Schwerpunkt

Der Schwerpunkt einer einheitlichen Kugel / Scheibe befindet sich im Zentrum dieser Kugel / Scheibe (dies mag trivial klingen, gilt jedoch nur für Fälle, in denen die Massenverteilung sphärisch symmetrisch ist). Der Schwerpunkt kann als kollektive Repräsentation des gesamten Körpers durch einen einzelnen Punkt betrachtet werden (beachten Sie, dass dies nicht unbedingt zutrifft, aber für unsere Zwecke beim Aufbau einer grundlegenden Intuition hilfreich ist). In ähnlicher Weise liegt der Schwerpunkt eines einheitlichen Würfels / einer quadratischen Platte im Zentrum des Würfels / einer quadratischen Platte

Gravitationspotentialenergie

Die potentielle Gravitationsenergie eines Objekts ist gegeben durch

$$ U = mg (h _ {\ text {COM}}) \ tag {1} $$ span>

wobei $ m $ span> die Masse des Körpers ist, $ g $ span> die Gravitationsbeschleunigung ist und $ h _ {\ text {COM}} $ span> ist die Höhe des Massenschwerpunkts. In der Gleichung $ (1) $ span> haben wir angenommen, dass die potentielle Energie $ 0 $ span> im Erdgeschoss ist dh $ h _ {\ text {COM}} = 0 $ span>. Um nun einen Körper so anzuheben, dass sich sein Schwerpunkt von einer Höhe $ h_1 $ span> zu einer Höhe $ h_2 $ müssen wir einige Arbeiten ausführen, die der Änderung der potentiellen Energie des Körpers entsprechen:

$$ W = \ Delta U = mg (h_2-h_1) $$ span>

Rolling Square

Wie Sie im GIF unten sehen können, hat das rollende Quadrat eine Art wackelige Drehbewegung. Wackelig in dem Sinne, dass sein Massenschwerpunkt steigt und fällt, steigt und fällt und auf einem.

^{Animationsquelle sup>}

Wie wir oben berechnet haben, müssen wir einige Arbeiten ausführen, um die Höhe des Massenschwerpunkts des Quadrats zu erhöhen (es gibt einen bestimmten Winkel, $ 45 ^ {\ circ} $ span> in diesem Fall bis zu dem Punkt, an dem Sie das Quadrat drehen müssen, wenn es rollen soll. Wenn Sie das Quadrat um einen Winkel drehen, der kleiner als dieser ist, fällt das Quadrat zurück. Und sobald der Schwerpunkt die maximale Höhe erreicht hat, fällt er von selbst auf die andere Seite und die kinetische Energie, die das Quadrat während des Sturzes gewinnt, wird aufgrund der unelastischen Natur der Kollision des Quadrats mit Schall- und Wärmeenergie abgeführt der Boden. Jetzt müssten Sie den Massenschwerpunkt des Quadrats wieder anheben, damit es rollt. Bei diesem Prozess wird kontinuierlich Energie gegeben, um den Schwerpunkt zu erhöhen, und dann wird die Energie verloren, weil das Quadrat auf den Boden zurückfällt. Und das macht es wirklich schwierig, ein Quadrat zu rollen.

Warum kommt es zu unelastischen Kollisionen?

Das Quadrat verliert aufgrund unelastischer Kollisionen im Vergleich zu einer kreisförmigen Scheibe aufgrund eines größeren Bereichs der Oberfläche, der mit dem Boden in Kontakt steht, tendenziell mehr Energie. Dies ist ähnlich wie bei einem Fahrradreifen. Wenn der Reifen aufgepumpt ist, ist er kugelförmig und hat daher einen geringeren Bodenkontakt, was zu geringeren Energieverlusten führt, wohingegen ein entleerter Reifen einen größeren Bodenkontaktbereich hat, wodurch er anfälliger für unelastische Kollisionen ist.

Rolling Circle

Wenn ein Kreis / eine Kugel rollt, bleibt die Höhe des Massenschwerpunkts aufgrund der Symmetrie der Form während der gesamten Bewegung gleich. Sie können dies auch im folgenden GIF sehen.

^{Animationsquelle sup>}

Dies bedeutet, dass keine der von uns bereitgestellten Energie für die Änderung der Höhe des Massenschwerpunkts verschwendet wird. Und die gesamte Energie wird verwendet, um die Kugel / den Kreis zu beschleunigen, wodurch wir uns leicht fühlen, sie schneller zu rollen.

Warum bleibt der Schwerpunkt auf derselben Höhe?

Lassen Sie uns aus Gründen der Genauigkeit beweisen, dass ein Kreis die einzige 2D-Form ist, die die Eigenschaft hat, dass ihr Schwerpunkt beim Rollen auf derselben Höhe bleibt. Nehmen wir zunächst an, dass es eine andere Form gibt (keinen Kreis), die ebenfalls diese Eigenschaft hat. Dies bedeutet, dass unabhängig davon, wie Sie diese Form auf den Boden legen (wir können sie natürlich nicht einfach flach legen), der Schwerpunkt immer auf einer konstanten Höhe bleibt. Dies bedeutet, dass der Abstand zwischen dem Boden und dem Schwerpunkt immer gleich ist. Dies bedeutet dann, dass der Abstand zwischen dem den Boden berührenden Grenzpunkt und dem Schwerpunkt immer gleich ist. Dies gilt jedoch für alle Grenzpunkte, da alle Grenzpunkte den Boden berühren können (wir nehmen wieder eine konvexe Form an). Dies bedeutet, dass alle Grenzpunkte im gleichen Abstand vom Massenmittelpunkt liegen. Dies bedeutet, dass die Grenzpunkte auf einem Kreis liegen, der im Massenmittelpunkt des Körpers zentriert ist. Und somit kann die gewünschte Form nichts anderes als eine kreisförmige Scheibe sein

Trägheitsmoment

Trägheitsmoment spielt auch hier eine Rolle. Es kann gezeigt werden, dass eine kreisförmige Scheibe für einen gegebenen konstanten Bereich einer beliebigen 2D-Form das niedrigste Trägheitsmoment aufweist (vorausgesetzt, alle Formen werden aus denselben Materialien / derselben Dichte hergestellt). Dies bedeutet, dass es etwas einfacher wäre, eine kreisförmige Scheibe zu rollen als jede andere 2D-Form. Ein ähnliches Argument gilt für 3D-Formen. Hier würden wir jedoch das Volumen (das 3D-Analogon der Fläche) konstant halten, während wir die Form variieren. Aber hier hat theoretisch ein Zylinder mit einem unendlich kleinen Radius und einer unendlich großen Länge das niedrigste Trägheitsmoment.

Nachtrag

Bei speziellen Oberflächen können Sie sogar ein Quadrat wie eine Kugel drehen lassen. Siehe das GIF unten.

^{Animationsquelle sup>}

Wie Sie sehen, können wir sogar eine quadratische Rolle erstellen, wenn wir eine Oberfläche verwenden, die aus invertierten Fahrleitungskurven besteht.Um zu sehen, warum dies der Fall ist, können Sie die Ableitung hier überprüfen.

Wie diese Antwort andeutete, sind Kurven konstanter Breite auch gute Kandidaten für das Rollen.Streng genommen ist der Kreis nicht die einzige Form, die auf einer ebenen Fläche rollen kann.Es ist jedoch viel besser als ein Quadrat, wenn es ums Rollen geht.

In einem idealen rutschfesten Zustand rollt der Ball nach einem ersten Tritt oder Stoß für immer weiter. Nach dem Rollen müssen Sie keine externe Kraft anwenden, Sie benötigen keine externe Energie.

Der Block kann nicht weiter rollen. Damit es sich dreht, müssen Sie den Schwerpunkt um $ \ frac {\ sqrt {2} -1} {2} a $ span> ( $ a $ span> ist die Länge einer Seite), für die $ \ frac {\ sqrt {2} -1} {2 erforderlich ist } mga $ span> Energie. Nachdem Sie es um 45 Grad gedreht haben, kann es auf die andere Seite fallen und sich um weitere 45 Grad bewegen. Wenn der Block auf den Boden trifft, verliert er seine kinetische Energie an Wärmeenergie und muss erneut angehoben werden.

Energetisch gesehen benötigt einer überhaupt keine Energie, während der andere in jedem Zyklus eine begrenzte Energiemenge benötigt. Dies ist ein Unterschied zwischen finite und none. Wie Sie bereits erwähnt haben, beschleunigt der Ball weiter, wenn Sie sie mit derselben Kraft weiter drücken. Der Versuch, den Block zu beschleunigen, wäre sehr frustrierend. In Bezug auf die Geschwindigkeit haben sie auf lange Sicht einen Geschwindigkeitsunterschied zwischen infinite (Einstein vorerst vergessen) und finite.

Wie vergleichst du unendlich und endlich? Wie vergleichen Sie endliche und keine?

Angenommen, ich habe diese Objekte gleicher Größe ...

Erste Gegenfrage: Was bedeutet "gleiche Größe"?

• Der Durchmesser des Kreises entspricht der Kantenlänge des Quadrats
• Das Quadrat und der Kreis haben die gleiche Fläche

Beweisen Sie mathematisch, dass runde Objekte schneller rollen

Selbst in den ersten 90 Grad, in denen wir keine Kollisionen haben (siehe David Brownes Antwort), ist der Kreis schneller:

Nehmen wir an, dass die Kantenlänge des Quadrats $ a $ span> ist.

Dann ist das Trägheitsmoment des Quadrats, das sich um seine Kante dreht:

$$ J = (\ frac16 + \ frac12) ma ^ 2 $$ span>

Die Zeit, die das Quadrat benötigt, um einen Winkel von $ \ alpha $ span> zu drehen, kann jetzt wie folgt berechnet werden:

$$ t ^ 2 = \ frac {2 \ alpha J} {M} = \ frac {4 \ alpha ma ^ 2} {3 M} $$ span >

Die Symbole haben folgende Bedeutung:

$$ \ begin {array} {ll} \ alpha & \ text {Drehwinkel} \\ J & \ text {Trägheitsmoment} \\ M & \ text {Torque} \\ m & \ text {Masse des Quadrats} \\ a & \ text {Kantenlänge des Quadrats} \\ t & \ text {Zeit, die für die Rotation benötigt wird} \ end {array} $$ span>

Schauen wir uns nur die Zeit an, die für die ersten 90 Grad Drehung benötigt wird - was bedeutet, dass das Quadrat die Strecke $ a $ span>:

$$ t ^ 2 = \ frac {2 \ pi} {3} \ frac {ma ^ 2} {M} $$ span>

Betrachten wir nun den Kreis mit der gleichen Fläche wie das Quadrat:

Dies bedeutet, dass der Radius dieses Kreises $ r = \ frac {a} {\ sqrt \ pi} $ span> ist.

Das Trägheitsmoment ist $ J = \ frac32mr ^ 2 = \ frac3 {2 \ pi} ma ^ 2 $ span>.Der Kreis muss einen Winkel von $ \ alpha = \ sqrt \ pi $ span> drehen, um eine Strecke von $ a $ zu verschiebenspan>.

Die Zeit, die benötigt wird, um eine Strecke von $ a $ span> zu bewegen, ist also:

$$ t ^ 2 = \ frac {2 \ alpha J} {M} = \ frac3 {\ sqrt {\ pi}} \ frac {ma ^ 2} {M.} $$ span>

Und jetzt können wir die benötigte Zeit vergleichen:

$$ \ frac3 {\ sqrt {\ pi}} < \ frac {2 \ pi} {3} $$ span>

Dies bedeutet, dass der Kreis weniger Zeit benötigt, um eine Strecke von $ a $ span> zu rollen.

Mathematisch gesehen ist ein Kreis die eindeutige Form des kleinsten Umfangs zum umschlossenen Bereich.Da jedes Mal, wenn es sich dreht, eine Strecke zurückgelegt wird, die seinem Umfang entspricht, dauert das Drehen im Vergleich zu jeder anderen Form weniger lange.

Zusammen mit der Tatsache, dass sich die Achse niemals auf und ab bewegt, bedeutet dies, dass sie die geringste Kraft benötigt, um sich zu bewegen (in einer idealen Einstellung).

Circular-Objekte sind nicht die schnellsten.

Verwenden Sie beispielsweise ein Trilobular.(Oder eine andere glatte konvexe Form.)

Starten Sie es in der Ausrichtung, die auf dieser Wikipedia-Seite angezeigt wird.Dies ist die Ausrichtung, in der der Schwerpunkt am höchsten ist.Dann rollt es im Allgemeinen schneller als der Kreis, da ein Teil seiner potentiellen Energie in kinetische Energie umgewandelt wurde.Nur in den Momenten, in denen der Schwerpunkt wieder auf die ursprüngliche Höhe zurückgekehrt ist, bewegt er sich so langsam wie der Kreis.

Selbst Ihr Beispiel eines Quadrats geht schneller als der Kreis, wenn Sie die flachen Seiten durch leicht gewölbte Seiten ersetzen und die Ecken leicht abrunden und um 45 ° drehen, sodass es zunächst "an einer Ecke stehen" beginnt.

Es gibt zwei Unterschiede zwischen dem Kreis und dem Quadrat, die dazu führen. Der erste ist das Trägheitsmoment. Im freien Raum erhalten Sie mit einem bestimmten Drehmoment auf dem Quadrat und dem Rad nicht die gleiche Winkelbeschleunigung. Die Gleichung lautet Drehmoment = Trägheitsmoment X Winkelbeschleunigung. Das Trägheitsmoment kann berechnet oder in einer Tabelle gefunden werden.

Der Hauptgrund, warum es einen Unterschied zwischen den beiden Rädern gibt, ist jedoch, dass beim Umdrehen von einem Scheitelpunkt zu einem anderen Scheitelpunkt ein massiver Energieverlust auftritt, wenn Sie Ihren Vierkantreifen einschlagen der Boden jedes Mal, wenn er mit einer Seite parallel zum Boden liegt. Dann tragen Impuls und Sprungkraft es, wenn es sich über den nächsten Scheitelpunkt dreht.

Wenn Sie für einen Moment Ihr äußeres Drehmoment vergessen und überlegen, was passiert, wenn Sie den Drehpunkt wechseln, werden Sie feststellen, dass Sie grundsätzlich ein Objekt nehmen müssen, dessen Schwerpunkt sich diagonal nach unten und vorwärts zu einer Bewegung mit dem bewegt Schwerpunkt nach oben und vorne. Dazu müssen Sie am Kontaktpunkt eine Kraft ausüben, die den Vorwärtsimpuls des Vierkantrads verringert. Das Problem ist, dass jede genaue Lösung von vielen Annahmen abhängt, wie der Übergang von der Rotation um einen Scheitelpunkt zum anderen erfolgt. Jede Annahme gibt Ihnen eine andere Antwort. Es gibt keine "universelle" Antwort. Dies hängt von den Eigenschaften Ihres Reifens ab.

Eine realistische Lösung würde wahrscheinlich eine Finite-Elemente-Modellierung erfordern, um zu sehen, wie sich der Reifen beim Auftreffen auf den Boden verformt. Dies kann zu einem Energieverlust durch Hysterese führen, wenn der Reifen aus Gummi besteht. Aber selbst bei perfekt starren Rädern kommt es zu einem gewissen Impulsverlust.

Ein Ansatz, der möglicherweise funktioniert, besteht darin, anzunehmen, dass es einen Koeffizienten gibt, der beschreibt, wie viel Energie Sie bei jedem "Schritt" verlieren, wenn Sie auf dem Boden aufschlagen. Die Berechnung dieses Koeffizienten aus ersten Prinzipien ist für Ihren Zweck wahrscheinlich nicht erforderlich.

Eine gute Diskussion über all dies findet sich in Mcdonald, Kirk.(2008).Sechseckiger Bleistift, der auf einer schiefen Ebene rollt.Regelmäßige und chaotische Dynamik.13. 332-343.10.1134 / S1560354708040072.Dies scheint beim Autor unter http://www.hep.princeton.edu/~mcdonald/examples/pencil.pdf frei erhältlich zu sein.Es bezieht sich hauptsächlich auf Sechsecke, aber andere Formen werden behandelt und die Hauptkonzepte bleiben gleich.

Ich weiß übrigens nicht, ob Sie davon inspiriert wurden, aber Mythbusters hat Vierkanträder gemacht. https://www.youtube.com/watch?v=CIN8Q_4iaxU funktioniert derzeit, aber eine geeignete Google-Suche kann Aufschluss darüber geben, was passiert ist, wenn der Link unterbrochen wurde.

Wir ignorieren Energieverluste und legen den Kreis und das Quadrat jeweils auf eine separate geneigte flache Linie, deren Massenschwerpunkte sich in gleicher Höhe über dem horizontalen Boden befinden. Das Quadrat liegt auf einer seiner Seiten und der Neigungswinkel beider Linien (die die Referenzlinien für die kommenden Winkel sind) ist $ \ frac {1} {4} \ pi $ span> (oder nur ein bisschen darüber).

So vergleichen Sie die linearen Geschwindigkeiten eines 2d-Quadrats und eines 2d-Rads, die von einer Linie in einem Schwerkraftfeld getragen werden, wenn eine Kraft (in diesem Fall durch die Schwerkraft bereitgestellt und für das Rad und das Quadrat gleich): Wenn Sie parallel zur geneigten Linie mit einem Wert $ \ sqrt {\ frac {1} {2}} \ times 10 = 7N $ span>) zeigen, ist dies logisch Wir gehen davon aus, dass das Quadrat und das Rad die gleiche Masse haben, $ m $ span> (und Massendichte). Diese Bedingung bedeutet, dass jede Seite des Quadrats, $ S_s $ span>, $ \ sqrt {\ pi} $ span ist > mal der Radius des Rades, $ R_w $ span>. Das heißt, $ S_s = \ sqrt {\ pi} R_w $ span>. Die halbe Diagonale des Quadrats, $ D $ span>, hat den Wert $ D = \ sqrt {\ frac {1} {2 } \ pi} R_w $ span>.

Nützliche Formeln:

Trägheitsmomente für das Rad und das Quadrat (das Quadrat dreht sich um eine Achse senkrecht zu einem seiner Winkelpunkte, während sich das Quadrat um die momentanen Kontaktpunkte dreht, sodass wir den Satz Parallelachse ):
$ I_w = (\ frac {1} 2 + 1) m {R_w} ^ 2 = \ frac {3} {2} m {R_w} ^ 2 $ span> $ I_s = (\ frac {1} {6} + \ frac {\ pi} {2}) m {S_s} ^ 2 = (\ frac {1} {6} + \ frac {\ pi} {2}) \ pi m {R_w} ^ 2 $ span>

Die Drehmomente für das Rad und das Quadrat (die Schwerkraft, die am CM sowohl des Rads als auch des Quadrats zieht):
$ \ vec {\ tau} _w = - \ vec {F_g} \ times \ vec {R_w} $ span> waren beide $ - \ vec {F_g} $ span> und $ \ vec {R_w} $ span> beginnen am Kontaktpunkt zwischen der Linie, auf der sie sich befinden, und dem Rad und sind es immer senkrecht zueinander. Der (Pseudo-) Vektor $ \ vec {\ tau} _w $ span> zeigt in den Bildschirm und seine Länge beträgt $ 7mR_w $ .
$ \ vec {\ tau} _s = - \ vec {F_g} \ times \ vec {D} $ span>, wobei $ - \ vec {F_g} $ span> und $ \ vec {D} $ span> beginnen am Kontaktpunkt zwischen dem Quadrat und der Linie. In diesem Fall haben beide Vektoren einen Winkel $ \ theta $ span> zwischen sich, der zwischen den Winkeln $ \ frac {1} {variiert 4} \ pi $ span> und $ \ frac {3} {4} \ pi $ span>. Wieder zeigt der Drehmomentvektor (Pseudovektor) in den Bildschirm und seine Länge beträgt $ 7m \ sqrt {\ frac {1} {2} \ pi} R_w sin \ theta $ span> . Das Integral von $ sin \ theta $ span> zwischen dem Winkel $ \ frac {1} {4} \ pi $ span > und der Winkel $ \ frac {3} {4} \ pi $ span> ist $ 1,4 $ span> Das Drehmoment wird auf $ 7m \ sqrt {\ frac {1} {2} \ pi} R_w 1,4 $ span> reduziert.
Das auf das Quadrat $ {\ tau} _s $ span> ausgeübte Drehmoment beträgt also ungefähr $ 1,75 = 1,25 (= \ sqrt {{\ frac {1} {2}} {\ pi}}) \ mal 1,4 $ span> so groß wie das Drehmoment am Rad $ {\ tau } _w $ span>: $ {\ tau} _s = 1,75 {\ tau} _w $ span>

Nun $ I_s = 3,6I_w $ span>

Für den Wert der Winkelbeschleunigung von Rad und Quadrat haben wir also:
1) $ {\ omega} '_ w = \ frac {\ tau_w} {I_w} $ span>
2) $ {\ omega} '_ s = \ frac {1,75 \ tau_w} {3,61 {I_w}} = 0,48 {\ frac {{\ tau} _w } {I_w}} $ span>

Sowohl der Kreis als auch das Quadrat werden von einem Gerät gesetzt (Sie können sich selbst überlegen, wie dies gemacht wird), das sie durch Drücken eines Knopfes freigibt. Dies ist notwendig, da klar ist, dass sich der Kreis bereits zu bewegen beginnt, wenn die Linie nur ein wenig geneigt ist. die horizontale Linie.

Drücken Sie nun die Taste. Der Schwerpunkt des Quadrats bewegt sich wie auf der Oberleitungskurve wie in der ersten Antwort oben gezeigt (mit einigen schönen Grafiken), mit dem Unterschied, dass die Oberleitungskurve einen Winkel von 45 Grad zur Horizontalen hat, also den Mittelpunkt von Masse bewegt sich nie nach oben. Es bewegt sich um 45 Grad auf einem Kreis mit dem Radius $ \ sqrt {\ frac {\ pi} {2}} $ span> mal dem Radius des Kreises (der halben Diagonale des Quadrat) zwischen 0 Grad horizontal und 45 Grad nach unten (parallel zur geneigten Linie). Danach wiederholt sich das gleiche Viertel des Kreises.

Es könnte klar sein, dass beim Vergleich der Winkelbeschleunigungen eines Rades (Gleichung 1) oben und eines Quadrats mit derselben Masse (Gleichung 2) oben) die Winkelbeschleunigung für das Rad fast doppelt so hoch ist so groß wie das für das Quadrat, also kommt das Rad zuerst auf der ganzen Linie an.
Autos verwenden Räder anstelle von Quadraten, weil Räder die Form haben, ihnen bei gleichem Drehmoment die höchste Winkelgeschwindigkeit zu geben. Und damit der einfachste Weg, dem Auto durch einen Transformationsmechanismus eine lineare Geschwindigkeit zu geben. Um eine bestimmte Geschwindigkeit zu erreichen, benötigt ein Auto mit Rädern weniger Kraftstoff.

Angenommen, die um 45 Grad erhöhte Linie wird in eine Oberleitungskurve umgewandelt, wie in der ersten Frage gezeigt.In diesem Fall ändern das Rad und der Kreis den Platz, sofern die Frage gestellt wird, welcher der beiden zuerst nach unten kommt (und somit die höchste Lineargeschwindigkeit aufweist).Es ist offensichtlich wahr, dass für die meisten willkürlich gebildeten Massen eine solche Oberleitungskurve nicht existiert.Es ist nur eine sehr kleine Teilmenge von 2D-Figuren, wie Polygone oder Kreise mit gleich beabstandeten gleichen Teilen von Kreisen, die daran geklebt sind.

Die Antworten von FakeMod und LukeLYU haben mir sehr gut gefallen. Dies ist eine Erweiterung und Verallgemeinerung.

Bleiben wir bei idealisierten Formen und nehmen an, dass keine zusätzliche Energie eingegeben wird, die über die zum Starten der Bewegung erforderliche hinausgeht.

Wenn Sie das Quadrat so anheben, dass es an seiner Ecke steht, rollt es nicht automatisch weiter. Es muss einen Teil seiner Energie verwenden, um über diesen Punkt hinauszugehen. Dies liegt daran, dass die Ecke ein spezieller Punkt ist, der einem Wendepunkt (metastabilem Gleichgewicht) im PE entspricht. Diese Potentialkurve hat eine Reihe von Punkten wie die quadratischen Rollen. Aus Symmetriegründen sind für einen einheitlichen Körper alle diese Wendepunkte in dem Sinne äquivalent, dass die Form der Potentialkurve "nahe" am lokalen Extremum dieselbe ist.

In ähnlicher Weise muss Energie weitergegeben werden, damit die flachen Oberflächen weiter rollen können. Wenn sie durch jeden Punkt geht, verliert sie Energie (nur hier ist der potenzielle Verlust tiefer). Das PE nimmt somit ab, verlangsamt sich und stoppt schließlich das Quadrat kann sich nicht weiter bewegen.

Für einen Kreis gibt es keinen solchen Wendepunkt. Alle Punkte auf der Oberfläche sind gleichwertig und da es keinen speziellen Punkt gibt, gibt es kein Extremum. Sobald das Rollen begonnen hat, rollt es ohne zusätzliche Kraft weiter. (Newton 1)

Wir können dieses Argument auf Polygone erweitern. Champfer von jeder Ecke gleich viel, dann entspricht nicht nur jeder Scheitelpunkt einem Wendepunkt, sondern auch jede der neuen flachen Oberflächen, die wir erstellt haben. Wieder durch Symmetrie, aber an jedem Punkt der Beugung geht Energie verloren, aber sie verliert sie schneller.

[Wenn Sie diesen Vorgang ad nauseum fortsetzen, erhalten Sie jedoch keinen Kreis! Da die Gruppe, die die Übersetzungen eines Kreises darstellt, stetig ist, SO (2), und die Gruppe, die die eines n-Gons darstellt, endlich ist (D2n), erhalten Sie nicht die gleiche Dynamik.]

Wenn wir ähnliche Argumente ausnutzen, können wir n-dimensionale Analoga berücksichtigen, aber wir müssen vorsichtig sein: Zum Beispiel hat ein Zylinder in 3D eine bevorzugte Achse (seine Länge) und ist in diesem Sinne kein Analogon eines Kreises, jedoch a3-Kugel ist und wird eine ähnliche Dynamik haben, weil sie keine kontinuierliche Symmetrie hat.

Ihre Frage sagt nichts über das Vorhandensein oder Nichtvorhandensein eines Gravitations- oder anderen potenziellen Feldes aus, von dem ich angenommen habe, dass es existiert.Wenn es kein solches Feld und keine Verluste gibt, rollen Ihre Objekte natürlich für immer weiter.

Die Geschwindigkeit, mit der sich die Objekte bewegen, hängt natürlich vom angelegten Impuls ab.Bei einem Potentialfeld verlieren jedoch auch in einer reibungslosen Umgebung alle n-Gons Energie und kommen aufgrund der Verluste in PE zur Ruhe.

Es gibt einen Faktor, den bisher noch niemand erwähnt hat.Es wurde darauf hingewiesen, dass das Quadrat beim Drehen auf und ab schwingt.Beim Hochfahren wird die Kraft durch das sie antreibende Drehmoment geliefert.Die Kraft, die erforderlich ist, um das Quadrat nach oben zu beschleunigen, hängt von seiner Rotationsgeschwindigkeit ab.Je schneller die Drehung, desto mehr Kraft wird benötigt.Wenn wir uns nach oben bewegen, können wir davon ausgehen, dass diese Kraft durch das die Drehung antreibende Drehmoment geliefert werden kann.Beim Abwärtsbewegen wird die Kraft jedoch durch die Schwerkraft geliefert.Dies ist offensichtlich durch die Gravitationskonstante begrenzt.Wenn sich das Quadrat also schneller dreht, kommt ein Punkt, an dem die Schwerkraft nicht ausreicht, um es in Bodenkontakt zu halten.Zu diesem Zeitpunkt wird das Drehmoment auf dem Quadrat nicht mehr in Vorwärtsbewegung umgewandelt.Oberhalb dieser Grenze beschleunigt das kreisförmige Rad schneller, selbst wenn keine Verluste aufgrund nicht elastischer Kollisionen angenommen werden.

Wenn Sie eine exzentrische Sternzahnradnabe wie einen Wankle-Motor zulassen, hat keiner einen beweglichen Schwerpunkt.Das Quadrat würde sich aufgrund ungleichmäßiger Belastung schneller abnutzen (dasselbe Problem wie bei Wankle-Motordichtungen).

Ich denke, dass unter perfekten Bedingungen das Quadrat und der Kreis mit derselben Geschwindigkeit rollen.Der Grund dafür ist, dass im wirklichen Leben ein Kreis aus Reibungsgründen schneller rollt als ein Quadrat: Die kinetische Energie des Quadrats geht aufgrund seiner Form schneller verloren als die Energie des Kreises und geht in Wärmeenergie über.Aber unter perfekten Bedingungen ohne Reibung gibt es keinen Grund, warum das Quadrat langsamer rollt als der Kreis, es sei denn, die Energie, die Sie darauf anwenden, ist geringer als benötigt, so dass es um 45 Grad kippt, aber wenn dies nicht der Fall ist,Die potentielle Energie wird für immer in kinetische Energie umgewandelt und umgekehrt, wobei das Quadrat weniger regelmäßig, aber mit einem Durchschnitt bewegt wird, der dem Kreis entspricht.Ich denke, dass diese Frage ein Intuitionsproblem ist, wie Dinge unter "perfekten Bedingungen" geschehen, genauso wie zwei Objekte mit der gleichen Geschwindigkeit fallen, wenn es keine Luftreibung gibt.