Ich schätze die physikalischen Erklärungen in anderen Antworten sehr, aber ich möchte hinzufügen, dass die Fourier-Transformation des Coulomb-Potentials auch mathematisch sinnvoll ist. . Diese Antwort soll klarstellen, in welchem ​​Sinne die Standardberechnung mathematisch gültig ist.

Erstens und vielleicht noch wichtiger möchte ich das hervorheben

T Die Fourier-Transformation von f ist nicht einfach nur $ \ int {f (x) e ^ {- ikx} dx} $.

Für eine $ L ^ 1 $ -Funktion (eine Funktion, die normintegrierbar ist) ist dies immer der Fall, aber das Coulomb-Potenzial liegt definitiv nicht in $ L ^ 1 $. Es wird also nicht erwartet, dass die Fourier-Transformation davon, falls sie jemals existiert, das obige Integral ist.

Hier kommt also die zweite Frage: kann die Fourier-Transformation auf anderen Funktionen als $ L ^ 1 $ definiert werden?

Die Antwort lautet "Ja" und es gibt viele Fourier-Transformationen. Hier sind zwei Beispiele.

1. Fourier-Transformation für $ L ^ 2 $ -Funktionen (d. H. Quadratintegrierbare Funktionen) .
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Es stellt sich heraus, dass sich die Fourier-Transformation dank des Plancherel-Theorems auf $ L ^ 2 $ besser verhält als auf $ L ^ 1 $. Wie oben erwähnt, existiert das obige Integral möglicherweise nicht, wenn eine $ L ^ 2 $ -Funktion nicht in $ L ^ 1 $ enthalten ist, und die Fourier-Transformation ist auch nicht durch dieses Integral gegeben. (Es gibt jedoch einen einfachen Charakterisierungssatz, der besagt, dass in diesem Fall die Fourier-Transformation durch die Prinzip-Wert-Integration des obigen Integrals gegeben ist.)

2. Fourier-Transformation von Verteilungen (verallgemeinerte Funktionen)
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In diesem Sinne gilt die Forier-Transformation des Coulomb-Potentials. Das Coulomb-Potential ist zwar keine $ L ^ 1 $ - oder $ L ^ 2 $ -Funktion, aber eine distribution. In diesem Fall müssen wir also die Definition der Fourier-Transformation für Verteilungen verwenden. In der Tat kann man die Definition überprüfen und die Fourier-Transformation direkt berechnen. Die Berechnung der Physiker veranschaulicht jedoch einen anderen Punkt.

Die Fourier-Transformation für Verteilungen (wie auch immer definiert) ist kontinuierlich (unter einer bestimmten Topologie im Verteilungsraum, aber nicht zu spezifisch) .

Denken Sie daran, dass wenn x stetig ist, $ x_ \ epsilon \ rightarrow x $ impliziert, dass $ f (x_ \ epsilon) \ rightarrow f (x) $.

Jetzt $ \ frac {1} {r} e ^ {- \ mu r} \ rightarrow \ frac {1} {r} $, wenn $ \ mu \ rightarrow 0 $ (wiederum unter der genannten "bestimmten Topologie") oben), und daher impliziert Kontinuität

$$ \ operatorname {Fourier} \ left \ {\ frac {1} {r} e ^ {- \ mu r} \ right \} \ rightarrow \ operatorname {Fourier} \ left \ {\ frac {1} {r} \ right \}. $$

$ \ frac {1} {r} e ^ {- \ mu r} $ befindet sich jedoch in $ L ^ 1 $, und daher kann seine Fourier-Transformation unter Verwendung des Integrals $ \ int {f (x) e berechnet werden ^ {- ikx} dx} $.

Daher sind die Berechnungen dieser Physiker mathematisch vollkommen sinnvoll, aber es handelt sich um eine Fourier-Transformation von Verteilungen, die viel allgemeiner ist als die für $ L ^ 1 $ -Funktionen.

Wünschte, diese Antwort könnte das Vertrauen der Menschen stärken, dass das potenzielle Fourier-Transformationsproblem von Coulomb nicht nur physikalisch vernünftig, sondern auch mathematisch vertretbar ist.

Ich denke, Sie brauchen dieses Integral $$ \ int {\ frac {1} {{\ left ({2 \ pi} \ right) ^ 3}} \ frac {{e ^ {i \ vec k \ cdot \ vec r}}} {{k ^ 2 + a ^ 2}} d ^ 3 \ vec k} = \ frac {{e ^ {- ar}}} {{4 \ pi r}} $$ Wir nehmen anfangs an, dass $ a \ ne 0 $. Wenn wir Polarkoordinaten mit $ \ vec k $ in der z-Achse verwenden, haben wir: $$ \ int {\ frac {1} {{\ left ({2 \ pi} \ right) ^ 3}} \ frac {{ e ^ {i \ vec k \ cdot \ vec r}}} {{k ^ 2 + a ^ 2}} d ^ 3 \ vec k} = \ frac {1} {{\ left ({2 \ pi} \ rechts) ^ 3}} \ int \ limit_0 ^ \ infty {\ frac {{k ^ 2}} {{k ^ 2 + a ^ 2}} dk} \ int \ limit_0 ^ {2 \ pi} {d \ varphi } \ int \ limit_ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} {\ cos \ theta e ^ {ikr \ sin \ theta}} d \ theta = $$$$ = \ frac {1} {{ \ left ({2 \ pi} \ right) ^ 2}} \ int \ limit_0 ^ \ infty {\ frac {{k ^ 2}} {{k ^ 2 + a ^ 2}} dk} \ int \ border_ { - 1} ^ 1 {e ^ {ikrx} dx} = \ frac {2} {{\ left ({2 \ pi} \ right) ^ 2}} \ int \ border_0 ^ \ infty {\ frac {{k ^ 2}} {{k ^ 2 + a ^ 2}} \ frac {{i \ sin \ left ({kr} \ right)}} {{ikr}} dk} $$$$ = \ frac {1} { {\ left ({2 \ pi} \ right) ^ 2}} \ frac {1} {r} \ int \ border_ {- \ infty} ^ \ infty {\ frac {{k \ sin \ left ({kr}) \ right)}} {{k ^ 2 + a ^ 2}}} dk $$ Es ist der unvorstellbare Teil von: $$ \ frac {1} {{\ left ({2 \ pi} \ right) ^ 2} } \ frac {1} {r} \ int \ limit_ {- \ infty} ^ \ infty {\ frac {{ke ^ {ikr}}} {{k ^ 2 + a ^ 2}}} dk = \ frac { 1} {{\ left ({2 \ pi} \ right) ^ 2}} \ frac {1} {r} 2 \ pi i \ frac {{iae ^ {- ar}}} {{2ia}} = \ frac {1} {{4 \ pi r}} e ^ {- ar} i $$ so: $$ \ int {\ frac {1} {{\ left ({2 \ pi} \ right) ^ 3}} \ frac {{e ^ {i \ vec k \ cdot \ vec r}}} {{k ^ 2 + a ^ 2}} d ^ 3 \ vec k} = \ frac {1} {{4 \ pi r}} e ^ {- ar} $$ Der eindeutige singuläre Punkt innerhalb des Umfangs ist $ k = ia $. Wir bestimmen nun den Fall $ a = 0 $. Wir haben: $$ \ int {\ frac {1} {{\ left ({2 \ pi} \ right) ^ 3}} \ frac {{e ^ {i \ vec k \ cdot \ vec r}}} { {k ^ 2}} d ^ 3 \ vec k} = \ frac {1} {{\ left ({2 \ pi} \ right) ^ 2}} \ frac {1} {r} \ int \ border_ {- \ infty} ^ \ infty {\ frac {{\ sin \ left ({kr} \ right)}} {k}} dk = $$$$ \ frac {1} {{\ left ({2 \ pi} \ rechts) ^ 2}} \ frac {1} {r} \ int \ limit_ {- \ infty} ^ \ infty {\ frac {{\ sin t}} {t} dt = \ frac {1} {{4 \ pi r}}} $$

Lieber Emerson, die "schwache Fourier-Transformation" des Potentials, die einfach $ 4 \ pi / q ^ 2 $ ist, ist der "richtige physikalische" Wert der Fourier-Transformation.

In der Physik Es macht einfach keinen Sinn zu sagen, dass eine Fourier-Transformation "nicht existiert": Das Coulomb-Potential existiert eindeutig, und wenn wir etwas berechnen, das von seiner Fourier-Transformation abhängt, muss die Antwort auch existieren, weil die Welt muss benimm dich irgendwie. In der Physik ist es im Allgemeinen unmöglich zu sagen, dass eine gültige Theorie eine "schlecht definierte Antwort" liefert. Wir müssen immer darum kämpfen, eine tatsächliche, genau definierte Antwort zu erhalten.

Und die Quantenelektrodynamik ist eine ausgezeichnete Theorie, obwohl sie eine oberflächlich divergierende Fourier-Transformation des Coulomb-Potentials aufweist. Dennoch brauchen wir die Fourier-Transformation, um viele Fragen zu beantworten. Die einzige Frage kann also sein, wie man die richtige Antwort findet - nicht, ob eine Antwort existiert. Natürlich tut es das. Die physikalisch korrekte Antwort wird am einfachsten erhalten, indem das Potential - als Grenze des Yukawa-Potentials - reguliert und die Grenze mit der Integration in der Mitte der Berechnung ausgetauscht wird, um sicherzustellen, dass das Ergebnis sinnvoll ist.

Das ist, als würde man dem Photon eine Masse geben - wir nennen es einen Infrarotregler. Solche Dinge sind in der Quantenfeldtheorie allgegenwärtig. Wenn ein Ausdruck nicht naiv sinnvoll ist, versucht man, ihn als Grenze eines allgemeineren Ausdrucks auszudrücken, eine allgemeinere Berechnung zu berechnen, die genauer definiert ist, und am Ende die erforderliche Grenze zu nehmen. Dies ist der richtige Ansatz des Physikers für scheinbar schlecht definierte Ausdrücke und führt uns immer aus den Schwierigkeiten heraus und sagt uns immer etwas Bedeutenderes.

Ein Fehler - eine Weigerung, die Antworten zu berechnen - ist einfach nicht akzeptabel in der Physik.

Wenn das Endergebnis eindeutig und unabhängig von der Regularisierungsmethode ist, ist es eine mathematisch korrekte Antwort.

Dies ist keine vollständige Antwort, sondern eher eine interessante Beobachtung, die dazu beitragen könnte, das regulierte Ergebnis besser zu verstehen. Beobachten Sie zuerst, dass \ begin {Gleichung} \ int_V d ^ 3 r \ frac {e ^ {i \ mathbf q \ cdot \ mathbf r}} {r} = 2 \ pi \ int_0 ^ R dr \ int _ {- 1} ^ 1 du \, re ^ {iqru} = \ frac {4 \ pi} {q} \ int_0 ^ R dr \, \ sin qr = \ frac {4 \ pi} {q ^ 2} \ left (1 - \ cos qR \ right). \ end {Gleichung} In der Grenze $ R \ rightarrow \ infty $ divergiert das Integral, da es auf unbestimmte Zeit zwischen $ 0 $ und $ 8 \ pi / q ^ 2 $ schwankt. Die regulierte Fourier-Transformation entspricht dem Durchschnittswert dieser Extreme. Dies ähnelt der divergierenden Reihe $ 1-1 + 1-1 + \ cdots $, die auf $ 1/2 $ reguliert werden kann.

Ich bin mir nicht sicher, ob eine Begründung erforderlich ist.

Wir haben nicht das Bedürfnis, Lösungen zu rechtfertigen, die durch eine Änderung von Variablen erhalten wurden, noch solche, die durch Differenzieren unter dem Integralzeichen erhalten wurden, noch solche, die durch analytische Fortsetzung und Anwendung von Konturintegralen usw. erhalten wurden eine Vielzahl anderer Tricks der Symbolmanipulation.

Aber wenn Sie darauf bestehen ...

Sie können dies als das Potenzial aufgrund eines massiven Scaler-Bosons (das Yukawa-Potenzial) interpretieren ) und nehmen Sie dann die Grenze der verschwindenden Masse.