$ \ newcommand {\ t} {[\ text {time}]} \ newcommand {\ e} {[\ text {energy}]} \ newcommand {\ a} {[\ text {angle}]} \ neuer Befehl {\ l} {[\ text {Länge}]} \ neuer Befehl {\ d} [1] {\; \ mathrm {d} # 1} $ Abmessungen gegen Einheiten :

Ich möchte eine pädagogische Vermutung anstellen, warum Winkel bei einer Dimensionsanalyse als dimensionslos betrachtet werden. Bevor Sie dies tun, sollten Sie beachten, dass die Winkel Einheiten haben. Sie sind einfach dimensionslos. Die Definition der Maßeinheit lautet wie folgt:

Eine Maßeinheit ist eine bestimmte Größe einer physikalischen Größe, die durch Konvention oder Gesetz definiert und übernommen wird und als Standard für verwendet wird Messung der gleichen physikalischen Größe.

Tatsächlich gibt es viele Einheiten zum Messen von Winkeln wie Bogenmaß, Winkel, Bogenminute, Bogensekunde usw. Sie können einen Blick darauf werfen Diese Wikipedia-Seite enthält weitere Informationen zu Winkeleinheiten.

Die Dimension eines Objekts ist eine abstrakte Größe und unabhängig davon, wie Sie diese Größe messen. Zum Beispiel ist die Krafteinheit Newton, was einfach $ kg \ cdot m / s ^ 2 $ ist. Die Dimensionen der Kraft sind jedoch

$$ [F] = [\ text {mass}] \ frac {[\ text {length}]} {\ t ^ 2} $$

wird manchmal als

$$ [F] = [M] \ frac {[X]} {[T] ^ 2} $$

aber ich bleibe bei der ersten Konvention. Der Unterschied zwischen Einheiten und Abmessungen besteht im Wesentlichen darin, dass die Abmessungen einer Menge eindeutig sind und definieren, was diese Menge ist. Die Einheiten der gleichen Menge können jedoch unterschiedlich sein, z. Die Krafteinheiten können durchaus $ Unzen \ cdot Zoll / ms ^ 2 $ sein.

Winkel als dimensionslose Größen

Warum wir Wenn ich Winkel als dimensionslose Größen betrachten möchte, möchte ich Beispiele nennen und die Konsequenzen von Winkeln mit Dimensionen betrachten:

Wie Sie wissen, ist die Winkelfrequenz durch

$$ \ omega gegeben = \ frac {2 \ pi} T \ ;, $$

wobei $ T $ die Periode der Schwingung ist. Lassen Sie uns eine Dimensionsanalyse durchführen, als ob Winkel Dimensionen hätten. Ich werde die Dimension einer Menge in eckigen Klammern $ [\ cdot] $ angeben, wie ich es oben getan habe.

$$ [\ omega] \ overset {\ text {per definitionem}} {=} \ frac {[\ text {angle}]} {[\ text {time}]} $$

Mit der obigen Formel haben wir jedoch

$$ [\ omega] = \ frac {[2 \ pi]} {[T]} = \ frac {1} {[\ text {time}]} \; , \ tag 1 $$

Da eine Konstante als dimensionslos angesehen wird, habe ich den $ 2 \ pi $ -Faktor verworfen.

Dies ist eine gewisse Unannehmlichkeit im Begriff der Dimensionsanalyse. Einerseits haben wir $ [\ text {angle}] / \ t $, andererseits haben wir nur $ 1 / \ t $. Sie können sagen, dass $ 2 \ pi $ die Dimensionen des Winkels darstellt, also ist das, was ich in der Gleichung (1) getan habe, d. H. Die Konstante $ 2 \ pi $ als dimensionslose Zahl zu verwerfen, einfach falsch. Die Geschichte endet hier jedoch nicht. Es gibt einige Faktoren von $ 2 \ pi $, die in Gleichungen zu häufig vorkommen, als dass wir eine neue Konstante definieren, z. die reduzierte Plankenkonstante, definiert durch

$$ \ hbar \ equiv \ frac {h} {2 \ pi} \; , $$

wobei $ h $ die Konstante der Planke ist. Die Plankenkonstante hat die Dimensionen $ \ text {energy} \ cdot \ t $. Wenn Sie nun sagen, dass $ 2 \ pi $ Winkelabmessungen hat, würde dies auch darauf hinweisen, dass die reduzierte Plankenkonstante Einheiten von $ \ e \ cdot \ t / \ a $ hat, was nahezu Unsinn ist, da es nur eine Frage ist der Einfachheit halber schreiben wir $ \ hbar $ anstelle von $ h / 2 \ pi $, nicht weil es etwas mit Winkeln zu tun hat, wie es bei der Winkelfrequenz

Zusammenfassend :

• Abmessungen und Einheiten sind nicht identisch. Die Abmessungen sind eindeutig und geben an, um welche Menge es sich handelt, während die Einheiten angeben, wie Sie diese bestimmte Menge gemessen haben.

• Wenn der Winkel Dimensionen hätte, müssten wir eine Zahl zuweisen, die weder eine Einheit noch eine Dimension hat, eine Dimension, was wir nicht gerne tun würden, da dies zu Missverständnissen führen kann war im Fall von $ \ hbar $.

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Wenn Sie den oben genannten Ansatz nicht gekauft haben oder finde es ein bisschen kreisförmig, hier ist ein besserer Ansatz: Winkel sind böse Mengen und sie spielen nicht so schön, wie wir wollen. Wir stecken immer einen Winkel in eine trigonometrische Funktion wie Sinus oder Cosinus. Mal sehen, was passiert, wenn die Winkel Abmessungen haben. Nehmen Sie die Sinusfunktion als Beispiel und approximieren Sie sie durch die Taylor-Reihe:

$$ \ sin (x) \ ca. x + \ frac {x ^ 3} 6 $$

Jetzt haben wir gesagt, dass $ x $ Winkelabmessungen hat, so dass wir

$$ [\ sin (x)] \ approx \ a + \ frac {\ a ^ 3} 6 $$ haben

Beachten Sie, dass wir $ \ a $ mit $ \ a ^ 3 $ hinzufügen müssen, was physikalisch keinen Sinn ergibt. Es wäre, als würde man $ \ t $ mit $ \ e $ hinzufügen. Da es keinen Weg gibt, dieses Problem zu umgehen, deklarieren wir $ \ sin (x) $ gerne als dimensionslos, was uns zwingt, einen Winkel dimensionslos zu machen.

Ein weiteres Beispiel für ein ähnliches Problem sind Polarkoordinaten . Wie Sie vielleicht wissen, ist das Linienelement in Polarkoordinaten gegeben durch:

$$ \ ds ^ 2 = \ dr ^ 2 + r ^ 2 \ d \ theta ^ 2 $$

Ein Mathematiker hat kein Problem mit dieser Gleichung, weil er sich nicht für Dimensionen interessiert, aber ein Physiker, der sich tief für Dimensionen interessiert, kann nachts nicht schlafen, wenn er möchte, dass Winkel Dimensionen haben, wie Sie leicht überprüfen können Die Dimensionsanalyse bricht zusammen.

$$ [\ ds ^ 2] = \ l ^ 2 = [\ dr ^ 2] + [r ^ 2] [\ d \ theta ^ 2] = \ l ^ 2 + \ l ^ 2 \ cdot \ a ^ 2 $$

Sie müssen $ \ l ^ 2 $ mit $ \ l ^ 2 \ cdot \ a ^ 2 $ hinzufügen und gleich setzen $ \ l ^ 2 $, was Sie in der Physik nicht tun. Es ist wie das Hinzufügen von Tomaten und Kartoffeln. Um mehr darüber zu erfahren, warum Sie nicht zu unterschiedliche Einheiten hinzufügen sollten, lesen Sie diese Frage und die darauf gegebenen Antworten.

Fazit: Wir sagen, dass Winkel keine Dimensionen haben, weil sie uns sonst zu viele Kopfschmerzen bereiten, während wir eine Dimensionsanalyse durchführen.

Die Frage Ihres Freundes ist scharfsinnig, steht jedoch nicht im Widerspruch zu Ihrer früheren Antwort.

Wenn Sie die Länge von etwas mit einer Einheit (1 Meter) vergleichen, ist das Verhältnis tatsächlich eine Zahl ohne Einheit.

Aber dann sind alle Zahlen (1.5, $ \ pi $, 42) ohne Einheit. Wenn Sie die Geschwindigkeit bestimmen möchten, teilen Sie die Verschiebung durch die Zeit - jede hat Einheiten. Aber was Sie in Ihren Rechner eingeben, sind nur die Zahlen - Sie behandeln die Einheiten separat.

"Der Läufer legte in 10 Sekunden 100 Meter zurück. Was war seine Durchschnittsgeschwindigkeit?" Wird gelöst, indem das numerische Verhältnis 100/10 berechnet und das Maßverhältnis m / s addiert wird, um die Einheiten zu erhalten. Die meisten Taschenrechner haben (oder benötigen) keine Möglichkeit, Einheiten einzugeben (einige hochentwickelte Computerprogramme tun dies, um Fehler durch Mischen von Einheiten zu vermeiden).

Für einige physikalische Berechnungen müssen Sie den Logarithmus verwenden - Wenn Sie dies tun, müssen Sie die Menge IMMER durch einen Skalierungsfaktor mit denselben Einheiten teilen, da es nicht möglich ist, das $ \ log $ einer Einheit zu nehmen.

Es ist möglich, alles als dimensionslose Zahl auszudrücken. Vitruvius, ein antiker Autor, der ein überlebendes Buch über römische Architektur geschrieben hat, enthüllt, dass die alten Römer ihre hydrostatischen und architektonischen Berechnungen auf der Grundlage rationaler Brüche vorgenommen haben, die Verhältnisse einer Größe zu einer anderen sind Da sich das Arbeiten mit allen Größen als Verhältnisse als umständlich und schwierig erweisen würde, werden physikalische Größen wie Länge, Zeit, Geschwindigkeit, Impuls, elektrischer Strom, Druck usw. in vereinbarten Einheiten ausgedrückt.

Ein weiterer Grund für Das Ausdrücken physikalischer Größen als vereinbarte Einheiten bedeutet, dass eine Dimensionsanalyse möglicherweise nicht möglich wäre, wenn alle physikalischen Größen als Verhältnisse ausgedrückt würden. Das Arbeiten mit Einheiten anstelle von Verhältnissen bietet daher ein weiteres Werkzeug zum Überprüfen und Validieren physikalischer Gleichungen, die auf der linken und rechten Seite die gleichen Abmessungen haben müssen.

Ein Artikel, der im Control Systems Magazine von Bernstein et al. al., Dezember 2007, und einer, der sich auf die algebraische Struktur von Dimensionsgrößen konzentriert, argumentiert, dass Winkel nicht unbedingt als dimensionslose Größe betrachtet werden sollten, sondern als dimensionslose Einheit - die während einer Berechnung berücksichtigt wird. Der Artikel erweitert die Einheitenanalyse auf Matrizen, lineare und Zustandsraumsysteme.

Außerdem gibt es entgegen Floris Aussage keinen Grund, warum Sie keine nichtlinearen Funktionen von Einheiten haben können (z. B. Bogenmaß). Um von Punkt A nach Punkt B zu gelangen. (Aber Sie müssen auf Singularitäten achten!) Sie müssen nur sicherstellen, dass sich die Einheiten in Punkte C verwandelt haben, bei denen C eine beobachtbare Größe ist körperlich sinnvoll. Letztendlich kommt es auf die algebraische Konsistenz an.

Und in der Schlussfolgerung des Artikels "Physikalische Dimensionen sind die Verbindung zwischen mathematischen Modellen und der realen Welt". Ich habe festgestellt, dass viele (zumindest unter Ingenieuren) dieser Tatsache nicht genügend Aufmerksamkeit schenken.

Sie müssen prüfen, ob eine Menge skalierungsinvariant oder allgemeiner in Bezug auf eine Änderung der Einheiten invariant ist. Winkel haben diese Eigenschaft: Sie werden als Längenverhältnis definiert, das beide proportional zur geometrischen Figur skaliert. Eine gleichmäßige Erweiterung eines Kreises, einer Kugel oder einer anderen geometrischen Figur (entspricht der Multiplikation unserer Längeneinheiten mit einem Umrechnungsfaktor von Metern zu Fuß zu Standard-Snozfurgles) lässt das Verhältnis von zwei beliebigen Abständen zwischen zwei beliebigen Punktpaaren unverändert.

Dasselbe gilt nicht für das Verhältnis einer dimensionierten Länge zur Längeneinheit. Stellen Sie die Länge als Liniensegment in einem Koordinatendiagramm dar. Erweitern Sie das Koordinatendiagramm wie oben und beobachten Sie, wie es schrumpft / wächst. Jetzt skaliert die Einheitslänge nicht auf die gleiche Weise: Sie wird als physikalische Länge definiert: ein Einheitsmessstab, eine Anzahl von Wellenlängen usw. Diese natürlichen Dinge ändern sich nicht mit willkürlichen Erweiterungen, die wir für unsere Koordinatensysteme vornehmen.

Es stimmt, dass die Länge als Verhältnis zu 1 Meter (oder einer anderen Einheit) ausgedrückt werden kann. Aber diese Einheit selbst, d. H. Die Idee von "1 Meter" selbst, ist nicht dimensionslos. Was ich damit sagen will ist, dass die Einheit "1 Meter" selbst nicht als Verhältnis ähnlicher Mengen gleicher Abmessungen ausgedrückt werden kann; wohingegen "1 Bogenmaß" als das Verhältnis der Bogenlänge von "1 Meter" zum Radius von "1 Meter" ausgedrückt werden kann

"In diesem Sinne ist gerade Länge ein Verhältnis. Von der Länge eines bestimmten Dings durch die Länge von 1 Meter. Sind die Längen also dimensionslos?"

Nein, wenn sie wo waren, woher kam dann der 1 Meter , warum war es nicht 1 Fuß oder 1 Meile?

Weil die Länge relativ ist, der Winkel jedoch absolut.

(Es gibt so etwas wie einen maximalen Winkel, mit dem Sie vergleichen können, aber keine maximale Länge.)

Bei der Durchführung einer Dimensionsanalyse sind einigen Begriffen physikalische Größen zugeordnet (z. B. Zeit, Ladung und Länge), einige haben Größen und Richtungen (z. B. Kraft, Drehmoment und Abstand) und einige haben keine. Einige wie Steigung und Drehung haben gekapselte Richtungen, aber keine physikalischen Größen [Steigung ist ein Verhältnis von Bewegung in eine Richtung zu Bewegung in einer anderen und ist nur im Kontext dieser Richtungen von Bedeutung]. Im Allgemeinen ist es bei der Anwendung auf Begriffe der realen Welt, bei denen nur die Richtung von Bedeutung ist, erforderlich, einen mit dem Begriff verknüpften Vektor mit einem anderen Vektor in der realen Welt zu kombinieren, wobei deren Länge in Bezug auf einen Einheitsvektor normalisiert wird

Angenommen, ein Seebett weist in Nord / Süd-Richtung eine Neigung von 75% nach unten auf, und jemand, der 4 Meter nördlich entlang der Oberfläche fahren möchte, möchte wissen, wie viel tiefer das Wasser sein wird. Teilen Sie zunächst die Entfernung "4 Meter nach Norden" durch einen Einheitsvektor in Nordrichtung, um eine Länge von 4 Metern zu erhalten. Dann multiplizieren Sie diese Länge mit der Steigung (0,75) und dann mit einem Einheitsvektor in Abwärtsrichtung, um einen Abstand von 3 Metern nach unten zu erhalten.

Beachten Sie, dass eine Konvertierung möglich ist eine Entfernung in die Summe von zwei oder mehr anderen Entfernungen in verschiedene Richtungen, aber Entfernungen können nur hinzugefügt werden, wenn sie in dieselbe Richtung gehen. Wenn jemand 14,14 Meter nordöstlich und dann 14,14 Meter nordwestlich fährt, bedeutet dies "10 Meter nördlich plus 10 Meter östlich" und "10 Meter nördlich plus -10 Meter östlich", was eine Summe von 20 Metern nördlich ergibt.

Drehwinkel sind etwas schwierig, da durch Anwenden der Drehung auf ein System alle darin enthaltenen Vektoren geändert werden, einschließlich derjenigen, die zum Definieren der Drehung verwendet werden. Es gelten jedoch dieselben Prinzipien: Die Länge der Rotationsvektoren ist im Verhältnis zur Länge eines Einheitsvektors signifikant. Da alle Einheitsvektoren dieselbe Länge haben (es wird als genau einer definiert), müssen Einheitsvektoren nur in Kontexten definiert werden, in denen die Richtung wichtig ist.

Meter bezieht sich auf etwas ganz Physisches. Zwei Personen sollten in der Lage sein, etwas zu messen, das als "Meter" bezeichnet wird, und sich einig sein, dass sie gleich sind. NIST sagt:

Der Zähler ist die Länge des Weges, den Licht im Vakuum während eines Zeitintervalls von 1/299 792 458 Sekunden zurücklegt. P. >

Winkel werden in Einheiten angegeben, z Grad oder Bogenmaß . $ 1 ^ \ circ $ ist $ \ tfrac {1} {360} $ einer vollen Kreisdrehung. Hoffentlich können wir uns alle darauf einigen, was das bedeutet. Möglicherweise nicht.

Im SI-Einheitensystem sind Winkel dimensionslos.Es gibt ein Einheitensystem, bei dem der Bogenmaß eine bestimmte Basiseinheit und der Steradiant eine tatsächlich abgeleitete Einheit ist.Siehe https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC61354/.

Winkel enthalten keine Informationen über den Ort in der Raumzeit.