Das hat mehrere Ebenen, so dass ich Spaß daran habe, sie aufzudecken.

Die erste Schicht ist die einfache Netwonsche Mechanik. Wenn wir davon ausgehen, dass die Netwonsche Mechanik zutrifft und das Universum nur aus dieser Box und ihrem Inhalt besteht und der Inhalt der Box jedes Mal genau gleich eingestellt ist, sind die resultierenden Positionen der Kugeln wie Die Zeit vergeht deterministisch. Es wird jedes Mal genau das gleiche sein.

Es wird jedoch interessanter. Die Newtonsche Mechanik kann chaotisch sein. Ein chaotisches System reagiert empfindlich auf Anfangsbedingungen. Eine leichte Störung des Aufbaus kann zu drastisch unterschiedlichen Ergebnissen führen. Vielleicht haben Sie eine der Kugeln an der falschen Stelle platziert: um 0,5 mm versetzt. Dies kann dazu führen, dass die Kollisionen unterschiedlich auftreten und zu drastisch unterschiedlichen Ergebnissen führen. Ein klassisches Beispiel hierfür ist das Doppelpendel. In vielen Regionen ist seine Bewegung sehr empfindlich gegenüber Anfangsbedingungen. In diesem Sinne ist die Box unvorhersehbar , aber deterministisch . Es gibt nur einen Weg, auf dem sich die Bälle bewegen können, aber es ist unmöglich vorherzusagen, da eine korrekte Vorhersage unendlich genaue Messungen erfordern würde und wir keine Möglichkeit haben, solche Dinge zu messen.

Das bringt uns dazu, unser Universum zu erweitern. Bis zu diesem Punkt haben wir nur ein Universum betrachtet, das diese Box und diese Box allein enthält. Aber es gibt äußere Einflüsse auf reale Boxen. Zum Beispiel werden Gravitationskräfte angewendet. Im wahrsten Sinne des Wortes könnte die Position des Jupiter die Position dieser Kugeln beeinflussen, indem sie die Geschwindigkeiten der Kugeln subtil ändern.

Natürlich klingt das, was ich gerade gesagt habe, nach Astrologie, also sollte ich mich etwas zurückziehen. In praktischen Szenarien wird Jupiter die Ergebnisse nicht merklich beeinflussen. In einem wirklich chaotischen System sind alle Eingaben wichtig, aber in unserer praktischen Box werden Kräfte wie Reibung das System letztendlich hoch vorhersehbar machen. Es ist nicht nötig, zu einer Wahrsagerin zu gehen, um die Ausrichtung der Planeten zu finden, bevor Sie dieses Experiment im wirklichen Leben durchführen!

Aber wir sind gut darin, Experimente durchzuführen, die diesen idealen chaotischen Umgebungen immer näher kommen. Wir können uns also fragen, was passiert, wenn wir dies auf das Äußerste treiben. Was passiert, wenn wir ein Experiment so verfeinern, dass Jupiter eine Wirkung hat? Nun, wir sehen auch andere Effekte: Quanteneffekte. Quanteneffekte stören das Setup, genauso wie es nicht gelingt, alle Bälle perfekt einzurichten oder die Gravitationseffekte von Jupiter nicht zu berücksichtigen. Diese Effekte sind winzig , sodass Sie sie in keiner praktischen Situation beobachten können. Sie sind jedoch da. Und das Interessante an ihnen ist, dass sie nach unserem besten Wissen wirklich zufällig sind. Wir kennen keine Möglichkeit, die Auswirkungen von Quantenwechselwirkungen auf Partikelebene auf Partikelebene vorherzusagen. Soweit wir das beurteilen können, sind ihre Auswirkungen wirklich nicht deterministisch, und daher ist Ihre Box auch nicht deterministisch.

Wenn Sie jedoch einen Schritt zurücktreten und die Gesamtsumme von vielen Billionen von Quantenwechselwirkungen betrachten, die jede Sekunde auftreten, sind die Ergebnisse statistisch vorhersehbar.Wenn Sie die Gesetze der Quantenmechanik auf unglaublich große nicht kohärente Körper (wie eine Billardkugel oder eine Box) anwenden, stellen Sie fest, dass sich die Gleichungen für die Newtonsche Mechanik vereinfachen (mehr oder weniger).Wenn Sie also Ihre Schachtel und Bälle nicht sorgfältig mit der ausdrücklichen Absicht herstellen, die nichtdeterministischen Effekte der Quantenmechanik zu erkennen, werden Sie feststellen, dass sich die Bälle sehr deterministisch verhalten (obwohl sie beim Aufbau eines chaotischen Systems möglicherweise immer noch nicht vorhersehbar sind)/ p>

In der Newtonschen Mechanik gibt es keine Zufälligkeit, wenn Sie alle Anfangsdaten kennen. Tatsächlich sei $ M $ der Phasenraum eines klassischen Systems. Die Punkte von $ M $ sind Paare $ (q, p) $ von Koordinaten und Impulsen.

Die zeitliche Entwicklung des Systems wird durch gewöhnliche Differentialgleichungen auf $ M $ beschrieben. Wenn Sie die Anfangsbedingungen kennen, erhalten Sie durch den Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Lösungen von ODEs das Ergebnis, dass es einen einzelnen Pfad in Phase gibt Raum, der der durch die Zeit parametrisierten Folge von Zuständen entspricht, dh eine einzelne Assoziation

$$ t \ mapsto (q (t), p (t)). $$

Das Problem ist, dass das Problem extrem schwer zu lösen ist, wenn das System eine große Anzahl von Partikeln aufweist. Aus diesem Grund studiert man solche Systeme mit statistischer Mechanik und beginnt dann mit Mitteln und so weiter umzugehen. Aber wenn Sie alle anfänglichen Daten kennen und die Gleichungen der klassischen Mechanik lösen könnten (Existenz ist garantiert, aber es könnte sehr schwierig sein, wie ich sagte), gibt es einen einzigartigen Evolutionspfad ohne jegliche Zufälligkeit.

EDIT: Lassen Sie uns dies aus einem anderen Blickwinkel betrachten. In der Quantenmechanik wird ein System durch einen Zustandsraum $ \ mathcal {E} $ beschrieben. Die Elemente von $ \ mathcal {E} $ sind Vektoren, die als Zustandsvektoren bezeichnet werden und die wir als $ | \ varphi \ rangle $ bezeichnet haben. Es stellt sich heraus, dass wenn Sie den Status des Systems kennen, was bedeutet, dass Sie wissen, welcher Statusvektor ihn beschreibt, Sie immer noch keine vollständigen Informationen über das System haben.

Ein Beispiel: Betrachten Sie ein einzelnes Teilchen mit Spin $ 1/2 $. Der Spin kann entweder hoch oder runter sein. Wenn der Spin des Partikels oben ist, ist der Zustand des Systems $ | \ uparrow \ rangle $ und wenn es unten ist, ist der Zustand $ | \ downarrow \ rangle $. Diese Zustände sind einfach zu verstehen, aber das ist noch nicht alles. Der allgemeinste Zustand ist $ | \ varphi \ rangle = a | \ uparrow \ rangle + b | \ downarrow \ rangle $, und in diesem Zustand ist alles, was Sie sagen können, eine Wahrscheinlichkeit von $ | a | ^ 2 $, wenn der Spin gemessen wird, ist er oben und $ | b | ^ 2 $, wenn der Spin gemessen wird, ist er unten.

Und das ist noch nicht alles. Selbst im Zustand $ | \ uparrow \ rangle $ können Sie die $ x $ - und $ y $ -Komponenten von Spin nicht kennen. Sie wissen nur, dass die $ z $ -Komponente $ 1/2 $ ist. Alles, was Sie bekommen können, sind Wahrscheinlichkeiten.

Selbst wenn Sie im QM den Status kennen, wissen Sie nicht alles. Es gibt Zufälligkeit, die Teil der Theorie ist.

Trotzdem ist die Entwicklung deterministisch . Bei einem Ausgangszustand gibt es genau eine einzige Entwicklung. Aber darum geht es nicht. Das System wird sich zu einem anderen Zustand entwickeln, wie ich ihn untersucht habe, und in diesem Zustand werden unzugängliche Informationen über das System vorhanden sein. Auch hier garantiert die deterministische Evolution, dass Sie einen Anfangszustand auf einzigartige Weise entwickeln können, aber selbst wenn Sie den Zustand kennen, können Sie nicht alles wissen.

Klassische Mechanik ist nicht so. In einem klassischen System können Sie sowohl Position als auch Impuls in jedem Zustand genau kennen. Jedes Beobachtbare ist eine Funktion von Position und Impuls, daher kennen Sie jede physikalische Größe, wenn Sie den Zustand kennen. Zusammen mit der Tatsache, dass die zeitliche Entwicklung einzigartig ist, wissen Sie alles, wenn Sie den Ausgangszustand kennen.

Auch hier müssen Sie genau wissen: (i) die Anfangsbedingungen, (ii) die Lösung der Bewegungsgleichungen. Es ist garantiert zu existieren, nicht garantiert leicht zu wissen.

Ich möchte etwas hervorheben, das in den anderen Antworten impliziert ist, aber nicht explizit gesagt wird:

Ihr Problem ist nicht so klar definiert, wie Sie vielleicht denken.

Warum?

• Wenn es bei Ihrer Frage um das wirkliche Leben geht, macht das Problem keinen Sinn, da eine perfekt genaue Messung unmöglich ist: Sie können nie wirklich wissen, ob sich die Bälle in den gleichen Positionen wie im vorherigen Experiment befinden oder ob sie verhielten sich genauso. Es sei denn, Ihre Frage ist statistisch, aber wie oben erwähnt, müssten Sie Ihr Problem genauer definieren (z. B. Toleranzen für Messungen; dann kennen wir, wie von Cort Ammon erwähnt, Systeme, die chaotisch sind, was bedeutet, dass Sie dies nicht können Verschreiben Sie eine bestimmte Genauigkeit für den Ausgangszustand und erwarten Sie, dass das Ergebnis innerhalb derselben Genauigkeit liegt.

• Wenn es sich bei der Frage um Physik handelt, stellen Sie sie in einen theoretischen Rahmen und jede hat ihre eigene Antwort (in der Newtonschen Mechanik wäre die Antwort ja, in der Quantenmechanik wäre die Antwort nein). Um die Theorie mit dem wirklichen Leben zu korrelieren, müssten Sie experimentieren und dann zur ersten Kugel zurückkehren.

Für Ihr gegebenes Beispiel wären die Ergebnisse im "idealen" Fall deterministisch.Wo es jedoch fehlschlägt, ist die Tatsache, dass we nicht den Bällen in einer Box die "gleiche Position und Geschwindigkeit" der entsprechenden Bälle in der anderen Box geben kann - außer bis zu einem gewissen Grad an Genauigkeit!Mit einer ausreichend langen Zeit führen selbst die kleinen Unterschiede in der Startposition und den Geschwindigkeiten dazu, dass sich die entsprechenden Bälle in unterschiedlichen Zuständen befinden.

Die Quantenmechanik gibt die Messung des Zustands zurück, den Sie zu erreichen versucht haben, und führt zu Ergebnissen, die Sie aufgrund der geringen Messvarianz und der tatsächlichen Messqualität, dh Kopenhagen usw., nicht vollständig messen können, wenn Sie diese Messungen in eineNichtlineares Modell Es würde sich stark von der Realität unterscheiden. Ein System wie ein Pendel. Die Varianz wäre nicht so signifikant, aber dennoch messbar unterschiedlich. Sein Verhalten wird absolut als Funktion einer Differentialgleichung bestimmt.Die Welt ist ein verrückter Ort und unser Modell, das wir jetzt haben, sollte bestimmend sein, wenn wir einen Zustand hineinwerfen, aber im Prinzip ist dies physisch nur möglich, wenn der Dämon Ihres Laplace und in der Lage ist, einen vollständigen Gesamtzustand von allem wahrzunehmeneinen Moment in der Zeit und werfen Sie es wirklich in sein eigenes Modell und so in der Lage, die Vergangenheit Gegenwart und Zukunft zu bestimmen.