Es gibt einen nicht subjektiven und ziemlich mathematischen Ansatz für diese Frage.

Erstens haben wir die einfachen linearen Proportionalitäten, die keine wirklichen physikalischen Gesetze sind, sondern nur Definitionen physikalischer Größen. Warum verschiedene sinnvolle messbare Größen normalerweise in linearen oder Potenzgesetz-Proportionen vorliegen, wird später näher erläutert. Ein Beispiel ist $ F = ma $ (definiert nur, was Kraft ist - es ist zweckmäßig, sie so zu definieren) und alle Einheitenumrechnungsformeln ( Im Wesentlichen gibt es nur eine Einheit - Zeit und Raum können durch $ x = ct $, Energie und Impuls gleich gemacht werden, dann haben Sie $ E = \ hbar \ omega $ von der Quantenmechanik und so weiter.

Lineare Beziehung ist nicht nur eine mathematische Sache. Linearität bedeutet, dass das Prinzip der Überlagerung gilt: Eine Summe von Ursachen erzeugt eine Summe von Wirkungen. Es ist fast universell, dass bei einem geringen Effekt die Störungstheorie gültig ist und Sie die erste Korrektur als linearen Term haben. Stellen Sie sich eine Taylor-Erweiterung vor: Es ist eine Potenzreihe, keine gebrochenen Exponenten. Dies bedeutet auch, dass viele dieser linearen Beziehungen eine Annäherung an eine schwache Störung darstellen. Es gibt das Ohmsche Gesetz, die Wärmeleitung, das Hakengesetz und so weiter. Selbst wenn Sie es weiter ausbauen, ist es immer noch ein Potenzgesetz. Dies kann jedoch nur eine Annäherung an ein allgemeines Ergebnis mit einer nichtlinearen Funktion sein (könnte exponentiell oder etwas Schlimmeres sein). Einige dieser Beziehungen sind jedoch genau: In der Elektrodynamik / Vakuumoptik ist das Überlagerungsprinzip von grundlegender Bedeutung. Dies bringt uns jedoch zum nächsten Punkt:

Naturgesetze sind lokal (ok, sie können variabel ausgedrückt werden, aber das ist eine andere Diskussion). Lokal bedeutet, dass Beziehungen zwischen Größen Differentialgleichungen gehorchen. Und Differentialgleichungen sind linear und verschieben den Exponenten nur um eins, wenn sie mit Potenzgesetzen betrieben werden. Sie sind normalerweise auch linear (Überlagerung), da Nichtlinearität höchstwahrscheinlich eine physikalische Interpretation eines Systems hat, das auf sich selbst einwirkt, indem es seine Umgebung ändert. Die Linearität in Differentialgleichungen ergibt nicht notwendigerweise Potenzgesetze: Alle exponentiellen und oszillatorischen Phänomene sind Ergebnisse linearer Differentialgleichungen. Nichtlinearität bedeutet hier etwas anderes: Abhängigkeit der Phänomene von der Amplitude. Ein lineares Differentialgesetz bedeutet, dass die doppelte Ursache die doppelte Wirkung hat. Nichtlinear bedeutet, dass die doppelte Ursache eine völlig unerkennbare Wirkung haben kann. Beispielsweise hat ein Pendel bei kleinen Amplituden eine konstante Frequenz. Wenn die Amplituden jedoch zu groß sind, tritt die Nichtlinearität ein und Sie können ein ziemlich interessantes Verhalten zeigen.

Grundgesetze sind normalerweise linear (z. B. Maxwell-Gleichungen), und es gibt eine inhärente Frage, warum Das Universum ist so schön und elegant. Tatsache ist, dass wenn es in einem System konservierte Größen gibt, die Beziehung zwischen ihnen etwas Einfaches ist.

Mit Differentialgleichungen sehen wir wieder nicht nur Gesetze, aber auch einfache Definitionen ... Geschwindigkeit als Ableitung der Position, Beschleunigung als Ableitung der Geschwindigkeit, das ist alles nur unsere Entscheidung, was zu messen ist. Es gibt auch $ dE = F \, dx $, um die durch die Kraft verursachte Arbeit (Energiebeitrag) zu erhalten, die zu allen quadratischen Energiegesetzen führt (natürlich: Wenn die Kräfte zumindest in Näherung linear sind, bringt Sie die Integration zum Quadrat ).

Ein sehr interessanter Punkt ist, dass grundlegende Naturgesetze keine Zeitableitungen von mehr als zwei beinhalten (Beschleunigung). Das hängt etwas mit der Erhaltung der Energie zusammen (Lagrange-Funktion) und sagt Ihnen, "wie weit ein Phänomen sehen kann" - wie viel über die Geschichte das Jetzt beeinflusst. Aber selbst bei höheren Ableitungen würden wir immer noch nur die Exponenten um 1 setzen.

Alles in allem können Sie also kein vernünftiges Differentialgesetz definieren, das Ihnen konstante, aber nicht ganzzahlige Exponenten liefert. Sie können rationale Exponenten erhalten, wenn Sie Größen ausdrücken, die unterschiedliche Potenzen zueinander haben (von $ a ^ 3 = b ^ 2 $ erhalten Sie $ a = \ sqrt [3] {b ^ 2} $), aber das ist nur eine algebraische Entwicklung.

Sie sehen seltsame Exponenten in empirischen Beziehungen: Wenn kein theoretisches physikalisches Gesetz dahinter steht, Sie aber eine gewisse Abhängigkeit gemessen und eine Funktion zum Zeichnen einer Kurve erstellt haben Durch die Messungen ist eine Potenzfunktion einfach genug, damit die Leute versuchen können, ob sie funktioniert. Dies ist wieder eine Annäherung und verbirgt wahrscheinlich ein allgemeineres theoretisches Ergebnis, das kein seltsames Potenzgesetz ist, sondern eine transzendentale Funktion oder etwas, das einfach zu kompliziert ist, um es algebraisch aufzuschreiben. Dies ist in der Materialwissenschaft sehr verbreitet: Die Abhängigkeit von Wärmekapazität, Leitfähigkeit usw. von Temperatur oder Strom sind sehr seltsame Funktionen. Transmissionsspektren sind noch schlechter. Wenn die Dinge kompliziert werden, ergeben eine Reihe linearer und nichtlinearer Prozesse zusammen ein komplexes Verhalten, das am besten nur auf einem Computer gemessen oder zumindest simuliert wird. Die Grundgesetze und , die Formeln unserer gewählten Grundgrößen definieren, sind jedoch meist linear oder zumindest überschaubar. Überlagerung und Proportionalität sind die natürlichsten Phänomene, und selbst außerhalb der Physik (Wirtschaft, allgemeine Statistik) ist dies genau der Fall.

Ich denke, eine sehr leicht verständliche Antwort ist, dass wir Menschen das Spiel manipulieren, um es uns leichter zu machen. Zum Beispiel drücken wir das Volumen einer Kugel als Funktion ihres Radius aus, weil der Radius einer Kugel für uns EINFACH zu messen ist. Wir sind faule Wesen:

$$ V_ {Kugel} = \ frac {4} {3} \ pi {R ^ 3} $$

Nehmen wir nun im Laufe des Menschen an In der Geschichte haben wir stattdessen beschlossen, das Volumen einer Kugel als Funktion ihrer Oberfläche auszudrücken:

$$ A_ {Kugel} = {4} \ pi {R ^ 2} $$$$ {R ^ 2 } = \ frac {A_ {Kugel}} {{4} {\ pi}} $$$$ {R ^ 3} = \ frac {A_ {Kugel} ^ {3/2}} {{8} {\ pi } ^ {3/2}} $$

Dann hätten wir;

$$ V_ {sphäre} = \ frac {1} {6} \ pi ^ {- 1/2} {A_ {Kugel} ^ {3/2}} $$

Der Exponent ist jetzt hässlicher, weil wir eine andere Eigenschaft gewählt haben, um unsere Kugel routinemäßig zu definieren. Aber niemand wird seine Oberfläche physikalisch messen wollen, um sein Volumen zu bestimmen. Das wäre dumm.

Ich werde eine weniger technische Antwort einbringen. Tatsächlich ist Exponent 1 noch dominanter als ganzzahlige Exponenten, d. H. Lineare Abhängigkeit zwischen Ursachen und Wirkungen. Und oft kommt Exponent 2 von der Integration dieses Effekts (d. H. Kinetische Energie) oder der Multiplikation zweier linearer Effekte, bei denen dieselbe Ursache auftritt.

Warum Linearität? Nun, das ist so einfach wie 1 und 1 ist 2, würde ich sagen! Dies ist einfach das ganz allgemeine Prinzip, dass in Abwesenheit einer sehr spezifischen Wechselwirkung die Verdoppelung der Intensität einer Ursache, die eine gewisse Wirkung hat, die Wirkung verdoppelt - z. B. doppelt so viel Trägheit für doppelt so viel Masse.

Bearbeiten: Die ausgezeichnete und detaillierte Antwort von Orion erweitert dies.

Eine einfachere Antwort wäre: Einheiten. Zum Beispiel würde in $ F = ma $ die Maßeinheit für Kraft mit den Maßeinheiten für Masse und Beschleunigung übereinstimmen. Per Definition ist ein Newton Kraft ein Kilogramm Masse, das um einen Meter pro Quadratsekunde beschleunigt wird. Es ist nicht erforderlich, die Gleichung durch Definieren einer anderen Einheit zum Messen der Kraft, die einen konstanten Multiplikator erfordert, zu überladen.

Im Fall von pi und anderen natürlichen Konstanten sind dies keine "gewählten" Zahlen. Diese Zahlen kommen in der Natur vor und haben in Mathematik, Physik und anderen Wissenschaften eine echte Bedeutung.

Sie stellen eine sehr interessante Frage. Die anderen Antworten hier verweisen auf einige gute Beispiele und vernünftige Erklärungen. Ich denke jedoch, dass sie nur die größte Ursache für Ihre Beobachtung berühren: den menschlichen Faktor.

Annahme

• Die meisten Formeln in der Physik haben ganzzahlige Exponenten.

Keine andere Antwort stellt diese Hypothese wirklich in Frage. Um einen unwiderlegbaren Beweis für diese Hypothese zu erhalten, müssten wir alle Formeln in der Physik vollständig aufzählen und sie in solche mit ganzzahligen Exponenten und solche mit nicht ganzzahligen Exponenten unterteilen. Als kollektiver Sucher und Wissensspeicher entdecken wir ständig neue Physik. Wird es jemals eine endgültige Gleichung geben? Wird es ein Ende geben, was wir sterblichen Wesen wissen können? Ich kann diese Fragen nicht beantworten.

Ich werde Ihre Frage stattdessen mit einer wahren Aussage über mich ablenken:

• Die meisten mir bekannten Formeln haben ganzzahlige Exponenten.

Unter der heutigen Bevölkerung habe ich ein überdurchschnittliches Verständnis der Physik. Unter den registrierten Nutzern dieser Website ist mein Verständnis der Physik wahrscheinlich weit unterdurchschnittlich. Auf einer absoluten Skala von allem, was Menschen über Physik wissen, ist mein Verständnis lächerlich unvollständig. Unabhängig davon, wie sich die Exponenten der absoluten Zählung gegenüber nicht ganzzahligen Exponenten physikalischer oder natürlicher Gesetze herausstellen, können wir meiner Meinung nach eine fundierte Erklärung für Ihre Beobachtung formulieren:

Sätze

• Dinge, die leicht zu verstehen sind, haben einfache Darstellungen.
• Ganzzahlige Exponenten sind für den Menschen leichter zu verstehen als gebrochene, irrationale und komplexe Exponenten.
• Formeln, die nicht ganzzahlig sind Exponenten werden mit Formeln verwandt sein oder sogar von Formeln abgeleitet, die ganzzahlige Exponenten haben.
• Menschliches Lernen (individuell, was notwendigerweise auf kollektives Lernen skaliert) beginnt mit dem Verstehen der einfachen Dinge.
• Versuche zu Verstehen Sie den Komplex, ohne die Grundlagen zu verstehen, sind weniger erfolgreich.

Deshalb

Und QED, die meisten Formeln, die ein beliebiger Mensch kennt, haben ganzzahlige Exponenten.

^{1 sup>: Neugierig zeigt ein hervorragendes Beispiel dafür mit der Kugel. Anwenden dieser Sätze auf dieses Beispiel:}

1. Ein (zweidimensionaler) Kreis ist leichter zu verstehen als eine (dreidimensionale) Kugel.
2. Eine (eindimensionale) Linie ist leichter zu verstehen als ein Kreis.
3. Beginnen Sie das Verständnis mit einem Punkt, dann einer Linie, dann einem Kreis und einer Kugel, den Gleichungen für jede würde auf den grundlegendsten, gemeinsam genutzten Elementen aufbauen: dem Mittelpunkt und dem Radius.
Daher kennen mehr Menschen die Formel für einen Kreis als für eine Kugel, weil sie einfacher und leichter zu verstehen ist und ist schon länger ein Teil des menschlichen Wissens.

Nun, das öffnet die Tür zu der Frage, die Sie wirklich beantworten möchten: warum? Oder besser erklärte: Warum beinhalten die grundlegendsten Gesetze der physischen Welt ganzzahlige Exponenten?

Das hängt meiner Meinung nach hauptsächlich davon ab, was Sie unter grundlegend verstehen. Aus menschlicher Sicht sind die grundlegendsten Gesetze diejenigen, die wir zuerst gelernt und am besten verstanden haben, was meine Argumentation wieder ins Spiel bringt. Aus der kosmischen Perspektive, welche Gesetze an den meisten Beziehungen des Universums beteiligt sind, von denen die makroskopische Sicht abhängt, sind die grundlegendsten Gesetze die Teilchenphysik mit hoher Energie und die Quantenmechanik. (Zumindest nehme ich an; ich glaube, ich habe bereits ausreichend deklamiert, dass ich auf diesem Gebiet nichts weiß.)

Ich weiß nicht, wie die Gleichungen in diesen Feldern aussehen. Wie Inquisitive zeigt, könnten Sie wahrscheinlich Möglichkeiten finden, einige oder alle Gleichungen in einem beliebigen Feld mit nicht ganzzahligen Exponenten auszudrücken. Wenn wir jedoch zu "der Theorie von allem" kommen, würde ich wetten, dass die beliebteste Form für die Gleichungen, die Form, die in Lehrbüchern aufgezeichnet und in Klassenzimmern gelehrt wird, so viele ganzzahlige Exponenten umfasst, wie wir fit machen können.

Ein köstliches Beispiel hierfür ist die Euler-Formel, die trigonometrische Funktionen anhand eines imaginären Exponenten beschreibt: e ^{ix sup>} = cos x + i sin x . Wikipedia fasst es mit den Worten zusammen: "Diese Formel kann so interpretiert werden, dass die Funktion e ^{ix sup>} eine komplexe Einheitszahl ist, dh den Einheitskreis in der komplexen Ebene als nachzeichnet x reicht durch die reellen Zahlen. " Mit anderen Worten, während der einfache, reale Kreis mit ganzzahligen Exponenten beschrieben wird, gibt es einen anderen Kreis, der mit imaginären Zahlen beschrieben werden kann. Wer soll sagen, was grundlegender ist? Oder was führt zu mehr Formeln oder einer breiteren Beschreibung von Physik und Realität?

In den meisten Fällen lautet die Antwort: Weil der Ersteller der Formel sie auf einfache Weise ausdrücken wollte .

ZB. In $ F = ma $ definieren wir die Masse ($ F / a $) als die Eigenschaft, die bei Anwendung einer bestimmten Kraft Widerstand gegen Beschleunigung bieten muss. Kurz gesagt, Newton hat sich dafür entschieden, dieses Modell so einfach wie möglich darzustellen.

Wir könnten einen anderen Wert für $ m $ verwenden, aber dies würde die Dinge nur komplexer machen, als sie sein müssen.

Seltsame Exponenten tauchen auf, wenn wir zuvor angenommene Axiome wie dieses kombinieren. Angenommen, ich mache eine neue Annahme, die auf diesen Gesetzen basiert. Ich kann nicht mehr definieren, was $ m $ ist, daher werden meine Ausdrücke komplexer.

Die Mathematik, mit der wir das Verhalten der Welt um uns herum beschreiben, hat zwei Arten von Größen: Werte und Einheiten. "3.4" ist ein Wert. "Meter" ist eine Einheit. Es gibt zusätzliche Regeln, denen Werteinheitspaare folgen müssen, damit die Ergebnisse eine physikalische Bedeutung haben:

• Zwei Werteinheitspaare müssen denselben Einheitentyp haben, wenn sie hinzugefügt werden oder subtrahiert, dh $ \ text {Länge} + \ Text {Länge} $, $ \ Text {Kraft} + \ Text {Kraft} $ usw. $ 1 \ Text {Meter} + 2 \ Text {Fuß} $ ist sinnvoll . $ 5 \ text {gallons} + 4 \ text {acres} $ nicht.
• Einheiten multiplizieren und teilen sich genau wie Werte. $ \ text {length} * \ text {length} = \ text {length} ^ 2 $. $ \ text {length} / \ text {time} = \ frac {\ text {length}} {\ text {time}} $ (die wir der Einfachheit halber in $ \ text {speed} $ umbenennen).
• Einheit-Wert-Paare, die verglichen werden, müssen denselben Einheitentyp haben. $ 5 \ text {Sekunden} < 1 \ text {Stunde} $ funktioniert. $ 5 \ text {Sekunden} < 1 \ text {inch} $ nicht (lassen Sie uns dies nicht relativieren).
• Werte ohne Einheiten entsprechen $ 1 $ für eine Einheit, also $ 2 * (4 \ text {cm}) = 8 \ text {cm} $.

Dies sind die Regeln und auch die einzigen zulässigen Operationen für Wert-Einheit-Paare. Jetzt können Sie bei jeder physikalischen Messung eine Reihe von Wert-Einheit-Paaren erstellen. Ist es nach den oben genannten Regeln möglich, einen gültigen Ausdruck mit nicht ganzzahligen Exponenten zu erstellen? Nein.

Wurzeln, einschließlich der Quadratwurzel, funktionieren manchmal. Die Formel für die Periode eines Pendels lautet $$ T = \ frac {1} {2 \ pi} \ sqrt {\ frac {L} {g}} $$ wobei $ T $ die Periode ist, $ L $ die Länge des Pendels, und $ g $ ist die Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft. Wenn Sie die Einheiten berechnen, ziehen Sie die Quadratwurzel von $ \ text {time} ^ 2 $, also $ \ text {time} $ (beachten Sie, dass $ \ pi $ der Umfang eines Kreises geteilt durch seinen Durchmesser ist : $ \ frac {\ text {length}} {\ text {length}} = 1 $). Eine Teilregel:

• Quadrat, Würfel oder eine andere Wurzel ist in Ordnung, solange das Ergebnis ein Produkt oder ein Quotient aus ganzzahligen Potenzen von Einheiten ist.

Niemand konnte $ \ sqrt {\ text {2 Meilen}} $ eine Bedeutung zuweisen. Mit "Bedeutung" meine ich so etwas wie "einen Weg finden, diese Menge zu messen". Ich kann mir vorstellen, wie man eine Quadratmeile Land oder eine Kubikmeile Wasser misst, aber was im Universum könnte eine Wurzelmeile haben?

"Aber warten Sie", sagen Sie, " Ich sehe viele andere Funktionen in wissenschaftlichen Formeln wie Sinus und Protokolle. Was ist mit ihnen? " Du hast recht. Zum Beispiel ist die Menge an radioaktivem Material, die in einer Probe verbleibt, gegeben durch $$ N (t) = N_0 e ^ {- t / \ lambda} $$ wobei $ N (t) $ die Anzahl der verbleibenden nicht verfallenen Atome ist, $ N_0 $ ist die ursprüngliche Zahl zum Zeitpunkt $ t = 0 $, und $ \ lambda $ ist eine Konstante, die die durchschnittliche Lebensdauer eines nicht zerfallenen Atoms angibt. Beachten Sie, dass $ t $ und $ \ lambda $ beide Zeiteinheiten haben, sodass der Gesamtexponent ohne Einheit ist. In dieser Gleichung ist der Exponent nicht nur keine ganze Zahl, sondern auch nicht konstant. Mit der Zeit wird es negativer.

Dies bringt mich zu einer weiteren Regel über Einheiten:

• Die Eingabe und Ausgabe von transzendentalen Funktionen (sin, cos, log, $ e ^ x $ usw.) muss ohne Einheit sein. Bearbeiten: Siehe Hinweis unten.

Wir können sehen, warum die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion verwendet wird: $$ e ^ x = 1 + x + \ frac {1} {2} x ^ 2 + \ frac {1} {6} x ^ 3 + \ cdots $$ Was würde passieren, wenn $ x $ eine Einheit $ X $ hätte? Der erste Begriff ist einheitlos; der zweite Term hat die Einheit $ X $; Der dritte Term hat die Einheit $ X ^ 2 $. Diese Mengen können gemäß den ersten Regeln nicht addiert werden, es sei denn, $ x $ war anfangs ohne Einheit (dh $ X = 1 $).

In der Wissenschaft wollen wir Aspekte des Universums um uns herum messen und studieren. Das heißt, wir interessieren uns für physikalische Messungen - Wert-Einheit-Paare. Wir Menschen haben die Mathematik erfunden, um mit Wert-Einheit-Paaren zu arbeiten, und uns die Regeln ausgedacht, weil sie funktionierten. Wir verstehen nicht, was $ \ text {length} + \ text {area} $ bedeuten könnte, deshalb stellen wir Regeln auf, um diese Berechnung unmöglich zu machen. Ganzzahlige Exponenten für Größen mit Einheiten sind das Ergebnis.

Wie Eli Rose in den Kommentaren hervorhob, müssen nicht nur transzendentale Funktionen einheitenlose Ein- und Ausgänge haben. Betrachten Sie den Lorentz-Faktor aus der Relativitätstheorie: $$ \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ 2}}. $$ Damit diese Formel physikalisch sinnvoll ist, $ \ beta ^ 2 $ (und Daher muss $ \ beta $) ohne Einheit sein, da $ 1 $ ohne Einheit ist. In der Relativitätstheorie ist $$ \ beta = \ frac {v} {c} $$, wobei $ v $ die Geschwindigkeit eines Objekts und $ c $ die Lichtgeschwindigkeit ist. Dies ergibt eine Einheit von $ 1 $. Die vollständige Lorentz-Formel lautet: $$ \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}}. $$

Wenn Sie sich Physik als die Untersuchung vorstellen, wie bestimmte Operatoren auf bestimmte Zustandsräume wirken (eine Übersetzung von "Sachen passieren in der Welt" in die Mathematik - die Operatoren sind die "Sachen passieren" und der Zustandsraum ist die "Welt" ") und Sie gehen weiter davon aus, dass die Operatoren in ihren Aktionen analytisch sind (dies ist ähnlich, aber eine stärkere Vorstellung als" glatt "), dh , dass es eine gibt $ \ epsilon>0 $ so, dass wir für jedes $ x $ innerhalb der "Entfernung" $ \ epsilon $ von einem Punkt $ x_0 $ die Aktion des Operators als konvergente Taylor-Reihe beschreiben können, dann können Beziehungen zwischen Operatoren als durch Differential gegebene Beziehungen ausgedrückt werden Gleichungen, die nur ganzzahlige Koeffizienten des Differenzierungsoperators enthalten, dh es gibt nur Terme der Form $ D ^ n \, T $, wobei $ D $ Differenzierung ist und $ T $ der Operator in Frage. Daher erscheinen in den Formeln nur ganzzahlige Potenzen.

Dieses Argument ist insofern etwas zirkulär, als die Annahme konvergenter Taylor-Reihen nur eine andere Möglichkeit ist, letztendlich zu sagen, dass Sie nur ganzzahlige Potenzen erhalten. Selbst nicht ganzzahlige Potenzen von Operatoren können, wenn sie sinnvoll sind, oft in Form von unendlichen Taylor-Reihen geschrieben werden. Man könnte also argumentieren, dass wir Physik betreiben könnten, indem wir genügend Terme verwenden, wenn die "realen" Beziehungen nicht ganzzahlige Potenzen wären, und somit eine erhalten endliche Reihen, die experimentell nicht vom "realen" Operator zu unterscheiden wären.

Eine andere Art, darüber nachzudenken, besteht darin, dass Menschen dazu neigen, Probleme in leicht verständliche Teile zu zerlegen. Zum Beispiel gibt es mit Newtons zweitem Gesetz kein grundlegendes Problem bei der Definition der Kraft unter Verwendung der von Ihnen erwähnten seltsamen Exponenten, aber Ableitungen, die sich aus dieser Definition ergeben, werden sehr schnell chaotisch. Es ist viel bequemer, Kraft als $ ma $ in Richtung der Beschleunigung zu definieren. Wir verwenden dies dann als einfachen Baustein für kompliziertere Probleme. Der einfache harmonische Oszillator oder der angetriebene gedämpfte Oszillator bauen beispielsweise auf $ F = ma $ auf, haben jedoch keinen einfachen Exponenten in ihren Bewegungsgleichungen.

Nehmen Sie als zweites Beispiel das Coulombsche Gesetz. Wenn wir als ersten Schritt ein sphärisch symmetrisches Problem (d. H. Eine Punktladung) nehmen, ist das resultierende elektrische Feld sphärisch symmetrisch und wir erhalten $ r ^ 2 $ als Exponenten. Aus diesem einfachen Problem können wir härtere in einfachere zerlegen, die für uns sinnvoller sind. Durch Hinzufügen oder Integrieren aller Punktladungen in einem System können viel kompliziertere Felder entstehen, die keinem einfachen Exponenten ähneln (siehe zum Beispiel allgemeine Multipol-Erweiterungen).

Beispiele für hässliche Exponenten in Physik, Quantenmechanik und Optik sind voll von komplexen Phasenfaktoren und Fourier-Transformationen, bei denen Sie über einige $ e ^ {ikx} $ integrieren. Sogar diese Probleme haben den roten Faden komplizierter Probleme, die als Überlagerung einfacher Probleme aufgebaut sind, genau wie die oben erwähnte klassische Mechanik und Elektrostatik.

Ignorieren wir die uninteressanten Fälle, in denen gebrochene Exponenten aus schlechten Definitionen relevanter physikalischer Größen entstehen.

Im Allgemeinen hat die Einfachheit von Ausdrücken, die viele Phänomene regeln, mit der Existenz eindeutiger Längen- / Zeitskalen zu tun. In allgemeinen Situationen, in denen es mehrere Längenskalen gibt oder wenn es keine Längenskalen gibt, finden Sie häufig Bruchexponenten. In Strömungsmechanik finden Sie zahlreiche Beispiele, in denen häufig mehrere Skalen vorhanden sind. Sie finden gebrochene Exponenten auch dann, wenn das System skalierungsinvariant ist, z. B. bei Phasenübergängen zweiter Ordnung.

Der Grund dafür ist nicht nur "Einfachheit", wie andere betont haben. Dies liegt auch an der Art und Weise, wie diese Ausdrücke entstehen.

Normalerweise haben wir eine einfache, lineare Beziehung, die intuitiv oder aufgrund von Definitionen erhalten wird. dh $$ v = a * t $$

Die zurückgelegte Geschwindigkeit ist die Beschleunigung $ v $ multipliziert mit der Zeit $ t $. Wenn wir nun die zurückgelegte Strecke aufgrund der Beschleunigung erhalten möchten, integrieren wir dieser Ausdruck wrt Zeit und erhalte $$ x = \ frac {1} {2} a * t ^ 2 $$, was vertraut aussehen sollte; wie zum Beispiel $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $, welcher Impuls $ m * v $ die Zeit integriert. Dies erklärt sofort alle albernen $ \ frac {1} {2} $, die Sie in Gleichungen sehen. Im Wesentlichen wird die lineare Gleichung (dh Exponent 1) aufgrund der Integration quadratisch.

Der lustige Teil besteht darin, dass viele (praktisch alle) physikalische Gleichungen durch Differenzierung und Integration miteinander in Beziehung stehen Deshalb sind alle Physikstudenten verpflichtet, langweilige Kalkülkurse zu belegen.

Beachten Sie, dass die Integration oder Differenzierung in vielen Fällen jedoch einfacher dargestellt wird (weshalb Sie in der Physik der High School keinen Kalkül verwenden). Zum Beispiel ist

$$ E = F * s $$

(Energie entspricht Kraft mal Pfadlänge) eine einfachere Art zu beschreiben, dass Energie eine Kraft ist, die entlang ihres Pfades integriert ist.

Die Antwort auf Ihre Frage ist dreifach. Erstens kommt eine Reihe von ganzzahligen Exponenten aus der Definition von "Sein zur Macht von etwas". Zweitens sind grundlegende physikalische Gesetze (zumindest effektiv) regelmäßig und lokal, was keine nicht ganzzahligen Exponenten zulässt. Und drittens gilt die Nicht-Irrationalität von Exponenten nicht für nichtlineare Dynamik, kritische Phänomene in der Thermodynamik und bestimmte Formulierungen der Quantenmechanik.

1) Tautologische geometrische Kräfte stark>

Im einundzwanzigsten Jahrhundert werden wir von der modernen Mathematik verwöhnt, was uns das Gefühl gibt, dass jede Operation, die wir ausführen, irgendwie von einigen grundlegenden Axiomen gestützt wird. Dies war jedoch seit Jahrtausenden nicht der Fall, und die Mathematik des 20. Jahrhunderts baute nur ein Gerüst aus Axiomen um gut verstandene Mathematik, die bereits vorhanden war.

Lassen Sie mich also fragen: " Was bedeutet es , zwei nicht ganzzahlige Zahlen zu multiplizieren? " Wie würde ein Mathematiker des 19. Jahrhunderts das verstehen? Nun, er würde sagen, dass eine Multiplikation von zwei Zahlen $ a $ und $ b $, die als $ a \ cdot b $ bezeichnet werden, durch die Operation des Zeichnens eines Rechtecks ​​mit den Seiten $ a $ und $ b $ definiert wird und dann die Anzahl der Einheitsquadrate zählen, die hineinpassen. Nicht mehr und nicht weniger.

Beziehungen wie $ c ^ 2 = d ^ 3 $ haben dann auch eine genau definierte Bedeutung: Nehmen Sie einen Würfel mit der Seite $ d $ und ordnen Sie ihn in ein Rechteck um Quader mit einer Seite gleich $ 1 $ (in bestimmten Einheiten) und wenn die anderen beiden Seiten gleich sind, sind sie gleich $ c $ . Durch formelles Iterieren solcher Definitionen können Sie jeden rationalen Exponenten erreichen.

Anweisungen wie $ A _ {\ rm {C} (r)} = \ pi r ^ 2 $ sprechen nicht unbedingt über die Zahlen - sie Sprechen Sie über die Proportionalität zweier Objekte derselben Art: Wenn ich eine bestimmte Anzahl $ N $ von Einheitsquadraten in ein Quadrat von Seite $ r $ einpassen kann, wie lautet dann das Verhältnis $ M / N $ wo? $ M $ ist die Anzahl der Einheitsquadrate, die ich in einen Kreis mit dem Radius $ r $?

Wenn Sie sagen, ein Kreis hat eine Fläche von $ 1,2 \ rm m ^ 2 $, sprechen Sie nur von der Anzahl der "Einheits-Quadratmeter", die in ihn eingepasst werden können, aber von der "Einheits-Quadratmeter" "ist nur ein herkömmliches Referenzobjekt.

Sie können sich auch entscheiden, wie viele Wibbly-Gaga-Tonnen in den Kreis passen. Wibbly-Gaga-Tonnen können Fraktale der irrationalen fraktalen Dimension $ 1< \ alpha<2 $ und ein einzelner Längenparameter $ a $ sein, so dass der Bereich, den es abdeckt, $$ A _ {\ rm {Wgt} (a)} = K a ^ \ alpha $$ Ihre Proportionalitätsformel zwischen der Fläche eines Kreises mit dem Radius $ a $ und einer Wibbly-gaga-Tonne mit der charakteristischen Länge $ a $ lautet $$ A _ {\ rm {C} (a)} = \ pi a ^ 2 = \ pi K ^ {- \ frac {2} {\ alpha}} A _ {\ rm {Wgt} (a)} ^ {2 / \ alpha} $$ Nehmen wir an, wir richten jetzt ein Wibbly-gaga- Tonne mit $ a = 1 \ rm m $ als neuem Referenzobjekt. Dann würden wir die Fläche eines Kreises wie zum Beispiel $ 1.2 \, \ rm Wgt (1m) ^ {2 / \ alpha} $ ausdrücken. Das heißt, die meisten ganzzahligen Exponenten in der Geometrie sind konventionell.

Ich war gerade dabei, meine Antwort auf diese Frage zu schreiben, als eine Antwort akzeptiert wurde, also werde ich nur die veröffentlichen erster Teil und wird 2) und 3) nicht beenden.

Ich würde die Frage tatsächlich auf eine andere Ebene stellen: Warum haben die meisten Formeln in der Mathematik&science rationale Exponenten?

Die Sache ist - in gewisser Weise alles Exponenten sind rational: Die Potenzoperation wird zunächst nur für ganze Zahlen definiert (durch iterierte Multiplikation). Wenn wir dann die Gleichungen neu anordnen, entstehen Rationalitäten auf natürliche Weise als Wurzeln. Aber auf diese Weise kann man niemals zu irrationalen Exponenten gelangen. Nun ... natürlich können Sie durch Interpolation: Sie postulieren, dass $ x ^ y $ eine stetige Funktion von $ y $ ist (tatsächlich müssen Sie zuerst beweisen, dass $ y \ mapsto x ^ y $ erfüllt das $ \ epsilon $ - $ \ delta $ -Kriterium für $ \ mathbb {Q} $), und da die Rationalen in $ \ mathbb {R} $ dicht sind, können die Werte für alle $ x festgelegt werden \ in \ mathbb {R} $. Aber dies ist so ziemlich eine Ad-hoc-Sache, es ist nicht wie die Definition von $ \ pi $ oder $ \ sqrt {2} $, wo aus einer Definition folgt, dass ein Wert irrational sein muss . Solche Formeln tauchen in einigen physikalischen Anwendungen auf (wo nur angenommen wird, dass eine Beziehung ein Potenzgesetz ist und der Exponent durch Anpassung der kleinsten Quadrate erhalten wird), aber sie ergeben nicht wirklich sehr elegante mathematische Modelle.

Eine viel einfachere Art und Weise, wie „irrationale Exponenten“ auftauchen, die Sie in der Wissenschaft immer wieder finden, ist als Argument für die Exponentialfunktion $ \ exp $. In diesem Fall ist es natürlich, reelle Zahlen anstelle von nur Rationalen zu verwenden, da die Funktion selbst eher durch Kalkül als durch Algebra definiert wird (als Lösung für die Differentialgleichung $) f '(x) = x $ mit $ f (0) = 1 $. Wenn Sie so wollen, macht $ \ exp $ als Funktion der Rationalen nicht einmal Sinn, es kommt nur so vor, dass es zusammenfällt, wenn es auf Rationalen bewertet wird mit $ e ^ x $ wobei $ e = 2.718 ... $. Aber die Exponentialfunktion ist dennoch keine Potenzfunktion, sondern nur eine besonders wichtige Elementarfunktion. Wenn diese Funktion für ein physikalisches Modell gewählt wird, ist dies normalerweise nicht der Fall viel wegen seiner algebraischen Eigenschaften (Potenzgesetze), aber weil eine Differentialgleichung ihrer Definition ähnelt oder ein Integral leicht gelöst werden kann, wenn der Kern zB Gauß-förmig ist (was viel damit zu tun hat die unterschiedlichen Eigenschaften).

Mit einem ähnlichen Argument wie @Jason sollten wir uns zunächst auf die Art der von uns verwendeten Observablen sowie auf Geometrie und Erhaltungssätze konzentrieren.

Sicherlich verwenden wir Zeit, Raum und Masse als Referenz, gerade weil die Gesetze der Physik diese Größen auf einfache Weise in Beziehung setzen. Genau aus diesem Grund konnten wir überhaupt Zusammenhänge entdecken.

Die Wissenschaft hat einen konzeptionellen Rahmen geschaffen, der auf diesen Einheiten und dem Prinzip der Messung basiert: Wir beschäftigen uns mit messbaren Größen und drücken die Ergebnisse aus in einem Einheitensystem. Das Einheitensystem ist auf jeden Fall beliebig. Beliebig bedeutet hier, dass es sich um ein beliebiges System handeln kann, solange wir uns auf die Definition einiger Referenzwerte einigen. Infolge dieser Willkür können wir eine dimensionale Analyse durchführen.

Einige Worte zu den Abmessungen. Die Geometrie unterliegt einigen Einschränkungen für Einheiten und Dimensionsanalysen. Erhaltungsgesetze (Massenerhaltung, Energieeinsparung usw.) werden durch die Geometrie geregelt. Das durch eine Punktladung erzeugte elektrische Feld variiert als $ r ^ {- 2} $, da wir uns in drei Raumdimensionen befinden (in einem Raum von $ d $ Dimensionen würde es als $ r ^ {- (d-1)} abnehmen. $ nach Gaußschem Gesetz). Viele andere Beispiele können gefunden werden. Geometrie- und Erhaltungsgesetze liefern meist ganzzahlige Exponenten. Im Allgemeinen legt die Geometrie einfache Skalierungsgesetze fest, die von ganzzahligen Exponenten bestimmt werden.

Angenommen, wir suchen jetzt nach dem Ergebnis $ A $ eines physikalischen Experiments mit einigen Parametern $ p $, $ q $, $ r $. Wenn wir annehmen, dass $ A $ proportional zu einer Kombination der Form $ p ^ xq ^ yr ^ z $ ist, wobei $ x $, $ y $ und $ z $ unbekannte Exponenten sind, ergibt die Dimensionsanalyse ziemlich oft eine einzige Lösung. Zum Beispiel fällt ein Objekt der Masse $ m $ aus einer Höhe $ h $. Wie lange dauert der Herbst? Die Lösung ist $ t \ propto m ^ xh ^ yg ^ z $ ($ g $ ist die Beschleunigung der Schwerkraft). Wir finden, dass $ x = 0 $ (es hängt nicht von der Masse ab) $ y = 1/2 $ und $ z = -1 / 2 $. Wir haben rationale Zahlen erhalten, weil wir ein lineares System mit ganzzahligen Koeffizienten gelöst haben.

Bei Problemen mit mehr Parametern muss die Dimensionsanalyse verbessert werden, um dimensionslose Größen in Beziehung zu setzen. Wenn wir in meinem Beispiel die Reibung während des Sturzes berücksichtigen, ist die Größe $ Q = (\ frac {\ alpha} {m}) ^ 2 \ frac hg $ (wobei $ \ alpha $ der Reibungskoeffizient ist) ist der Parameter einer transzendentalen Gleichung für $ u = \ frac {\ alpha} mt $, die $ \ mathrm e ^ {- u ist } + u = 1 + Q $. Die dimensionslosen Größen werden aus den gleichen Gründen wie im ersten Fall mit rationalen Exponenten gebildet.

In Situationen, die Parameter ohne Dimension enthalten, können nicht rationale Exponenten auftreten. Betrachten Sie zum Beispiel ein Polymer, das aus $ N $ Monomeren der Länge $ a $ gebildet wird. Wenn sich dieses Polymer in einem guten Lösungsmittel befindet, ist seine Verlängerung $ R = aN ^ \ nu $, wobei $ \ nu = 0,588 ... $ eine nicht rationale Zahl ist. Die Dimensionsanalyse kann nichts dazu sagen. Es heißt nur, dass der Exponent von $ a $ $ 1 $ sein muss.

Diese Antwort begann als Kommentar zu orions hervorragender Antwort. Ich würde es gerne erweitern. Hier werden zwei verschiedene Messklassen angesprochen: Geometrische Messungen und Messungen physikalischer Phänomene. Ich werde sie separat ansprechen.

Die geometrischen Messungen wie $ A = πr ^ 2 $ haben rationale Exponenten, weil die Beziehung zwischen Messungen derselben Dimension sind linear , und Beziehungen, die um N Dimensionen variieren, beziehen sich auf die N + 1-Potenz.

Das heißt, ein Quadrat mit der doppelten Seitenlänge eines Einheitsquadrats hat doppelt so breit wie die Breite, da sowohl Länge als auch Breite die gleiche Abmessung haben. Das gleiche Quadrat hat jedoch $ 2 ^ {(1 + 1)} = 4 $ mal die Fläche des Einheitsquadrats, da die Fläche eine Dimension höher als die Länge ist.

Die physische Phänomenmessungen wie $ F = ma $ haben rationale Exponenten, wenn die Energieeinsparung eine Einschränkung darstellt.

Die Kraft, die ein 1-kg-Buch auf den Tisch legt, ergibt sich aus der Summe Masse der baryonischen Komponenten des Buches, auf die die durch die Schwerkraft definierte Krümmung der Raumzeit einwirkt. Durch Verdoppeln der Menge an baryonischen Partikeln wird die Menge an Energie verdoppelt, auf die eingewirkt wird. Wenn Sie physikalische Messungen mit anderen Exponenten als 1 sehen, z. B. $ F = G \ frac {m_1 m_2} {r ^ 2} $ (Exponent -2 ), werden Sie feststellen, dass die Beziehungen von "Woher kommt die Energie?" wird ziemlich komplex. Hier haben Sie zwei Massen, die beide "der Raumzeit sagen, wie sie sich biegen sollen", was in der Tat eine recht komplexe Beziehung ist.

Gute Frage, und ich habe keine gute allgemeine Antwort.

In dem konkreten Beispiel, das Sie zitieren, liegt es jedoch daran, dass die minimale Raumdimension, in die Sie den Kreis einschreiben können, eine Art Oberfläche ist, d. h eine Ebene oder die Oberfläche einer Kugel.

In ähnlicher Weise ist der Exponent bei der Formel für das Volumen einer Kugel drei - was darauf hinweist, dass ein Volumen nur in einen dreidimensionalen Raum eingeschrieben werden kann.

Ich denke, was symanzik138 geschrieben hat, ist der richtige Weg, darüber nachzudenken. Die Gesetze der Physik, die wir kennen und anwenden, sollten als wirksame Gesetze betrachtet werden, die man im Prinzip aus Grundgesetzen ableiten kann, indem man die Freiheitsgrade integriert, die die wirksamen Gesetze nicht beschreiben. Unabhängig davon, ob es sich um die Quantenfeldtheorie, die Fluiddynamik oder die klassische Mechanik handelt, ist dieses Bild immer gültig (außer natürlich, wenn man Kandidaten für die Theorie von allem in Betracht zieht).

Nun, gegeben, effektiv Theorie, die sich aus einer grundlegenderen Theorie ergeben soll, indem Freiheitsgrade, die auf einer Längenskala kleiner als $ \ Lambda $ existieren, integriert werden, sollte man in der Lage sein, die Freiheitsgrade zwischen $ \ Lambda $ und $ \ Lambda zu integrieren (1+ \ epsilon) $ und skalieren Sie dann die Längen um den Faktor $ 1- \ epsilon $ neu, sodass der Grenzwert in Bezug auf die neuen Längenvariablen auf den alten Wert zurückgesetzt wird. Dies hat dann den Effekt, dass das gesamte System neu skaliert wird. Dieses neu skalierte System ist genauso gut wie das ursprüngliche System, daher sollte es auch von demselben Modell beschrieben werden, mit der Ausnahme, dass sich die Parameter, die es definieren, geändert haben. Dies führt zu Differentialgleichungen für die Parameter des Modells in Bezug auf die Längenskala (das Ändern der Längenskala ist dasselbe wie das Beibehalten derselben, aber stattdessen das Ändern der Parameter auf eine bestimmte Weise).

Diese Gleichungen für die Skalentransformationen werden als "Renormierungsgruppentransformationen" bezeichnet. In Fällen, in denen es keine nichttriviale Integration über die durchzuführenden Freiheitsgrade gibt, führt dies zu einfachen Skalierungsbeziehungen mit ganzzahligen oder gebrochenen Exponenten, aber solche Exponenten können auch in nichttrivialen Fällen auftreten.

Ich denke, jeder hat die offensichtliche Antwort übersehen: Weil die Gleichungen der Physik einfach Mathematik verwenden, um die Funktionsweise des Universums zu modellieren. Geben Sie einen gebrochenen Exponenten in Ihr F = ma ein, und die Antworten kommen falsch heraus.

Nun, wenn Sie fragen, warum das Universum zufällig so ist ... Nun, ich weiß es nicht, aber Ich denke, es ist eher eine Frage der Philosophie als der Physik.