Klassischerweise wird die Gravitationskraft, die eine Masse $ m $ über der Erde erfährt, durch das bekannte
$$ F = G \ frac {Mm} {r ^ 2} $$ gegeben p>
wobei $ M $ die Masse der Erde ist. Mit anderen Worten, eine Masse erfährt eine Kraft, die kontinuierlich abnimmt, wenn sie sich von der Erde entfernt. Nehmen wir nun an, die Erde sei eine flache, unendlich große Ebene in $ \ mathbb R ^ 3 $, die infinitesimal ist, mit einer Massendichte $ \ sigma $ (pro Flächeneinheit, nicht Volumen). Das Gravitationspotential $ \ Phi $ erfüllt die Poisson-Gleichung $ \ nabla ^ 2 \ Phi = 2 \ pi G \ sigma \ delta (z) $, vorausgesetzt, die Ebene liegt bei $ z = 0 $.
Die Lösung ist gegeben durch $ \ Phi (z) = 2 \ pi G \ sigma | z | $. Die Gravitationskraft ist $ - \ partielle_z \ Phi $, die immer in Richtung der Ebene zeigt. Ein weiteres Merkmal ist, dass die Gravitationskraft mit der Größe $ 2 \ pi G \ sigma $ konstant ist. Mit anderen Worten, egal wie hoch man sich über dem Flugzeug befindet, die gleiche Kraft wird erlebt. Um realistischer zu sein, wenn die Ebene eine Dicke ungleich Null hätte, wäre die Kraft immer noch konstant, aber im Inneren würde es einen "Sprung" geben, wie dargestellt:
Um festzustellen, ob die Erde flach ist, müsste man einfach ein Experiment durchführen, um zu sehen, wie sich die Gravitationskraft mit zunehmender Höhe skaliert. Man wird $ F \ sim r ^ {- 2} $ ungefähr wie erwartet finden, was bestätigt, dass die Erde rund ist. Natürlich kann man sich für ausreichend kleine Variationen von $ r $ täuschen lassen, dass $ F $ konstant ist, da die Änderung winzig ist, aber messbar.
$ \ dagger $ Der Einfachheit halber wird angenommen, dass es unendlich groß ist; Die Schlussfolgerungen bleiben gleich, aber die Kraft wird natürlich unterschiedlich sein, da sie auch von $ x $ und $ y $ abhängt.