Die Aktion ist definiert als $ S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} L \, dt $ wobei $ L $ Lagrange ist.
Ich weiß, dass using Euler-Lagrange-Gleichung, alle Arten von Formeln können abgeleitet werden, aber ich bin mir nicht sicher, welche physikalische Bedeutung Aktion hat.
Das Hamilton'sche H und das Lagrange'sche L , die in der klassischen Mechanik eher abstrakte Konstruktionen sind, werden in der relativistischen Quantenmechanik sehr einfach interpretiert. Beide sind proportional zur Anzahl der Phasenänderungen pro Zeiteinheit. Der Hamilton-Operator läuft über die Zeitachse (die vertikale Achse in der Zeichnung), während der Lagrange über die Flugbahn des sich bewegenden Teilchens, die t'-Achse, läuft.
Die Die Abbildung zeigt die relativistische de Broglie-Welle in einem Minkowski-Diagramm. Das Dreieck stellt die Beziehung zwischen dem Lagrange und dem Hamilton dar, die sowohl in der relativistischen als auch in der nicht-relativistischen Physik gilt.
$$ L ~ = ~ pv-H $$ span>
Der Hamilton-Operator zählt die Phasenänderungen pro Zeiteinheit auf der Vertikalachse, während der Term pv die Phasenänderungen pro Einheit auf der Horizontalachse zählt, die die Entfernung darstellen: v ist die pro Einheit von zurückgelegte Entfernung von Zeit, während p proportional zu den Phasenänderungen pro Entfernungseinheit ist, daher der Term pv.
Die Aktion kann nun als proportional zur Gesamtzahl der Phasenänderungen über die Flugbahn des Partikels angesehen werden. Das Prinzip der geringsten Wirkung entspricht somit dem Prinzip der geringsten Phasenänderung . In der Theorie der speziellen Relativitätstheorie entspricht letztere dem Prinzip der Hans
Einige Zeit nachdem Newton die Naturgesetze in Bezug auf eine augenblickliche Beziehung beschrieben hatte, bemerkten andere, dass die Geschichte anstelle des augenblicklichen Zustands eines Systems in mindestens einem Fall sein könnte beschrieben, indem gesagt wird, dass es einer bestimmten Beziehung gehorcht hat: Eine bestimmte Funktion, die die Geschichte beschreibt, muss immer diejenige sein, die (a) mit den beobachteten Werten beginnt und endet und (b) den niedrigsten Wert dieser Funktion hat.
Dies ist die genau entgegengesetzte Perspektive zur sofortigen Betrachtung der Natur.
Der besondere Fall war der Weg (Verlauf) eines Lichtstrahls durch zwei verschiedene Medien. Die Funktion, die minimiert wurde, war T: Die Zeit, die der Strahl benötigt, um von A nach B zu gelangen. Sie sagten: "Es gibt unendlich viele mögliche Wege; das Naturgesetz, das in diesem Fall gilt, ist, dass die Funktion T die niedrigste ist aller möglichen Wege. "
Dies führte instinktiv zu der Frage, ob dies nicht ein spezifischer Fall einer allgemeineren Formulierung des Naturgesetzes sein könnte, die Newtons entspricht: In jedem System, nicht nur Lichtstrahlen gibt es eine Funktion (wie die Reisezeit), die entdeckt werden kann, die minimiert wird. Die Natur wählt immer die Flugbahn, auf der diese Funktion minimiert wird.
Per Definition ist diese Funktion, falls vorhanden, die Aktion. (Es kann mehr als eine geben). Für die klassische Mechanik ist die Funktion das Integral der Differenz zwischen der potentiellen und der kinetischen Energie, aber es ist pervers und verschleiert, letztere als Definition der Aktion zu nehmen. Das Prinzip der geringsten Aktion ist viel allgemeiner. Zum Beispiel gilt dies für die Quantenphysik.
Aktion ist intuitiv das, was minimiert wird, wie die Ausbreitungszeit eines Lichtstrahls oder die durchschnittliche potentielle Energie minus kinetische Energie eines Körpers, der über eine hügelige Oberfläche läuft A bis B, in jeder Geschichte, jeder Flugbahn.
Wenn Sie relationale Datenbanken kennen, hat Newton das Naturgesetz als SELECT von Attributen definiert, die den Zustand des Systems beschreiben ("Wo war das Teilchen zum Zeitpunkt t?" und "Was war sein Impuls?") und später Wissenschaftler wählten stattdessen eine GRUPPENfunktion aller Zwischenzustände zwischen dem Beginn und dem Ende des Gedankenexperiments.
I) Mindestens drei verschiedene Größen in der Physik werden üblicherweise als Aktion bezeichnet und mit dem Buchstaben $ S $ bezeichnet:
Die Off-Shell-Aktion $ S [q; t_i , t_f] $,
Die (Dirichlet) On-Shell-Aktion $ S (q_f, t_f; q_i, t_i) $ und
Hamiltons Hauptfunktion $ S (q, \ alpha, t). $
Für ihre Definitionen und wie sie miteinander zusammenhängen, siehe z diese Phys.SE-Antwort. (Hier beziehen sich die Wörter on-shell und off-shell darauf, ob die Bewegungsgleichungen (eom) erfüllt sind oder nicht, siehe die allgemeine Definition)
II) OP denkt anscheinend an die erste Option: Die Off-Shell-Aktion
$$ S [q; t_i, t_f] ~ = ~ \ int_ {t_i} ^ {t_f} \! dt ~ L, $$
, die auf (möglicherweise virtuellen) Pfaden $ q: [t_i, t_f] \ bis \ mathbb {R} $ ausgewertet werden können, die Euler- nicht unbedingt erfüllen. Lagrange-Gleichungen (= eom). Der Lagrange $ L $ ist typischerweise der Unterschied zwischen der kinetischen und der potentiellen Energie, aber wir warnen, dass dies nicht der Fall sein muss, vgl. z.B. dieser Phys.SE-Beitrag und die darin enthaltenen Links.
III) Man kann fragen: Warum betrachten wir virtuelle / unphysische Pfade, die nicht unbedingt eom erfüllen?
Antwort: Aus mindestens zwei Gründen:
Man kann keine Euler-Lagrange-Gleichungen ableiten, ohne virtuelle Pfade zuzulassen, vgl. das Prinzip des stationären Handelns.
In der Quantenmechanik tragen die virtuellen Pfade als Quantenfluktuationen zum Pfadintegral bei und haben physikalische Konsequenzen. (Sie sind beispielsweise für die Van-Vleck-Determinante in der semiklassischen Approximation über die Gaußsche Integration verantwortlich.)
Die Aktion hat keine unmittelbare physikalische Interpretation, kann aber als die Erzeugungsfunktion für eine kanonische Transformation verstanden werden. siehe z. B. http://en.wikipedia.org/wiki/Hamilton-Jacobi_equation
Ich stimme Arnold mehr oder weniger zu und beschränke unsere Aufmerksamkeit auf die klassische Dynamik. In der Quantenmechanik (QM) und der Feldtheorie (QFT) ist die Aktion jedoch der natürliche Logarithmus der Wahrscheinlichkeitsamplitude, um ein System aus einer anfänglichen Konfiguration von Partikeln in QM oder Feldern in QFT zu verbreiten. Feynman nutzte einen Kommentar von Dirac in seinem QM-Buch aus, wonach das Exponential von $ -i \ hbar S $ in Paraphrasierung mit der Amplitude der Ausbreitungswahrscheinlichkeit zusammenhängt.
Dies ist etwas weniger befriedigend als beispielsweise die Interpretation von potentieller oder kinetischer Energie. Aber zumindest ist es etwas.
Die Aktion ist eine Funktion der noch nicht definierten Funktionen $ q (t) $ und $ \ dot q (t) $, sodass ihr Minimum (oder eine stationäre Bedingung $ \ delta S = 0 $) eine Familie bestimmt von möglichen realen Bewegungen eines physikalischen Systems als Differentialgleichung allgemeine Lösungen. Die endgültige Wahl einer realen Bewegung aus dieser Familie wird durch die Angabe einiger Endpunkte (oder häufiger - Anfangsbedingungen) bestimmt. Es legt die beliebigen Konstanten fest und ergibt eine eindeutige Kurve.