was konstant ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Atom in einer Stunde zerfällt: 50% (In diesem Beispiel bedeutet dies, dass 250 Atome nach 1 Stunde zerfallen sind, und es wird mit der "realen" Atomzahl auf a viel genauer längerer Zeitraum)

einfach ausgedrückt: Das Aktivitätsgesetz besagt:

dn / dt ist proportional zu n. was bedeutet, dass die Reaktionsgeschwindigkeit einer Substanz von der Menge der Substanz selbst abhängt. Da anfänglich eine größere Menge Kohlenstoff vorhanden ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil davon zerfällt, höher als wenn weniger Menge davon übrig bleibt.

Es ist eine einzelne Zahl für das Zusammensetzen von Abnahmen

Halbwertszeiten sind im Grunde dasselbe wie "Verdopplungszeit" beim Investieren, aber Halbieren.

Die Regel von 72: Compoundierung erhöht sich

Mit der "Regel von 72" können Sie abschätzen, wie lange es dauert, bis sich Ihr Geld bei einem bestimmten Zinssatz verdoppelt. Wenn Sie beispielsweise 9% Zinsen pro Jahr erhalten, ist 72/9 8, sodass sich Ihr Geld gemäß der Regel in etwa 8 Jahren verdoppeln würde.

Sie können diese Verdoppelung sehen, wenn Sie nur einen Betrag mit 1,09 multiplizieren und dann das Ergebnis mit 1,09 multiplizieren. (Ich versuche hier nicht, genau zu sein, also verwende ich nur ganze Zahlen für die Ergebnisse.) Alle 8 Runden ist der Betrag ungefähr doppelt so hoch.

  0: 100.000
1: 109.000
2: 118,810
3: 129,503
4: 141,158
5: 153,862
6: 167,710
7: 182,804
8: 199,256 - ungefähr doppelt
9: 217,189
10: 236,736
11: 258, 043
12: 281,266
13: 306,580
14: 334,173
15: 364,248
16: 397.031 - wieder ungefähr doppelt so hoch
17: 432,763
18: 471,712
19: 514,166
20: 560,441
21: 610,881
22: 665,860
23: 725.787
24: 791,108 - wieder ungefähr doppelt
... und so weiter
 

Dies ist eindeutig nicht sehr genau. Die Regel von 72 ist nur eine Annäherung, die Sie in Ihrem Kopf tun können. Die genaue Formel finden Sie im Wikipedia-Artikel.

Halbwertszeiten: Compoundierung nimmt ab

Halbwertszeiten sind die gleiche Idee, jedoch mit negativen Zinsen (stellen Sie sich Gebühren auf einem Bankkonto oder Inflation vor). Wenn eine Menge um 9% pro Jahr abnimmt, halbiert sie sich in etwa 8 Jahren, halbiert sich in weiteren 8 Jahren erneut usw.

Sie können dies sehen, wenn Sie nur einen Betrag mit 0,91 multiplizieren und dann das Ergebnis mit 0,91 multiplizieren. (Auch hier versuche ich nicht, genau zu sein, also verwende ich nur ganze Zahlen für die Ergebnisse.) Alle 8 Runden beträgt der Betrag ungefähr die Hälfte.

  0: 100.000
1: 92.000
2: 84,640
3: 77,869
4: 71,639
5: 65,908
6: 60,636
7: 55,785
8: 51,322 - ungefähr die Hälfte
9: 47,216
10: 43,439
11: 39,964
12: 36,767
13: 33,825
14: 31,119
15: 28,630
16: 26,339 - wieder ungefähr die Hälfte
17: 24,232
18: 22,294
19: 20,510
20: 18,869
21: 17,360
22: 15,971
23: 14,693
24: 13,518 - wieder ungefähr die Hälfte
... und so weiter
 

Halbwertszeiten sind leichter zu vergleichen als prozentuale Abnahmen

Anstelle von Halbwertszeiten könnten wir also prozentuale Zerfälle verwenden. Aber die Zerfallsraten sind sehr weit verbreitet, so dass wir im Gegensatz zu Finanzberechnungen, bei denen "pro Jahr" immer eine vernünftige Zeitskala ist, eines von zwei unangenehmen Dingen tun müssten:

1. Verwenden Sie für alles dieselbe Einheit, z. B. "prozentualer Zerfall pro Nanosekunde", obwohl dies für einige Isotope ein großer Prozentsatz und für andere ein extrem kleiner Prozentsatz wäre
2. Verwenden Sie sowohl prozentuale als auch zeitliche Einheiten, z. B. "Dieses Isotop zerfällt um 1% pro Jahr und dieses um 3% pro Minute und dieses um 0,001% pro Jahrtausend" oder was auch immer.
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Wenn wir stattdessen Halbwertszeiten verwenden, haben wir eine einzelne Zahl, die leicht zu vergleichen ist - z. B. "Halbwertszeit von einer Millisekunde" und "Halbwertszeit von 10 Milliarden Jahren".

Halbwertszeit 1 = 5.730 Jahre bei einem Verhältnis von 1: 1

Halbwertszeit 2 = 11.460 Jahre bei einem Verhältnis von 1: 3

Halbwertszeit 3 = 17.190 Jahre bei einem Verhältnis von 1: 7

Halbwertszeit 4 = 22.920 Jahre bei einem Verhältnis von 1:15

Um die 2-4 Halbwertszeiten zu erhalten, addieren Sie jedes Mal die 5.730.

Wie ich zur zweiten Halbwertszeit kam, würden Sie 5.730 + 5.730 = 11.460