Sowohl p- als auch x-Operatoren als Operatoren haben keine Eigenvektoren im engeren Sinne. Sie haben Verteilungseigenvektoren, die nur in einem größeren Funktionsraum als dem Raum quadratnormalisierbarer Wellenfunktionen definiert sind und die nur dann als sinnvoll angesehen werden sollten, wenn sie durch eine glatte Testfunktion ein wenig verschmiert werden.

Die Normalisierung für $ \ langle \ psi_p | \ psi_p \ rangle $ ist unendlich, weil sich die p-Welle über den gesamten Raum erstreckt. In ähnlicher Weise ist die Normalisierung der Delta-Funktionswellenfunktion, des x-Operator-Eigenvektors, unendlich, da das Quadrat einer Delta-Funktion ein unendliches Integral hat.

Sie können Ihr Paradoxon mit $ | x \ rangle $ angeben gibt auch an:

$$ i \ hbar \ langle x | x \ rangle = \ langle x | (\ hat {x} \ hat {p} - \ hat {p} \ hat {x}) | x \ rangle = x \ langle x | \ hat {p} | x \ rangle - \ langle x | \ hat { p} | x \ rangle x = 0 $$

Da $ | x '\ rangle $ nur definiert wird, wenn es ein wenig verschmiert ist, müssen Sie für die beiden Vorkommen von x' eine separate Variable verwenden. . Schreiben Sie also die vollständige Matrix für diesen Fall aus:

$$ i \ hbar \ langle x | y \ rangle = x \ langle x | \ hat {p} | y \ rangle - \ langle x | \ hat {p} | y \ rangle y = (xy) \ langle x | \ hat {p} | y \ rangle $$

Und jetzt sind x und y separate Variablen, die unabhängig voneinander verschmiert werden können, wie erforderlich. Die Matrixelemente des p-Operators sind die Ableitung einer Delta-Funktion:

$$ \ langle x | \ hat {p} | y \ rangle = -i \ hbar \ delta '(xy) $$

Sie erhalten also

$$ (xy) \ delta '(xy) $$

Und Sie nehmen $ x = y $ naiv, indem Sie die erster Faktor auf Null, ohne zu bemerken, dass der Delta-Funktionsfaktor schrecklich singulär ist, und das Ergebnis ist daher ohne genauere Bewertung schlecht definiert. Wenn Sie mit glatten Testfunktionen für x und y multiplizieren, verschmieren Sie die Antwort ein wenig:

$$ \ int f (x) g (y) (xy) \ delta '(xy) dx dy = \ int f (x) g (x) dx = \ int f (x) g (y) \ delta (xy) $$

Wobei die erste Identifizierung aus der Integration von Teilen in x und dem Setzen aller Terme auf Null stammt, die bei der Bewertung der Delta-Funktion verschwinden. Das Ergebnis ist, dass

$$ (xy) \ delta '(xy) = \ delta (xy) $$

und das Ergebnis nicht Null ist, sondern tatsächlich mit übereinstimmt die Kommutierungsbeziehung. Diese Delta-Funktionsgleichung erscheint mit Erklärung im ersten mathematischen Kapitel von Diracs "Die Prinzipien der Quantenmechanik".

Es ist bedauerlich, dass formale Manipulationen mit Verteilungen zu so einfachen Paradoxien führen. Betrachten Sie für ein verwandtes, aber anderes Paradoxon die Spur von $ \ hat {x} \ hat {p} - \ hat {p} \ hat {x} $.

Da Sie anscheinend mit Ron Maimons Antwort nicht ganz zufrieden sind, werde ich es etwas anders ausdrücken.

Das Problem ist, dass Sie in Ihrer Ableitung eine versteckte Mehrdeutigkeit haben. $$ \ langle {\ psi} _p \ vert \ hat {x} \ vert \ psi_p \ rangle = \ infty \; \; \; \; \; \Rechter Pfeil \;\;\;\;\; \ langle [\ hat {x}, \ hat {p}] \ rangle = ... = (pp) \ langleψ_p | \ hat {x} | ψ_p \ rangle = 0 \ cdot \ infty = \ text {beliebige Zahl} $$ Das Problem liegt bei den Funktionen. Eigenfunktionen sowohl des Impulsoperators als auch des Koordinatenoperators sind keine wirklichen Funktionen. Sie gehören nicht zum integrierbaren Funktionsraum und daher können Sie nicht frei mit ihnen arbeiten und so tun, als ob sie es wären. Manchmal können Sie das, aber wenn Sie es irgendwann tun, geraten Sie in Schwierigkeiten.

Wenn Sie eine "richtige" Funktion übernehmen und rechnen, werden Sie keine Probleme finden. Nehmen wir z.B. $$ \ psi (x) = \ frac1 {\ sqrt {\ pi}} e ^ {- x ^ 2/2} $$ Dann $$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi (x) x \ left (-i \ hbar \ frac {∂} {∂x} \ right) \ psi (x) dx = i \ hbar \ frac1 {\ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ 2 e ^ {x ^ 2} dx = i \ hbar \ frac1 {2 \ sqrt {\ pi}} $$$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi (x) \ left (-i \ hbar \ frac {∂} {∂x} \ rechts) x \ psi (x) dx = i \ hbar \ frac1 {\ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left (x ^ 2- 1 \ rechts) e ^ {x ^ 2} dx = i \ hbar \ frac1 {2 \ sqrt {\ pi}} - i \ hbar $$ Der Unterschied ist das, was Sie erwartet haben.

Wenn Sie $ \ psi_a (x) = \ frac1 {a} \ psi (x / a) $ nehmen und beachten, dass $ \ lim_ {a \ to0} \ psi_a (x) = \ delta ( x) = \ vert x \ rangle $ Sie erhalten eine Vorstellung davon, wie dieses Paradoxon für $ \ vert x \ rangle $ gelöst werden kann, und überprüfen, ob die Lösung der richtige Umgang mit $ 0 \ cdot \ infty $ ist. Ein ähnlicher Trick kann verwendet werden, um Ihr Paradoxon zu lösen. Nur Funktionen, die $ \ psi_p $ als Limit haben, sind weniger praktisch.

Ich denke, das Paradox ist die Tatsache, dass $ \ hat {p} $ kein hermitischer Operator in $ x $ -Darstellung im engeren Sinne $ \ langle \ alpha | \ hat {p} | ist\ beta \ rangle \ neq \ langle \ beta | \ hat {p} | \ alpha \ rangle ^ * $ in $ x $ Darstellung. Dann folgen wir genau der Aktion von $ \ hat {p} $, $ \ langle x | \ hat {p} | \ alpha \ rangle = -i \ hbar \ frac {\ partiell} {\ partiell x} \ langle x |\ alpha \ rangle $.

$$ \ langle x |\ hat {x} \ hat {p} - \ hat {p} \ hat {x} | x \ rangle = \ langle x |\ hat {x} \ hat {p} | x \ rangle - \ langle x |\ hat {p} \ hat {x} | x \ rangle = x \ langle x |\ hat {p} | x \ rangle + i \ hbar \ frac {\ partiell} {\ partiell x} \ langle x | \ hat {x} | x \ rangle $$ $$ = x (-i \ hbar) \ frac {\ partiell} {\ partiell x} \ Delta (0) + i \ hbar \ frac {\ partiell} {\ partiell x} x \ Delta (0) = i \hbar $$