Nun, das gilt nicht für die Erdumlaufbahn.Die Gravitationskraft kann als konstant angesehen werden, da der Abstand von der Erde zur Sonne auch als konstant angesehen werden kann

Sie haben Recht, dass die Stärke oder Größe des Gravitationsfeldes der Sonne über die Länge der Erdumlaufbahn sehr ähnlich ist, die Richtung jedoch nicht.In einem gleichmäßigen Gravitationsfeld wäre die Richtung überall gleich.

Über dem Weg der Erdumlaufbahn zeigt das Gravitationsfeld der Sonne in verschiedene Richtungen.Dieser signifikante Unterschied zu einem einheitlichen Feld bedeutet, dass die Erdumlaufbahn ziemlich weit von einer Parabel entfernt ist.

Die Gravitationskraft kann als konstant angesehen werden, da der Abstand von der Erde zur Sonne ebenfalls als konstant angesehen werden kann, was nach Newtons zweitem Gesetz bedeutet, dass die Beschleunigung der Erde ebenfalls konstant ist. Würde das nicht bedeuten, dass die Erde nur einem parabolischen Pfad folgen sollte?

Nein, die Gravitationskraft der Sonne auf der Erde ist aus zwei Gründen keine Konstante:

• es ändert ständig die Richtung, das heißt, es ist immer in Richtung der Sonne, wenn sich die Erde (im Referenzrahmen der Sonne) um sie dreht, und

Wenn sich die Erde parabolisch um die Sonne bewegen würde, würde sie sich nicht in einer geschlossenen Umlaufbahn befinden. Es würde einmal an der Sonne vorbeiziehen und niemals zurückkehren. Das liegt daran, dass, um eine parabolische Umlaufbahn mit Newtonscher Schwerkraft zu haben, $$ | \ vec {F} | = \ frac {Gm_Em_S} {r ^ 2}, $$ span> Die kinetische Energie der Erde wäre zu groß, um im Orbit zu bleiben .

Gibt es einen mathematischen Beweis (ähnlich dem, den ich über Projektile erwähnt habe), der die elliptische Umlaufbahn als Ergebnis liefert?

Ja, und es kann an mehreren Stellen gefunden werden, normalerweise in Büchern über klassische Mechanik (und sogar Ingenieurmechaniker) im zweiten Studienjahr. Siehe Bücher von Symon, Marion, Beer & JOhnston, Barger & Olsson, Taylor, um nur einige zu nennen. Es handelt sich um eine Standardableitung mit Kalkül, die zu detailliert ist.

Und tatsächlich folgt ein Projektil auf der Erde auch einem elliptischen Pfad um den Erdmittelpunkt (ungefähr).Wir approximieren die Newtonsche Schwerkraft als konstante Größe, konstante Richtungskraft für kleine Bereiche (wie Fußballfelder) und erhalten die parabolische Form, die eigentlich eine gute Annäherung an einen kurzen elliptischen Pfad darstellt.

Die Wege der Projektile sind in der Nähe der Erde nicht parabolisch. Eine Parabel bedeutet keine konstante Gesamtgeschwindigkeit. Eine Parabel ist eine konstante Geschwindigkeit in einer Richtung und eine Beschleunigung in einer senkrechten Richtung.

Im kleinen Maßstab der meisten ballistischen Probleme ist die Erde viel größer als die Flugbahn des Projektils. In einem solchen Maßstab kann die Erde als Ebene angenähert werden. Während die Schwerkraft Projektile in Richtung Erdmittelpunkt zieht und daher für jedes sich bewegende Objekt eine Richtung ändert, ändert sich diese Richtung nicht von gerade nach unten, wiederum in so kleinen Maßstäben. Die Beschleunigung ist gerade nach unten, es gibt keine Beschleunigung quer, so dass das Ergebnis, um die Annäherung zu schließen, parabolisch ist. Wenn Sie den Pfad genau beobachten und er durch die Erde "fallen" könnte, würde er einem elliptischen Pfad folgen.

Die tatsächliche Gleichung lautet:

$$ \ frac {1} {r} = c_0 + c_1 \ sin {\ theta} + c_2 \ cos {\ theta} $$ span> wobei $ r $ span> ist die Entfernung vom Erdmittelpunkt.

Die c sind Konstanten, die von der Masse der Erde, dem Drehimpuls (einer Konstante der Bewegung) und der Masse des Projektils abhängen.

$ r $ span> ist die Entfernung des Projektils vom Erdmittelpunkt. Theta ist das gleiche Theta aus Polarkoordinaten.

Lassen Sie: $ L = mr ^ 2 \ dot {\ theta} $ span>.

$ L $ span> ist der Drehimpuls des Projektils um die Erde. $ \ dot {\ theta} $ span> ist die Winkelgeschwindigkeit entlang der Flugbahn.

Der Drehimpuls ist zeitlich konstant. Wenn Sie die Ableitungen beider Seiten verwenden, erhalten Sie einige Informationen über die zeitliche Entwicklung des Systems.

Wenn Sie die Nullkoordinate Ihres Theta richtig eingestellt haben, können Sie $ c_1 = 0 $ span> annehmen.

Neuanordnung:

$$ r = \ frac {1 / c_0} {1+ (c_2 / c_0) \ cos {\ theta}} $$ span>

Man könnte dies als eine Gleichung in Polarkoordinaten eines Kegelschnitts erkennen, bei der der Ursprung des Koordinatensystems im Mittelpunkt steht.

Dabei bestimmt $ c_2 / c_0 $ span> die Exzentrizität Ihrer Flugbahn.Dieser Parameter gibt die Form des Projektilpfads an: Orbitalexzentrizität

Mir wurde beigebracht, dass wenn die Beschleunigung von einem Körper erfahren wird konstant folgt dieser Körper einer parabolischen Kurve

Dieser letzte Teil ist falsch.

Unter zentraler Kraft folgt der Körper einem konischen Abschnitt.Eine Parabel ist eine Art Kegelschnitt.Eine Ellipse ist eine andere.Ein Kreis ist noch ein anderer.

Ob Sie einem Kreis, einer Ellipse oder einer Parabel folgen, hängt von den Anfangsbedingungen ab - der Kraft und der Winkelgeschwindigkeit.

Aber im Allgemeinen folgt der Körper keiner Parabel, sondern einem Kegel.

Die Gravitationsbeschleunigung wirkt in Richtung des Massenschwerpunkts und folgt dem Gesetz des umgekehrten Quadrats. Dadurch werden alle tatsächlichen Flugbahnen entweder elliptisch oder hyperbolisch (abhängig von der Geschwindigkeit des Objekts im Verhältnis zur Fluchtgeschwindigkeit des darauf einwirkenden Körpers).

Wenn wir die Bewegung von Objekten in der Nähe der Erdoberfläche untersuchen und sich über kurze Strecken bewegen, ist der Erdschwerpunkt sehr weit entfernt, sodass die Schwerkraft gleichmäßig zu wirken scheint - fallende Objekte folgen parallelen Pfaden und die Beschleunigung ändert sich nicht mit der Höhe . Unter diesen Bedingungen sind die Flugbahnen parabolisch. Dies sind jedoch nur Annäherungen, da die Entfernungen, über die Bewegung beobachtet wird, im Verhältnis zur Entfernung zum Erdschwerpunkt so gering sind. Mit anderen Worten, die quadratische Formel und die parabolische Bewegung gelten, wenn Sie Annahmen über die Richtung und Gleichmäßigkeit des Gravitationsfelds treffen. Diese Annahmen sind jedoch nur im kleinen Maßstab (relativ zur Gravitationsquelle / -entfernung) nützlich.

Die Bewegung der Erde um die Sonne könnte auch als parabolisch angenähert werden, aber die Annäherung wäre nur über kurze Entfernungen gültig. Wenn Sie einen Kometen in einer stark elliptischen Umlaufbahn um die Sonne betrachten, könnte das Segment seines Weges an oder in der Nähe der Apoapsis als parabolisch angenähert werden, aber es ist nur eine Annäherung.

Ebenso kann die Projektilbewegung "über den Horizont" nicht einfach als parabolischer Pfad angenähert werden. Zum Beispiel: Schlachtschiffkanonen entwickelten sich bis zu einem Punkt, an dem sie Granaten von mehreren zehn Kilometern abfeuern konnten. Abgesehen von aerodynamischen / Windeffekten ist ein Parabolbogen keine adäquate Darstellung des Pfades der Schale, da die Krümmung der Erdoberfläche und der Unterschied in der Richtung "nach unten" über die Fahrstrecke der Schale signifikant werden.

Eine Mathematik- / Geometrieperspektive

Beachten Sie, dass Ellipse, Parabel und Hyperbel alle konische Abschnitte sind, die sich durch Exzentrizität voneinander unterscheiden (der Kreis ist ein Sonderfall einer Ellipse mit einer Exzentrizität vonNull).Die Umstände eines gegebenen Flugbahnproblems bestimmen die Exzentrizität und damit den geeigneten Kegel.Im Fall der "alltäglichen" Physik ist die Entfernung zum Schwerpunkt der Erde ungefähr unendlich;Dadurch wird die Exzentrizität auf 1 gesetzt und die Flugbahn hat die Form einer Parabel.Für das Problem "über dem Horizont" kann die Entfernung zum Schwerpunkt der Erde nicht als unendlich angenommen werden, daher nimmt die Flugbahn die Form einer Ellipse an.

Die Erde folgt keiner parabolischen Flugbahn, weil wir sie nicht beobachten könnten, wenn dies nicht der Fall wäre.Wir würden nicht existieren, um es zu beobachten.Wir konnten es nicht beobachten, weil andere Flugbahnen es der Erde nicht erlauben, lange genug in einem Abstand zur Sonne zu bleiben, damit sich das Leben entwickeln kann.

Hierbei wird das Anthropische Prinzip verwendet, das häufiger verwendet wird, um zu erklären, warum die physikalischen Konstanten Werte haben, die die Entwicklung des Lebens ermöglichen.

Diese Idee hat ein gewisses Maß an Absurdität, aber ich denke, sie ist weniger als völlig absurd.

Ich versuche, zum Kern Ihrer Frage zu gelangen.Es gibt wahrscheinlich einen mathematischen Weg, um von einer parabolischen Projektilbahn in eine Umlaufbahn zu gelangen, egal ob es sich um eine kreisförmige oder eine elliptische Bahn handelt, aber ich habe noch nichts davon gehört.Abgesehen von der Atmosphäre, wenn die Geschwindigkeiten der Projektile immer höher werden, erreicht sie einen Punkt, an dem die Kurve, die das Projektil nimmt, ziemlich gleich der Kurve der Erde ist, kreisförmig.Selbst bei einer ballistischen Flugbahn denke ich, wenn der Großteil der Erde nicht im Weg wäre, hätte er einen elliptischen Pfad um den Erdmittelpunkt.