Angenommen, ich habe eine Sammlung von n Vektoren $ x_i \ quad \ forall i \ in (1, n), i \ in \ mathbb {Z} $, so dass die entsprechenden Massen an jedem $ x_i $ $ m_i $ sind.Dies ist dein Körper $ E $ und wenn die Gesamtmasse deines Körpers $ M $ ist, dann ist $$ M = \ sum_ {i = 1} ^ {n} m_i $$ In diesem Fall ist die auf den Körper wirkende Nettokraft, wenn $ E $ einem gleichmäßigen Beschleunigungsfeld $ \ vec {g} $ ausgesetzt ist, wie in der obigen Antwort angegeben $$ F = \ sum_ {i = 1} ^ {n} m_i \ ddot {x} _i $$ Die Kraft auf den gesamten Körper wäre jedoch $ F = Mg $.Es gebe einen Punkt $ X $ auf dem Körper, so dass ich sagen kann, dass $ \ ddot {X} = g $, dann kann ich $ F = M \ ddot {X} = \ sum_ {i = 1} ^ {schreibenn} m_i \ ddot {x} _i $.

Daraus können Sie das interpretieren $$ \ ddot {X} = \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ {n} m_i \ ddot {x} _i} {\ sum_ {i = 1} ^ {n} m_i} $$ Und der Schwerpunkt ist definiert als $$ \ begin {Gleichung} \ label {com} x_ {com} = \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ {n} m_ix_i} {\ sum_ {i = 1} ^ {n} m_i} \ end {Gleichung} $$ Da der Körper $ E $ eine konstante Masse hat, können Sie die Definition des obigen Massenschwerpunkts durch einfache Integration erhalten.

Dies gilt nur in einem einheitlichen Feld, und deshalb: Der Schwerpunkt ist die durchschnittliche massengewichtete Position eines erweiterten Objekts.Währenddessen ist die gesamte Gravitationskraft die Summe über alle Teile des Objekts, gewichtet nach Masse: Die massengewichteten Integrale für den Durchschnitt und die Summe sind gleich. In Wirklichkeit unterscheidet sich der Schwerpunkt vom Schwerpunkt, da ein variables Gravitationsfeld die spätere Summe über Teile ändert.Wenn Sie mir nicht glauben, schauen Sie sich die SRTM-Daten der NASA an, in denen eine Radarantenne an einem 200-Fuß-Ausleger im Space Shuttle eine Radarkarte der Erde erstellt hat - da das Erdfeld nicht einheitlich ist, war der Schwerpunkt niedrigerals der Schwerpunkt, und das Ding rollte weiter (stellen Sie sich eine Hantel bei 45 Grad vor) - Schubkorrekturen ließen den Ausleger schwingen, und das kann als Welligkeit in der Kartenhöhe angesehen werden.

Betrachten Sie zwei Situationen wie unten gezeigt.
Eine (linkes Diagramm), bei der sich zwei Massen in einem ungleichmäßigen Gravitationsfeld befinden, und die andere (rechtes Diagramm), bei der sich die beiden Massen in einem einheitlichen Gravitationsfeld befinden.

In beiden Fällen liegt der Schwerpunkt in der Mitte zwischen den beiden Massen $ M $.
In dem ungleichmäßigen Gravitationsfeld ist die Gravitationsanziehung auf die Masse, die der großen Masse $ W $ am nächsten liegt, größer als die Gravitationsanziehung auf der anderen Masse $ w $, so dass der Schwerpunkt der beiden Massen an der Position $ G $ liegt, dieist nicht auf halbem Weg zwischen den beiden Massen.
Im gleichmäßigen Gravitationsfeld ist die Gravitationsanziehung auf die beiden Massen $ W $ gleich, denn der Schwerpunkt der beiden Massen liegt in der Mitte zwischen ihnen $ G $, was der Position des Massenschwerpunkts entspricht. P.>

Um sicherzugehen, dass der Schwerpunkt und der Schwerpunkt der gleiche Punkt sind, müssen sich die Massen in einem gleichmäßigen Gravitationsfeld befinden.

Wir müssen nur wissen, wo eine Kraft wirkt, wenn wir ein Drehmoment berechnen. Bei Kontaktkräften ist klar, dass die Kraft am Kontaktpunkt wirkt. Bei einer Kraft wie der Schwerkraft, die in einiger Entfernung wirkt, ist dies jedoch weniger klar.

In Wirklichkeit besteht ein starres Objekt aus vielen Partikeln, und auf jedes von ihnen gibt es eine kleine Gravitationskraft und ein geringes Drehmoment. Wenn wir uns nur um die Beschleunigung kümmern, brauchen wir nur die Summe all dieser Kräfte, nämlich $ \ vec {F} _ {tot} = \ sum_i m_i \ vec {g} = M \ vec {g} $. Aber was ist mit den Drehmomenten?

Wir möchten so tun, als ob diese gesamte Gravitationskraft an einem einzelnen Punkt wirkt, um das Drehmoment zu berechnen. Gibt es einen Punkt $ \ vec {x} _ {cg} $, so dass $ \ vec {x} _ {cg} \ times \ vec {F} _ {tot} $ das gleiche Gesamtdrehmoment ergibt wie das Summieren aller kleinen Drehmomente?

Wenn wir alle Drehmomente zusammenfassen, finden wir $ \ vec {\ tau} _ {tot} = \ sum_i \ vec {x} _i \ times (m_i \ vec {g}) = \ left (\ frac { 1} {M} \ sum_i m_i \ vec {x} _i \ right) \ times (M \ vec {g}) $. Dies sagt uns, wir sollen $ \ vec {x} _ {cg} = \ frac {1} {M} \ sum_i m_i \ vec {x} _i $ den Schwerpunkt nennen, und wenn wir so tun, als ob die gesamte Schwerkraft wirkt An diesem Punkt erhalten wir immer die richtige Antwort für das Gravitationsdrehmoment. Schließlich stellen wir fest, dass es zufällig dieselbe Form hat wie die Definition des Massenschwerpunkts!

Allerdings! Wenn Sie die Berechnung selbst durchführen, stellen Sie möglicherweise fest, dass diese Ableitung nicht funktioniert, wenn $ \ vec {g} $ von Partikel zu Partikel variiert. In diesem Fall ist der Schwerpunkt nicht genau definiert. Möglicherweise gibt es kein $ \ vec {x} _ {cg} $, das das tut, was wir wollen, und selbst wenn es vorhanden ist, ist es nicht eindeutig, außer in einigen besonderen Fällen.

Tatsächlich wirkt die Schwerkraft unabhängig auf alle Teile einer Masse.Bei einem Feststoff oder einer Flüssigkeit wirken die Teile dann aufeinander ein.Und wenn die Größe der Masse im Vergleich zur Nichtlinearität des Gravitationsfeldes klein ist, ist der "Masseneffekt" ein Durchschnitt aller unabhängigen Effekte, daher können Sie ihn als "im Schwerpunkt" auftretend modellieren.

Wenn andererseits die Größe des Objekts im Vergleich zur Nichtlinearität des Gravitationsfeldes groß ist, müsste ein Integral der Masse über das Feld erstellt werden, um zu berücksichtigen, was als "Gezeiten" bezeichnet wirdAuswirkungen".Ein sehr langes Objekt, das in ein Schwarzes Loch fällt, würde auseinandergezogen, wenn die Spannung der verschiedenen Kräfte über das Objekt hinweg zusammenwirkt.Dies ist leichter zu verstehen, wenn man das lange Objekt als einen Wasserstrahl (sehr geringe Zugfestigkeit) betrachtet.

Die Schwerkraft zieht jedes einzelne Partikel im Objekt an.

Wenn Sie das Objekt an einem zufälligen Punkt halten, zieht die Schwerkraft die Partikel links und die Partikel rechts von diesem Punkt ein. Es erzeugt an jedem dieser Partikel ein Drehmoment. Befindet sich auf der linken Seite mehr Gesamtdrehmoment als auf der rechten Seite, dreht sich das Objekt gegen den Uhrzeigersinn.

Wählen Sie einen anderen Punkt und die Drehmomente sind unterschiedlich verteilt. Nur an einem bestimmten Punkt gleichen sich die Drehmomente auf der linken und rechten Seite genau aus. Wir geben diesem Punkt einen Namen: Centre of mass.

Eine auf den Schwerpunkt wirkende Kraft lässt das Objekt nicht drehen, da es kein Drehmoment um diesen bereits ausgeglichenen Punkt erzeugt. Da sich ein frei fallendes Objekt, das nur durch die Schwerkraft eingezogen wird, nicht dreht , ist es sinnvoll zu sagen, dass die Anziehungskraft in jedem Partikel im Durchschnitt eine große Anziehungskraft im Massenschwerpunkt ist - insbesondere, weil wir Ich möchte / muss die Gravitationskraft an einem Punkt in eine Kraft vereinfachen, um die Arbeit mit Dingen einfacher zu machen als mit vielen, vielen winzigen Kräften in jedem einzelnen Partikel.

Die Schwerkraft wirkt auf alle Körperteile, die Masse haben, nicht nur auf die COM.Der Vektor, für den Sie den Effekt der Schwerkraft berechnen, kann jedoch zwischen dem COM verschiedener Körper angewendet werden, da er sich mathematisch nur auf die Berechnung zwischen COMs reduziert.