I) Lassen Sie uns zum Spaß die Frage von OP auf $ n $ Raumzeitdimensionen verallgemeinern und überprüfen, wie die Zählung von Gl. und Freiheitsgrade (d.o.f.) arbeiten in dieser allgemeinen Umgebung. Wir werden die Antwort von Lubos Motl als Vorlage für diesen Teil verwenden. Wir werden auch eine spezielle relativistische $ (-, +, \ ldots, +) $ -Notation mit $ c = 1 $ verwenden, wobei $ \ mu, \ nu \ in \ {0, \ ldots, n-1 \} $ bezeichnen Raumzeitindizes, während $ i, j \ in \ {1, \ ldots, n-1 \} $ räumliche Indizes bezeichnen. Maxwell-Gleichungen sind die folgenden.
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Quellenfreie Bianchi-Identitäten: $$ {\ rm d} F ~ = ~ 0 \ qquad \ qquad \ Linker rechter Pfeil \ qquad \ qquad \ sum _ {\ rm cycl. ~ \ Mu, \ nu, \ lambda} d _ {\ lambda} F _ {\ mu \ nu} ~ = ~ 0, \ qquad \ qquadF ~: = ~ \ frac { 1} {2} F _ {\ mu \ nu} ~ {\ rm d} x ^ {\ mu} \ wedge {\ rm d} x ^ {\ nu}. $$ Hier $$ \ left (\ begin {array } {c} n \ cr 3 \ end {array} \ right) {\ rm ~ Bianchi ~ identities} ~ = ~ \ left (\ begin {array} {c} n-1 \ cr 3 \ end {array} \ rechts) {\ rm ~ Einschränkungen} ~ + ~ \ links (\ begin {array} {c} n-1 \ cr 2 \ end {array} \ right) {\ rm ~ dynamical ~ eqs.} $$$$ ~ = ~ ({\ rm No ~ magnetische ~ Monopole ~ Gleichungen.}) ~ + ~ ({\ rm Faradays ~ Gesetz}). $$
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Maxwell-Gl. mit Quellbegriffen: $$ d _ {\ mu} F ^ {\ mu \ nu} ~ = ~ -j ^ {\ nu}. $$ Hier $$ n {\ rm ~ source ~ eqs.} ~ = ~ 1 { \ rm ~ Einschränkung} ~ + ~ (n-1) {\ rm ~ dynamische ~ Gleichungen.} $$$$ ~ = ~ ({\ rm Gauß '~ Gesetz}) ~ + ~ ({\ rm Ampere's ~ Gesetz ~ mit ~ Verschiebung ~ Term}). $$
ol> Wir haben die Terminologie verwendet, dass eine dynamische Gleichung Zeitableitungen enthält, während eine Einschränkung nicht. Also die Anzahl der dynamischen Gl. ist
$$ \ left (\ begin {array} {c} n-1 \ cr 2 \ end {array} \ right) ~ + ~ (n-1) ~ = ~ \ left (\ begin {array} {c} n \ cr 2 \ end {array} \ right), $$
, was genau mit
$$ {\ rm the ~ number ~} \ übereinstimmt links (\ begin {array} {c} n \ cr 2 \ end {array} \ right) {\ rm ~ von ~} F _ {\ mu \ nu} {\ rm ~ Felder} $$$$ ~ = ~ \ links (\ begin {array} {c} n-1 \ cr 2 \ end {array} \ right) {~ \ rm magnetische ~ Felder ~} F_ {ij} ~ + ~ (n-1) {\ rm ~ electric ~ Felder ~} F_ {i0}. $$
Maxwell-Gl. mit Quelltermen implizieren die Kontinuitätsgleichung
$$ d _ {\ nu} j ^ {\ nu} ~ = ~ -d _ {\ nu} d _ {\ mu} F ^ {\ mu \ nu} ~ = ~ 0, \ qquad \ qquad F ^ {\ mu \ nu} ~ = ~ -F ^ {\ nu \ mu}, $$
Man muss also verlangen, dass die Hintergrundquellen $ j ^ {\ nu} $ der Kontinuitätsgleichung entsprechen.
Aus Gründen der Konsistenz sollte die zeitliche Ableitung jeder der Einschränkungen verschwinden. Im Fall der nichtmagnetischen Monopolgleichungen folgt dies aus dem Faradayschen Gesetz. Im Fall des Gaußschen Gesetzes folgt dies aus dem modifizierten Ampere-Gesetz und der Kontinuitätsgleichung.
II) Im vorherigen Abschnitt (I) wurde die Zählung in Bezug auf das Array $ \ left (\ begin {) durchgeführt } {c} n \ cr 2 \ end {array} \ right) $ Feldstärken $ F _ {\ mu \ nu} $. In Bezug auf die $ n $ Messpotentiale $ A _ {\ mu} $ läuft die Zählung wie folgt ab. Die Bianchi-Identitäten sind jetzt trivial erfüllt,
$$ F ~ = ~ {\ rm d} A \ qquad \ qquad A ~: = ~ A _ {\ mu} ~ {\ rm d} x ^ { \ mu}. $$
Es gibt immer noch die $ n $ Maxwell-Gleichungen. mit Quellbegriffen
$$ (\ Box \ delta ^ {\ mu} _ {\ nu} -d ^ {\ mu} d _ {\ nu}) A ^ {\ nu} ~ = ~ - j ^ {\ mu}, \ qquad \ qquad \ Box ~: = ~ d _ {\ mu} d ^ {\ mu}. $$
Es gibt eine einzelne Spurweite d.o.f. wegen der Eichensymmetrie $ A \ zu A + {\ rm d} \ Lambda $ und $ F \ zu F $. Wenn ein Messgerät-Fix unter Verwendung der Lorenz-Messgerät-Bedingung
$$ d _ {\ mu} A ^ {\ mu} ~ = ~ 0, $ $
die Maxwell-Gl. werden $ n $ entkoppelte Wellengleichungen
$$ \ Box A ^ {\ mu} (x) ~ = ~ -j ^ {\ mu} (x). $$
Durch eine räumliche Fourier-Transformation werden diese zu entkoppelten linearen ODEs zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
$$ (d ^ 2_t + \ vec { k} ^ 2) \ hat {A} ^ {\ mu} (t; \ vec {k}) ~ = ~ \ hat {j} ^ {\ mu} (t; \ vec {k}), $$
, das ab einem Anfangszeitpunkt $ t_0 $ für alle Zeiten $ t $ gelöst werden kann, vgl. OPs Frage. [Man sollte überprüfen, ob die Lösung
$$ \ hat {A} ^ {\ mu} (t; \ vec {k}) ~ = ~ \ int {\ rm d} t ^ {\ prime } ~ G (tt ^ {\ prime}; \ vec {k}) ~ \ hat {j} ^ {\ mu} (t ^ {\ prime}; \ vec {k}), \ qquad \ qquad (d ^ 2_t + \ vec {k} ^ 2) G (tt ^ {\ prime}; \ vec {k}) ~ = ~ \ delta (tt ^ {\ prime}), $$
erfüllt den Lorenz Messgerät Zustand. Dies folgt aus der Kontinuitätsgleichung.]
III) Es ist interessant, die vollständige Lösung $ \ tilde {A} ^ {\ mu} (k) $ in $ k ^ {\ nu} $ - abzuleiten. Impulsraum ohne Messgerätfixierung. Die Fourier-transformierten Maxwell-Gl. Lesen Sie
$$ M ^ {\ mu} {} _ {\ nu} ~ \ tilde {A} ^ {\ nu} (k) ~ = ~ \ tilde {j} ^ {\ mu} (k), \ qquad \ qquad M ^ {\ mu} {} _ {\ nu} ~: = ~ k ^ 2 \ delta ^ {\ mu} _ {\ nu} -k ^ {\ mu} k _ {\ nu}. $$
Um fortzufahren, muss die Matrix $ M ^ {\ mu} {} _ {\ nu} $ auf festes $ k ^ {\ lambda} $ analysiert werden. Es gibt drei Fälle.
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Konstanter Modus $ k ^ {\ mu} = 0 $. Dann verschwindet die Matrix $ M ^ {\ mu} {} _ {\ nu} = 0 $ identisch. Maxwell Gl. können nur erfüllt werden, wenn $ \ tilde {j} ^ {\ mu} (k = 0) = 0 $ Null ist. Das Eichpotential $ \ tilde {A} _ {\ mu} (k = 0) $ wird durch Maxwell-Gleichungen überhaupt nicht eingeschränkt, dh es gibt eine vollständige $ n $ -Parameterlösung.
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Massiver Fall $ k ^ 2 \ neq 0 $. Die Matrix $ M ^ {\ mu} {} _ {\ nu} $ ist diagonalisierbar mit dem Eigenwert $ k ^ 2 $ (mit der Multiplizität $ n-1 $) und dem Eigenwert $ 0 $ (mit der Multiplizität $ 1 $). Letzteres entspricht einem reinen Messmodus $ \ tilde {A} ^ {\ mu} ~ \ propto ~ k ^ {\ mu} $. Die vollständige Lösung ist eine $ 1 $ -Parameterlösung der Form $$ \ tilde {A} ^ {\ mu} (k) ~ = ~ \ frac {\ tilde {j} ^ {\ mu} (k)} {k ^ 2} ~ + ~ ik ^ {\ mu} \ tilde {\ Lambda} (k). $$ Abgesehen vom Quellterm ist dies ein reines Messgerät.
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Massless case $ k ^ 2 = 0 $ und $ k ^ {\ mu} \ neq 0 $. Die Matrix $ M ^ {\ mu} {} _ {\ nu} $ ist nicht diagonalisierbar. Es gibt nur den Eigenwert $ 0 $ (mit der Multiplizität $ n-1 $). Maxwell-Gl. können nur erfüllt werden, wenn die Quelle $ \ tilde {j} ^ {\ mu} (k) = \ tilde {f} (k) k ^ {\ mu} $ proportional zu $ k ^ {\ mu} $ mit ist ein Proportionalitätsfaktor $ \ tilde {f} (k) $. In diesem Fall ist Maxwell Gl. werde $$ -k _ {\ mu} \ tilde {A} ^ {\ mu} (k) ~ = ~ \ tilde {f} (k). $$ Lassen Sie uns einen $ \ eta $ -dualen Vektor $ ^ 1 $ $$ k ^ {\ mu} _ {\ eta} ~: = ~ (-k ^ 0, \ vec {k}) \ qquad {\ einführen rm für} \ qquadk ^ {\ mu} ~ = ~ (k ^ 0, \ vec {k}). $$ Beachten Sie, dass $$ k _ {\ mu} ~ k ^ {\ mu} _ {\ eta} ~ = ~ (k ^ 0) ^ 2 + \ vec {k} ^ 2 $$ ist nur das euklidische Distanzquadrat im Impulsraum $ k ^ {\ mu} $. Die vollständige Lösung ist eine $ (n-1) $ - Parameterlösung der Form $$ \ tilde {A} ^ {\ mu} (k) ~ = ~ - \ frac {k ^ {\ mu} _ {\ eta }} {k _ {\ nu} ~ k ^ {\ nu} _ {\ eta}} \ tilde {f} (k) ~ + ~ ik ^ {\ mu} \ tilde {\ Lambda} (k) ~ + ~ \ tilde {A} ^ {\ mu} _ {T} (k). $$
Der zu $ k _ {\ mu} $ proportionale Term ist reines Maß. Hier bezeichnen $ \ tilde {A} ^ {\ mu} _ {T} (k) $ $ n-2 $ Transversalmodi, $$ k _ {\ mu} ~ \ tilde {A} ^ {\ mu} _ {T. } (k) ~ = ~ 0, \ qquad \ qquadk _ {\ mu} ^ {\ eta} ~ \ tilde {A} ^ {\ mu} _ {T} (k) ~ = ~ 0. $$ Die $ n-2 $ Transversal-Modi $ \ tilde {A} ^ {\ mu} _ {T} $ sind die einzigen sich ausbreitenden physischen d.o.f. (elektromagnetische Wellen, Photonenfeld).
ol> -
$ ^ 1 $ Längs- und zeitliche Polarisationen befinden sich in der masseloser Fall proportional zu $ k ^ {\ mu} \ pm k ^ {\ mu} _ {\ eta} $.