Gibt es eine genauere Definition der Fluchtgeschwindigkeit?

Betrachten Sie zunächst ein Objekt mit einer radialen Umlaufbahn (Null-Drehimpuls-Umlaufbahn) in einem $ 1 / r ^ 2 $ span> zentralen Kraftfeld . Die Gesamtenergie $ E $ span> des Objekts (die konstant ist) ist die Summe der (negativen) potentiellen Energie $ U (r) $ span> aufgrund des Kraftfeldes und der kinetischen Energie $ T (v) $ span> aufgrund der Radialgeschwindigkeit.

Es sind drei Fälle zu berücksichtigen:

• $ E \ lt 0 $ span>: Die Umlaufbahn ist begrenzt , dh es gibt eine maximale, endliche Entfernung $ r = r_ {max} $ span> wobei die Geschwindigkeit (und damit die kinetische Energie) Null ist und das Objekt die maximale (am wenigsten negative) potentielle Energie

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• $ E \ ge 0 $ span>: Die Umlaufbahn ist unbegrenzt , dh das Objekt nie hat eine Geschwindigkeit von Null. Wenn $ r \ rightarrow \ infty $ span>, nähert sich die kinetische Energie $ T $ span> asymptotisch $ E $ span> von oben.

• $ E = 0 $ span>: Ein Sonderfall der unbegrenzten Umlaufbahn in diesem $ T \ rightarrow 0 $ span> als $ r \ rightarrow \ infty $ span>.

Dieser Sonderfall ist für die Definition der Fluchtgeschwindigkeit relevant. Bei jedem Radius $ r_0 $ span> im zentralen Kraftfeld gibt es eine Geschwindigkeit $ v_e $ span>, so dass

$$ T (v_e) = | U (r_0) | $$ span>

Ein Objekt, das bei $ r = r_0 $ span> mit der Radialgeschwindigkeit nach außen beginnt $ \ vec {v} _e $ span> hat gerade genug kinetische Energie, um bei $ r = \ infty $ span> 'anzuhalten.

Genauer gesagt rollt das Objekt mit einer Geschwindigkeit beliebig nahe Null beliebig weit weg.In diesem Sinne "entweicht" das Objekt dem zentralen Kraftfeld, aber genau so.

Ja, was Sie wirklich entdeckt haben, ist, dass das betrachtete Phänomen mislabeled als "Flucht" war. Zumindest so weit das wahrscheinliche Verständnis eines Laien reicht. Oder vielleicht ist das Problem das Verständnis des Laien von "von was". Wenn Sie an "aus der Schwerkraft" denken, meint der Wissenschaftler "aus einer geschlossenen Umlaufbahn" (elliptisch) oder kurz "aus der Umlaufbahn" selbst, "Umlaufbahn" bedeutet eine Rückkehr. In Bezug darauf, wie ein Objekt möglicherweise der anhaltenden Schwerkraft entgehen kann, die versucht, es zurückzugeben, hilft dies möglicherweise: Ein Objekt, das sich von einem Gravitationskörper wegbewegt, erfährt mit zunehmender Entfernung einen decrease in der Gravitationskraft des Körpers. Es ist möglich, dass ein Objekt eine ausreichende Geschwindigkeit aufweist, so dass der abnehmende Zug immer unter der Fähigkeit des Objekts bleibt, diesen Zug zu "überholen". Die Geschwindigkeit des Objekts sinkt nie unter das, was es dem Körper ermöglichen würde, es aus der Entfernung zurückzuziehen, die er derzeit erreicht hat. Es "gewinnt" das Energierennen.

Das Objekt entgeht nicht dem Gravitationseinfluss.Wie Sie bemerkt haben, ist $ 1 / r ^ 2 $ span> niemals gleich $ 0 $ span>.Was wir unter "Fluchtgeschwindigkeit" verstehen, ist jedoch, dass das Objekt über genügend Energie (ausreichend große Geschwindigkeit) verfügt, so dass sich sein Pfad "im Unendlichen umdrehen" müsste.Mit anderen Worten, die Geschwindigkeit des Objekts ist hoch genug und nimmt langsam genug ab, bis sich das Objekt niemals umdreht.

Der wichtige Teil hier ist die Geschwindigkeit des umlaufenden Objekts.

Jede Entfernung des umlaufenden Objekts hat seine eigene Umlaufgeschwindigkeit (Umlauf entlang des Kreises).Wenn Sie die Geschwindigkeit erhöhen, ändert sich der umlaufende Pfad in eine Ellipse.Wenn Sie die Geschwindigkeit weiter erhöhen, wird die Ellipse immer länger.

Wenn Sie die Geschwindigkeit weiter erhöhen, gibt es den Moment, in dem der Pfad parabolisch wird - und die Parabel nicht mehr geschlossen ist, sodass das Objekt escapes - nicht von der Gravitationskraft stammt, aber von der Umlaufbahn um das Objekt.

Sie haben recht. Der Begriff "Flucht" aus einem Gravitationsfeld existiert nur in einem idealisierten mathematischen Modell der Situation. In diesem idealisierten Modell haben wir nur einen Gravitator in einer Raumzeit von unendlichem Ausmaß. Damit können wir die Idee der Fluchtgeschwindigkeit folgendermaßen formulieren:

Dies ist die Mindestgeschwindigkeit, mit der ein Objekt vom Gravitator weggeworfen werden muss, damit es nach einem unendlichen Zeitablauf eine unendliche Entfernung erreicht.

Wenn Sie das Objekt mit einer geringeren Geschwindigkeit als dieser werfen, kommt es zurück: Entweder trifft es auf die Oberfläche des Gravitators oder es bewegt sich in einer sich wiederholenden Umlaufbahn um das Objekt herum, die sich jedoch in maximaler Entfernung vom Objekt befindet. Wenn Sie es jedoch mit einer Geschwindigkeit von mindestens der Fluchtgeschwindigkeit oder höher nach außen werfen, wird die Umlaufbahn "unendlich groß" - sie geht hinaus und schneidet (in gewissem Sinne) die Unendlichkeit.

In der formalen Sprache, wenn $ \ mathbf {r} (t) $ span> ein Vektor ist, der vom Gravitator auf das geworfene Objekt zeigt und dessen Flugbahn verfolgt, und Bei $ t = 0 $ span> werfen wir das Objekt. Die Fluchtgeschwindigkeit ist die Mindestgeschwindigkeit. $ v_ \ mathrm {esc} $ span> so dass wenn

$$ | \ mathbf {r} '(0) | \ ge v_ \ mathrm {esc} $$ span>

$$ \ lim_ {t \ rightarrow \ infty} | \ mathbf {r} (t) | = \ infty $$ span>

, das heißt, die Entfernung vom Planeten wächst für immer. In der Realität gibt es natürlich zwei Einschränkungen: Zum einen kann niemals eine unendliche Zeit vergehen, was bedeutet, dass das Objekt theoretisch immer noch unter dem Einfluss des Gravitators steht, selbst wenn dieser Einfluss besteht extrem klein. Die andere Einschränkung besteht darin, dass in der Realität andere Schwerkraftquellen in der Ferne vorhanden sind, die dann die Flugbahn auf andere Weise ändern, sobald ihr Einfluss die Kontrolle über die Bewegung des geworfenen Objekts zu dominieren beginnt, und dies wiederum verhindert dies ebenfalls diese unendliche Entfernung erreichen. Wenn wir zum Beispiel über das Sonnensystem sprechen und der Erde "entkommen", wenn wir ein Fahrzeug mit nicht mehr als der Fluchtgeschwindigkeit der Erde starten, wird es nur "entkommen", bis die Schwerkraft der Sonne beginnt, es zu dominieren An diesem Punkt wird es nun einer komplizierteren Flugbahn folgen, die auf der gegenseitigen Beeinflussung zwischen Erde und Sonne beruht (meistens umkreist es die Sonne, da sich die Erde in der Zwischenzeit wegbewegt, aber möglicherweise wieder auf die Erde trifft) zu einem gewissen Grad auch die anderen Planeten.

Trotzdem ist es nützlich, weil wir es als Standard für die minimale Geschwindigkeit und damit den minimalen Aufwand betrachten können, den unser Motor aufwenden muss, um von der Schwerkraftquelle "wegzukommen" und zu einem entfernteren Ziel zu gelangen, wie zum Beispiel , Mars. Um tatsächlich dorthin zu fahren, ist natürlich eine größere Geschwindigkeitsänderung erforderlich (sogenannter "Delta-V"), da wir auch navigieren müssen, um dieses Ziel abzufangen und uns dann sicher auf seiner Oberfläche niederzulassen.

Wirf einen Stein hoch und er wird auf die Erde zurückfallen.Aber wenn Sie es sehr, sehr schnell geben, wird es in den Weltraum verschwinden.Sicherlich steht es immer unter dem Einfluss der Schwerkraft des Planeten, aber es hat eine Geschwindigkeit, die groß genug ist, dass es niemals zurückkehrt.

Die dafür erforderliche Mindestgeschwindigkeit wird als Fluchtgeschwindigkeit bezeichnet.Und bei dieser Geschwindigkeit (oder höher) ist der Pfad des Objekts eine offene Kurve;Dies bedeutet, dass sich die Kurve bis ins Unendliche erstreckt und das Objekt daher keine Grenzen dafür hat, wie weit es gehen kann.

Wie kann ein Objekt möglicherweise „dem Gravitationseinfluss eines anderen Objekts entkommen“? Gibt es eine genauere Definition der Fluchtgeschwindigkeit? Wird der Orbitalweg nicht mit zunehmender Anfangsgeschwindigkeit unendlich groß?

Das scheinbare Paradoxon kann gelöst werden, indem die kinetische und potentielle Energie eines 'Objekts' berücksichtigt wird, das mit einer Anfangsgeschwindigkeit von der Oberfläche eines Planeten projiziert wird.

Stellen Sie sich ein Objekt vor, das sich mit gleichmäßiger Geschwindigkeit vom Schwerpunkt eines Planeten nach außen bewegt und die potenzielle Energie berechnet, die gewonnen wird. Wenn die Kraft auf das Objekt aufgrund der Schwerkraft mit der Entfernung gleichmäßig wäre, würde die potentielle Energie linear mit der Entfernung ansteigen. Wenn das Objekt aus einer bestimmten Höhe freigegeben würde, würde es fallen und mit einer Geschwindigkeit V aufprallen (unter der Annahme, dass keine Atmosphäre vorhanden ist).

Energie = mgh = 1/2 mv ^ 2
Also V aus einer gegebenen Höhe = (2gh) ^ 0,5

Mit zunehmender Entfernung vom Schwerpunkt des Planeten bedeutet der inverse quadratische Gravitationseffekt jedoch, dass die Energie, die benötigt wird, um diese Höhe zu erreichen, mit zunehmender Entfernung langsamer zunimmt. Die Integration der erforderlichen Energie mit zunehmender Entfernung hat einen endlichen Wert im Unendlichen . |

Umgekehrt hat ein Objekt, das aus einer unendlichen Entfernung "fällt", eine nicht unendliche potentielle Energie und damit eine unendliche Aufprallgeschwindigkeit. Dies ist die Fluchtgeschwindigkeit.

Ein Objekt, das mit Fluchtgeschwindigkeit vom Planeten projiziert wird, verliert kinetische Energie, wenn es "steigt", aber die Verlustrate nimmt aufgrund des inversen quadratischen Gravitationseffekts mit der Entfernung ab. Es wird letztendlich in unendlicher Entfernung zum Stillstand kommen.
Ein Objekt, das mit einer niedrigeren als der Fluchtgeschwindigkeit projiziert wird, hört in einer Entfernung von weniger als unendlich auf zu steigen.

Ein Objekt, das mit einer Geschwindigkeit über der Fluchtgeschwindigkeit projiziert wird, hat sowohl im Unendlichen als auch in allen geringeren Entfernungen noch kinetische Nettoenergie und "nach außen" -Bewegung.

Sie kennen das alte Sprichwort: "Was hoch geht, muss runter kommen"?Wenn Sie mit Fluchtgeschwindigkeit oder schneller steigen, ist das nicht wahr.

Sie werden immer langsamer, kommen aber nie runter, weil der Gravitationseinfluss des Körpers, dem Sie "entkommen", abfällt (nach der umgekehrten quadratischen Regel), wenn Sie weiter weg sind.Es geht nie weg, aber es ist nie stark genug, um Ihre Geschwindigkeit umzukehren.

Dieser Begriff hat mich auch verwirrt, aber eine einfache Möglichkeit, ihn zu erklären, besteht darin, die Anziehungskraft des Objekts zu jedem Zeitpunkt mit der Summe einer unendlichen Reihe von Zahlen zu vergleichen, beispielsweise der Reihe (1/2) + ( 1/4) + (1/8) + (1/16)… Es ist leicht zu erkennen, dass diese Serie für immer weitergeht, da Sie einfach jeden neuen Begriff halbieren können, um den nächsten Begriff zu erstellen. Obwohl diese Serie immer größer wird, wird sie sich niemals der Unendlichkeit nähern. Wenn Sie alle unendlichen Begriffe dieser Reihe zusammenfassen könnten, würde sich letztendlich 1 ergeben.

Stellen Sie sich eine leere Kiste mit einem Volumen von 1 Kubikmeter vor. Füllen Sie die Hälfte des Volumens mit Wasser, dann die Hälfte des verbleibenden Volumens mit Wasser und dann wieder die Hälfte des verbleibenden Volumens ... Sie werden immer näher daran sein, die Schachtel genau zu füllen, was trotz Ihrer Tatsache ein endliches Volumen ist fügen unendlich oft Wasser hinzu. Wenn Sie die Box auf eine Waage gegenüber einer identischen Box stellen, die vollständig mit Wasser gefüllt ist, kippt die Box, der Sie Wasser hinzufügen, die Waage niemals zu ihren Gunsten.

Wenn Sie auf die gleiche Weise die Schwerkraft eines Objekts addieren, das sich mit Fluchtgeschwindigkeit über einen unendlichen Zeitraum bewegt, addieren Sie die Schwerkraft auf dieses Objekt letztendlich zu einer bestimmten Zahl - Fluchtgeschwindigkeit. Wenn Sie also mit oder schneller als die Fluchtgeschwindigkeit fahren, wird das Objekt niemals zurückgezogen, ähnlich wie die teilweise gefüllte Wasserkiste im vorherigen Absatz niemals die vollständig gefüllte überwiegt.

Sie haben recht. Von der Flucht aus dem Gravitationsfeld der Erde zu sprechen, ist Unsinn und verwirrender Unsinn und daher unmoralisch.

Ein Teilchen, das in der Entfernung von Sirius ruht und frei von allen anderen Gravitationseinflüssen ist, fällt auf die Erde. Die Beschleunigung beträgt 56 Mikrometer pro Jahrhundert pro Jahrhundert.

Wenn Sie sich ein Objekt vorstellen, das mit hoher Geschwindigkeit von der Erde projiziert wird, verlangsamt die Schwerkraft der Erde es und verlangsamt es für immer. Da die Schwerkraft durch ein inverses Quadrat -Gesetz geregelt wird, summiert sich die Gesamtverlangsamung zu einer endlichen Zahl. (Wenn die Schwerkraft $ 1 / r $ span> gewesen wäre und nicht $ 1 / r ^ 2 $ span>, wäre die Summe gewesen unendlich, nicht endlich).

"Fluchtgeschwindigkeit" ist somit definiert als "die Geschwindigkeit, mit der Sie starten müssen, um bis ins Unendliche zu gelangen, ohne zurückzufallen". Oder besser gesagt, da dies unmöglich ist, ist die Geschwindigkeit größer als alle, die zurückfallen irgendwann zurückfallen.

Es ist eine Lüge, über das Entkommen aus dem Gravitationsfeld der Erde zu sprechen, aber zumindest eine verständliche, denn wenn Sie sich neben Sirius befinden, werden Sie Gravitationsbeschleunigungen ausgesetzt sein, die viel größer als 56 Mikrometer pro Jahrhundert und Jahrhundert sind.

Wenn Sie von der Unendlichkeit auf den Körper fallen würden, würden Sie mit einer bestimmten Menge an Energie darauf klatschen, Energie, die Sie allmählich aufgenommen haben, als Sie fielen.Wenn Sie sich jedoch stattdessen mit etwas mehr kinetischer Energie vom Körper auf den Weg machen als mit dem, mit dem Sie splat gegangen sind, dann würden Sie die Unendlichkeit erreichen und darüber hinaus!Die Geschwindigkeit, die Sie benötigen, um diese Menge an kinetischer Energie zu erhalten, ist die Fluchtgeschwindigkeit.

Wird die Umlaufbahn nicht einfach unendlich groß mit Erhöhen der Anfangsgeschwindigkeit?

Nein, ist die kurze Antwort (mehr dazu gleich).

Aber erstens scheint Ihre grundlegende Verwirrung dadurch zu entstehen, dass Sie zwei getrennte Konzepte verwechseln:

a. Wenn der Orbitalpfad unendlich groß ist, bedeutet dies eine unendliche Anfangsgeschwindigkeit (was in keinem realistischen Szenario möglich ist: Nichts im Universum bewegt sich mit unendlicher Geschwindigkeit).

b. Damit ein Orbitalpfad überhaupt möglich ist, impliziert überhaupt eine endliche Anfangsgeschwindigkeit - und wir kehren zu "Nein ist die kurze Antwort" zurück - weil:

i) Wenn es möglich war, eine unendliche Anfangsgeschwindigkeit zu haben, muss diese per Definition die Fluchtgeschwindigkeit überschreiten, die eine definierte, endliche Geschwindigkeit ist. In dem Moment, in dem diese (endliche) Geschwindigkeit überschritten wird, die lange vor Erreichen der unendlichen Geschwindigkeit liegen würde, wird jede Art von Umlaufbahn unmöglich: Die Rakete muss in den Weltraum schießen.

Die Umlaufbahn ist ein Gleichgewichtszustand, in dem die Kraft, die das umlaufende Objekt vom Planeten wegdrückt (im Grunde genommen sein Impuls), genau der Kraft entspricht, die es zum Planeten zieht (im Grunde genommen die Schwerkraft). Wenn der äußere Impuls genau im Gleichgewicht mit dem inneren Impuls ist, bewirkt das so erreichte Gleichgewicht, dass das umlaufende Objekt einen konstanten Abstand zum Planeten einhält: eine Umlaufbahn

ii) Ein leichtes Ungleichgewicht dieser Kräfte führt dazu, dass das umlaufende Objekt in einem größeren Radius oder in einem kleineren Radius umkreist. Ein großes (positives) Ungleichgewicht führt jedoch dazu, dass das Objekt die Umlaufbahn verlässt: Es folgt nicht mehr einem gekrümmten Pfad um den Planeten. Das größere Ungleichgewicht führt dazu, dass es zunehmend einem weniger gekrümmten Pfad folgt. bis der Pfad weitgehend aufgehört hat, sich überhaupt zu krümmen: Das Objekt bewegt sich jetzt (ungefähr) in einer geraden Linie, hat also aufgehört, sich zu bewegen.

iii) Wenn die Rakete einmal die Fluchtgeschwindigkeit erreicht hat, unabhängig davon, ob diese auf einer Umlaufbahn folgt oder nicht, kann sie durch die Schwerkraft des Planeten niemals wieder erfasst werden, da die Schwerkraft mit der Entfernung abnimmt : Nach dem Gesetz des umgekehrten Quadrats ist die Gravitationsstärke nicht konstant, wenn sich die Entfernung vom Planeten verdoppelt, sondern verringert sich auf ein Viertel. Bei nur konstanter Geschwindigkeit kann die Rakete niemals von der fallenden Gravitationskraft erfasst werden ( weil diese fällt).

Nur durch Abbremsen konnte die Rakete ihren Impuls verringern, um sich mit einer geringeren Geschwindigkeit als der für das Gleichgewicht erforderlichen kritischen Schwelle, dh einer Umlaufbahn, in ihrem neuen Radiusabstand vom Planeten (eine sehr große em) zu bewegen > Eine Verzögerung wäre erforderlich, sobald die Rakete auch nur eine kurze Strecke zurückgelegt hat, da ihre Schwerkraft im wirklichen Leben in sehr kurzer Entfernung vom Planeten der weitaus größeren Schwerkraft der Sonne Platz macht und der Planet danach zu einem vernachlässigbaren Einfluss wird.

Nun taucht ein weiteres Missverständnis in Ihrer Frage auf: Indem Sie den Planeten so behandeln, als wäre er die einzige Schwerkraftquelle im nahen Weltraum, haben Sie sich selbst in die Irre geführt, stärkere Gravitationskräfte in der Nähe zu vernachlässigen! Diese Kräfte überwältigen die Planeteneffekte auf relativ kurzen Entfernungen, so dass Ihre Umlaufbahnannahmen zusammenbrechen, sobald sich die Rakete nur eine kurze Strecke vom Planeten entfernt hat.

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ADDENDUM -

Die sehr kleinen Unterschiede in der Umlaufbahnhöhe, die mit einer elliptischen Umlaufbahn verbunden sind, spielen für meine Antwort keine Rolle. Die einzige relevante Frage ist, ob die Umlaufbahn stabil ist: Wenn dies der Fall ist, werden geringfügige Höhenunterschiede die Position nicht klarstellen. Ich spreche nur das Hauptproblem an: Ist die Satelliten-Rakete in der Lage, accelerate (aus dem Orbit herauszunehmen) und decelerate (aus dem Orbit heraus)

Ob es Ihnen gefällt oder nicht, in Wirklichkeit verbrennen alle Raketen Treibstoff mit konstanter Geschwindigkeit, und der einzige Grund, warum sie schneller fliegen, ist, dass der Gravitationswiderstand gegen ihre Bewegung mit zunehmender Höhe em abnimmt > unter Befolgung des Gesetzes des umgekehrten Quadrats.

Wenn Kraftstoff mit konstanter Geschwindigkeit verbrannt wird, setzt die Menge an Kraftstoff, die transportiert werden kann, eine echte Grenze für seine Anfangsgeschwindigkeit (wenn er weiter als bis zur Erdumlaufbahn reicht), und es gibt praktische Einschränkungen hinsichtlich des Gewichts des Kraftstoffs möglich zu heben (jede zusätzliche Tonne Kraftstoff in den Tanks erhöht die Masse, die in den Weltraum gehoben werden muss). Eine Erhöhung der Kraftstoffnutzlast hat also auch negative und keine rein positiven Folgen.

Und eine ausreichend hohe Anfangsgeschwindigkeit verhindert, dass die Rakete in die Umlaufbahn gelangt: Sie macht das, was Planetensonden tun, und fliegt zum Mars oder darüber hinaus. Wenn es niemals eine einzige Umlaufbahn abschließt, ist es nicht sinnvoll, es als eine Umlaufbahn zu beschreiben. Wenn es auch das Sonnensystem verlässt, wie es einige tun, umkreist es nicht einmal die Sonne in einem sinnvollen Sinne.

Der Gravitationseinfluss eines einzelnen Quarks ist für einen einzelnen Quark winzig, daher ist es nur logisch zu schließen, dass sein Radius ebenfalls winzig ist. Es ist daher nicht logisch zu schließen, dass sein Einfluss unendlich ist. Das inverse Quadratgesetz zeigt, dass selbst bei Objekten mit Sternmasse der Einfluss schnell abnimmt. Durch Verdoppeln des Abstands nimmt die Stärke auf ein Viertel ab, d. H. 25 Prozent (1 über 2 Quadrat, d. H. 1/4). Bei der 8-fachen Entfernung beträgt die Stärke nur ein Prozent (1 über 8 im Quadrat, d. H. 1/64)