Der Grund, warum es so schwer zu verstehen ist, was Physiker meinen, wenn sie über "Eichfreiheit" sprechen, ist, dass es mindestens vier ungleiche Definitionen gibt, die ich verwendet habe:

• Definition 1: Eine mathematische Theorie hat eine Messfreiheit, wenn einige der mathematischen Freiheitsgrade in dem Sinne "redundant" sind, dass zwei verschiedene mathematische Ausdrücke genau dasselbe physikalische System beschreiben. Dann sind die redundanten (oder "messgeräteabhängigen") Freiheitsgrade "unphysisch" in dem Sinne, dass kein mögliches Experiment ihre Werte eindeutig bestimmen könnte, selbst im Prinzip. Ein berühmtes Beispiel ist die Gesamtphase eines Quantenzustands - sie ist völlig nicht messbar und zwei Vektoren im Hilbert-Raum, die sich nur durch eine Gesamtphase unterscheiden, beschreiben genau denselben Zustand. Ein anderes Beispiel ist, wie Sie erwähnt haben, jede Art von Potential, das differenziert werden muss, um eine physikalische Größe zu erhalten - zum Beispiel eine potentielle Energiefunktion. (Obwohl einige Ihrer anderen Beispiele, wie z. B. die Temperatur, keine Beispiele für vom Messgerät abhängige Größen sind, gibt es einen genau definierten physikalischen Sinn für die Nulltemperatur.)

  Für physikalische Systeme, die durch mathematische Strukturen mit einer Messfreiheit beschrieben werden, ist der beste Weg, eine bestimmte physikalische Konfiguration mathematisch zu definieren, eine Äquivalenzklasse von Messgerät-abhängigen Funktionen, die sich nur in ihren Messfreiheitsgraden unterscheiden. In der Quantenmechanik wird ein physikalischer Zustand beispielsweise nicht durch einen einzelnen Vektor im Hilbert-Raum beschrieben, sondern durch eine Äquivalenzklasse von Vektoren, die sich durch ein gesamtes skalares Vielfaches unterscheiden. Oder einfacher durch eine Linie von Vektoren im Hilbert-Raum. (Wenn Sie Lust bekommen möchten, wird der Raum der physikalischen Zustände als "projektiver Hilbert-Raum" bezeichnet, dh als Satz von Linien im Hilbert-Raum, genauer gesagt als Version des Hilbert-Raums, in dem Vektoren identifiziert werden, wenn sie proportional sind zueinander.) Ich nehme an, Sie könnten "physikalische potentielle Energien" auch als Mengen potentieller Energiefunktionen definieren, die sich nur durch eine additive Konstante unterscheiden, obwohl dies in der Praxis eine Art Overkill ist. Diese Äquivalenzklassen entfernen die Eichfreiheit durch Konstruktion und sind daher "Eichinvariante".

  Manchmal (wenn auch nicht immer) gibt es eine einfache mathematische Operation, bei der alle redundanten Freiheitsgrade entfernt und alle physischen beibehalten werden. Zum Beispiel kann man bei einer potentiellen Energie den Gradienten nehmen, um ein Kraftfeld zu erhalten, das direkt messbar ist. Und im Fall des klassischen E&M gibt es bestimmte lineare Kombinationen von partiellen Ableitungen, die die Potentiale auf direkt messbare $ {\ bf E} $ - und $ {\ bf B} $ -Felder reduzieren, ohne physikalische Informationen zu verlieren. Im Fall eines Vektors in einem Quanten-Hilbert-Raum gibt es jedoch keine einfache Ableitungsoperation, die die Phasenfreiheit aufhebt, ohne etwas anderes zu verlieren.

• Definition 2: Wie Definition 1, jedoch mit der zusätzlichen Anforderung, dass die redundanten Freiheitsgrade lokal sind. Dies bedeutet, dass es eine Art mathematische Operation gibt, die von einer willkürlichen glatten Funktion $ \ lambda (x) $ in der Raumzeit abhängt, die die physikalischen Freiheitsgrade (dh die physikalisch messbaren Größen) unveränderlich lässt . Das kanonische Beispiel ist natürlich, dass, wenn Sie eine glatte Funktion $ \ lambda (x) $ verwenden, Sie dem elektromagnetischen Vierpotential $ A_ \ $ \ partielle_ \ mu \ lambda (x) $ hinzufügen mu (x) $ lässt die physikalischen Größen (die Felder $ {\ bf E} $ und $ {\ bf B} $) unverändert. (In der Feldtheorie wird die Anforderung, dass die "physikalischen Freiheitsgrade" unverändert bleiben, so formuliert, dass die Lagrange-Dichte $ \ mathcal {L} [\ varphi (x)] $ unverändert bleiben muss, aber andere Formulierungen sind möglich.) Dies ist möglich.) Die Definition ist eindeutig viel strenger - die oben in Definition 1 angegebenen Beispiele zählen nicht unter diese Definition - und meistens , wenn Physiker von "Eichfreiheit" sprechen, ist dies die Definition, die sie meinen. In diesem Fall haben Sie nicht nur wenige redundante / unphysikalische Freiheitsgrade (wie die Gesamtkonstante für Ihre potenzielle Energie), sondern eine kontinuierlich unendliche Zahl. (Um die Sache noch verwirrender zu machen, verwenden einige Leute den Ausdruck "globale Eichensymmetrie" im Sinne von Definition 1, um Dinge wie die globale Phasenfreiheit eines Quantenzustands zu beschreiben, was im Sinne der Definition eindeutig ein Widerspruch wäre 2.)

  Es stellt sich heraus, dass Sie, um dies in der Quantenfeldtheorie zu behandeln, Ihren Ansatz zur Quantisierung wesentlich ändern müssen (technisch gesehen müssen Sie "Ihr Pfadintegral messen"), um alle unphysikalischen Grade von zu eliminieren Freiheit. Wenn Menschen unter dieser Definition von "Eichinvarianten" sprechen, meinen sie in der Praxis normalerweise die direkt physikalisch messbaren Ableitungen wie den elektromagnetischen Tensor $ F _ {\ mu \ nu} $, die bei jeder Eichentransformation unverändert bleiben ("invariant") . Technisch gesehen gibt es jedoch auch andere messgeräteinvariante Größen, z. eine einheitliche Quantenüberlagerung von $ A_ \ mu (x) + \ partiell_ \ mu \ lambda (x) $ über alle möglichen $ \ lambda (x) $ für ein bestimmtes $ A_ \ mu (x). $

  Siehe Terry Taos Blog-Beitrag für eine großartige Erklärung dieses zweiten Sinns für Eichensymmetrie aus einer mathematischeren Perspektive.

• Definition 3: Manchmal wird gesagt, dass ein Lagrange eine "Eichensymmetrie" besitzt, wenn eine Operation existiert, die von einer beliebigen stetigen Funktion der Raumzeit abhängt, die sie unveränderlich lässt, selbst wenn die Freiheitsgrade geändert werden > sind physikalisch messbar.

• Definition 4: Für eine "Gittermaßtheorie", die für lokale Gitter-Hamiltonianer definiert ist, gibt es an jeder Gitterstelle einen Operator, der mit dem Hamilton-Operator pendelt. In einigen Fällen entspricht dieser Operator einer physikalisch messbaren Größe.

Die Fälle der Definitionen 3 und 4 sind konzeptionell etwas subtil, daher werde ich hier nicht darauf eingehen. Ich kann sie in einer Folgefrage ansprechen, wenn jemand interessiert ist.

Update: Ich habe Follow-up-Antworten geschrieben, ob es einen Sinn gibt, in dem die Freiheitsgrade des Messgeräts im Hamilton-Fall und im Lagrange-Fall physikalisch messbar sind.

Ich habe das erst verstanden, nachdem ich eine Klasse in allgemeiner Relativitätstheorie (GR), Differentialgeometrie und Quantenfeldtheorie (QFT) besucht hatte. Die Essenz ist nur eine Änderung der Koordinatensysteme, die sich in der Ableitung widerspiegeln muss. Ich werde erklären, was ich meine.

Sie haben eine Theorie, die unter einer Symmetriegruppe unveränderlich ist. In der Quantenelektrodynamik haben Sie also eine Lagrange-Dichte für die Fermionen (noch keine Photonen) $$ \ mathcal L = \ bar \ psi (x) [\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ teilweise_ \ mu - m] \ psi (x) \ ,. $$ Diese $ \ bar \ psi $ ist nur $ \ psi ^ \ dagger \ gamma ^ 0 $, wichtig ist, dass es komplex konjugiert ist. Die Tatsache, dass es sich um einen Vier-Vektor im Spin-Raum handelt, spielt hier keine Rolle. Was man jetzt tun kann, ist $ \ psi \ in \ exp (\ mathrm i \ alpha) \ psi $ mit etwas $ \ alpha \ in \ mathbb R $ umzuwandeln. Dann ist $ \ bar \ psi \ bis \ bar \ psi \ exp (- \ mathrm i \ alpha) $ und der Lagrange ist invariant, da die Ableitung nicht auf die Exponentialfunktion einwirkt, sondern nur ein Phasenfaktor ist. Dort haben Sie eine globale Symmetrie.

Fördern Sie jetzt die Symmetrie zu einer lokalen, warum nicht? Anstelle eines globalen $ \ alpha $ hat man jetzt $ \ alpha (x) $. Dies bedeutet, dass wir zu jedem Zeitpunkt in der Raumzeit ein anderes $ \ alpha $ auswählen. Das Problem ist, dass wenn wir jetzt transformieren, man das $ \ partielle_ \ mu \ alpha (x) $ mit den Ketten- und Produktregeln der Differenzierung aufnimmt. Das scheint zunächst eine technische Komplikation zu sein.

Es gibt eine aussagekräftigere Möglichkeit, dies zu sehen:
Sie nehmen eine Ableitung eines Feldes $ \ psi (x) $. Dies bedeutet, einen Differenzquotienten wie zu nehmen $$ \ partielle_ \ mu \ psi (x) = \ lim _ {\ epsilon \ bis 0} \ frac {\ psi (x + \ epsilon \ vec e_ \ mu) - \ psi (x)} {\ epsilon} \, $$ Dies funktioniert gut mit einer globalen Transformation. Bei der lokalen Transformation subtrahieren Sie jedoch grundsätzlich zwei Werte, die unterschiedlich gemessen werden. In der Differentialgeometrie haben Sie, dass die Tangentenräume an den verschiedenen Punkten des Verteilers unterschiedlich sind und man daher Vektoren nicht einfach anhand ihrer Komponenten vergleichen kann. Man benötigt eine Verbindung mit Verbindungskoeffizienten , um parallelen Transport bereitzustellen. Hier ist es ähnlich. Wir haben jetzt $ \ phi $ vom Leben auf $ \ mathbb R ^ 4 $ zum Leben im Bündel $ \ mathbb R ^ 4 \ mal S ^ 1 $ befördert, da wir eine U (1) -Gruppe haben. Daher benötigen wir eine Verbindung, um das transformierte $ \ phi $ von $ x + \ epsilon \ vec e_ \ mu $ nach $ x $ zu transportieren. Hier muss man eine Verbindung einführen, die ist $$ \ partielle_ \ mu \ bis \ mathrm D_ \ mu: = \ partielle_ \ mu + \ mathrm i A_ \ mu \ ,. $$

Wenn Sie das in die Lagrange-Dichte einstecken, um es zu machen $$ \ mathcal L = \ bar \ psi (x) [\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ mathrm D_ \ mu - m] \ psi (x) $$ und wählen Sie dann $ A_ \ mu = \ partielle_ \ mu \ alpha $. Sie werden sehen, dass die Lagrange-Dichte auch bei lokalen Transformationen unveränderlich bleibt, da der Verbindungskoeffizient nur den unerwünschten Term von der Produkt- / Kettenregel abzieht

In der allgemeinen Relativitätstheorie haben Sie die Symmetrie unter willkürlichem Diffeomorphismus. Der Preis ist, dass Sie die Ableitung in eine Verbindung ändern müssen. $$ \ partiell \ bis \ nabla: = \ partiell + \ Gamma + \ cdots \ ,. $$

Da Sie erwähnt haben, dass Sie einen mathematischen Hintergrund haben, ist es möglicherweise hilfreich, eine Antwort in Bezug auf Äquivalenzklassen zu erhalten.

Eine Eichentheorie ist eine physikalische Theorie, bei der die beobachtbaren Größen, wie in Dingen, die Sie mit einem Experiment mit perfekter Messausrüstung messen könnten, Äquivalenzklassen in einem Vektorraum sind.

Elektromagnitismus ist das häufigste Beispiel. Moderne physikalische Theorien werden immer als Faserbündel geschrieben, bei denen die zugrunde liegende Mannigfaltigkeit die Raumzeit ist und die Fasern einen Tangentenraum darstellen, der jedem Punkt (Ereignis genannt) in der Raumzeit zugeordnet ist. E&M im freien Speicherplatz (keine Gebühren vorhanden) wird beschrieben, indem jedem Raumzeitpunkt $ x $ ein 4-Komponenten-Objekt mit dem Namen $ A _ {\ mu} $ zugeordnet wird und $ A _ {\ mu} (x) $ benötigt wird, um die Maxwell-Gleichungen zu erfüllen .

Die beobachtbaren, gleichermaßen messbaren Größen in der Natur sind jedoch die elektrischen und magnetischen Felder $ \ vec {E} (x) $ und $ \ vec {B} (x) $. Diese werden aus $ A _ {\ mu} (x) $ unter Verwendung der in diesem Wiki angegebenen Definition abgeleitet (siehe die Matrixelemente von $ F _ {\ mu \ nu} (x) $).

Es stellt sich heraus, dass die Transformation $ A _ {\ mu} (x) \ rightarrow A _ {\ mu} (x) + \ partielle _ {\ mu} f (x) $ für jede doppelt differenzierbare Funktion $ f (x) $ gibt die gleichen Werte der beobachtbaren Felder $ \ vec {E} (x) $ und $ \ vec {B} (x) $ an. Es gibt also eine Äquivalenzbeziehung

$ A _ {\ mu} (x) \ ca. A _ {\ mu} (x) + \ partielle _ {\ mu} f (x) $.

Und im Allgemeinen sind Eichentheorien Theorien, bei denen die beobachtbaren Größen Funktionen von Äquivalenzklassen einiger Vektoren in einem Vektorraum sind. In diesem Fall waren unsere Vektoren $ A _ {\ mu} (x) $ (dies sind Vektoren im Funktionsraum von doppelt differenzierbaren Funktionen zur Raumzeit), und unsere Äquivalenzbeziehung wurde oben angegeben.

Was Ihre letzte Frage betrifft, ob Dinge wie die Gesamtenergie des Systems, die nur bis zu einem konstanten Faktor in einem Referenzrahmen bestimmt werden, die Newtonsche Dynamik zu einer Eichentheorie machen.Die Antwort ist nein, nicht wirklich.Wenn Sie nicht über eine Feldtheorie sprechen, wird ein Physiker das Ding grundsätzlich nicht als Eichentheorie bezeichnen.

Die Eichinvarianz ist einfach eine Redundanz in der Beschreibung eines physischen Systems. Das heißt, Wir können aus einer unendlichen Anzahl von Vektorpotentialen in E&M wählen.

Zum Beispiel kann eine unendliche Anzahl von Vektorpotentialen den Elektromagnetismus durch die folgende Transformation beschreiben

$$ A (x) \ bis A_ \ mu (x) + \ Partial_ \ mu \ alpha (x) $$

Die Auswahl eines bestimmten Messgeräts (Messgerätfixierung) kann die Lösung eines physischen Problems erheblich vereinfachen, als wenn Sie kein Messgerät reparieren würden.

Normalerweise wählt man die Coulomb-Anzeige: $ \ nabla \ cdot A = 0 $.

Es sollte betont werden, dass die Eichinvarianz KEINE Symmetrie der Natur ist und Sie nichts damit messen können.

Die Eichinvarianz ist in der Quantenfeldtheorie am nützlichsten und entscheidend für den Nachweis der Renormierbarkeit. Zusätzlich erfordern S-Matrix-Elemente in QFT eine lokale Lagrange und damit eine Messinvarianz.

Als Beispiel dafür, warum wir das Vektorpotential $ A ^ \ mu $ einführen würden, betrachten wir den Aharonov-Bohm-Effekt, der aufgrund globaler topologischer Eigenschaften des Vektorpotentials entsteht. Es gibt noch andere Gründe, warum die Eichinvarianz das Leben leichter macht und die Freiheitsgrade des Photons in der sogenannten Kovariante oder dem $ R_ \ xi $ -Messgerät, der Kausalität usw. verringert. Im Wesentlichen wird die Nützlichkeit der Eichinvarianz erst dann vollständig offensichtlich, wenn man es versucht Quantenfeldtheorie durcharbeiten. : D

Diese Berechnungen hängen sehr oft nur von der Differenz zwischen zwei Werten ab, nicht von den konkreten Werten selbst. Es steht Ihnen daher frei, eine Null nach Ihren Wünschen zu wählen. Ist dies ein Beispiel für eine Eichinvarianz im gleichen Sinne wie die obigen Beispiele für Absolventen?

Ja, in der allgemeinsten Definition der Eichinvarianz ist es das, was Physiker eine globale Eichinvarianz nennen. Mehr dazu weiter unten.

Wenn ich eine Antwort mit einem Satz auf Ihren Titel schreiben müsste, wäre dies:

Die Eichinvarianz ist die genaue Definition des physikalischen Gesetzes unter einer Quotentenkarte, die eine Konfiguration / einen Parameterraum / Koordinaten für ein physikalisches System zu einer Reihe von Äquivalenzklassen physikalisch äquivalenter Konfigurationen zusammenfasst.

Dies ist in demselben Sinne, in dem beispielsweise das Coset-Produkt unter der Karte gut definiert ist, die die normale Untergruppe einer Gruppe entfernt. Die Physik einer Konfiguration ist unabhängig von der Wahl des Äquivalenzklassenmitglieds .

Im Grunde genommen ist die Eichinvarianz einfach eine Behauptung, dass eine mathematische Beschreibung eines physikalischen Systems Redundanz enthält. Andernfalls hat das System eine Symmetrie , eine Invarianz in Bezug auf eine Gruppe von Transformationen.

Eine globale Eichsymmetrie ist eine, bei der der Konfigurationsraum ein einfaches kartesisches Produkt ( dh ein triviales Faserbündel) aus der Menge physikalisch unterschiedlicher Äquivalenzklassen und einer redundanten istParameter, wie bei Ihrer Differenz zwischen zwei Werten Beispiel.Wenn es sich bei der physikalischen Beschreibung um eine Lagrange-Beschreibung handelt, tritt hier der Satz von Noether in den Vordergrund und identifiziert konservierte Größen, eine für jeden dieser redundanten Parameter.Die Eichgruppe, d. H. Die Gruppe von Symmetrien, beeinflusst alle Äquivalenzklassen (Fasern) gleichermaßen.Die Subtraktion eines konstanten Potentials von einem elektrostatischen Potential ist eine solche Symmetrie und ein großer Fortschritt für Corvid Civilization, da Krähen auf Hochspannungsleitungen sitzen und glücklich zusammen die Brise schießen, ihre neuesten Gedanken zu Eichentheorien diskutieren und erklären können, dass "Nimmermehr!"Befürchten wir, dass die globale Addition von 22 kV zum elektrostatischen Potential die Physik des Systems, zu dem wir gehören, verändern kann?

Wenn Physiker jedoch normalerweise von einer Eichentheorie sprechen, meinen sie eine, bei der die Symmetriegruppe allgemeiner agieren kann, wobei an jedem Punkt des Konfigurationsraums ein anderes Gruppenmitglied agiert. Das entsprechende Faserbündel ist nicht mehr trivial. Obwohl Sie ein einfacheres Beispiel als die Elektrodynamik wollten, glaube ich nicht, dass es eines gibt. Die zur Elektronenwellenfunktion hinzugefügte Phase kann eine beliebige glatte Funktion von Koordinaten sein, und die zusätzlichen Terme, die sich aus der Leibniz-Regel ergeben, die auf die Ableitungen in der Bewegungsgleichung der Wellenfunktion (Dirac, Schrödinger) angewendet wird, werden genau in den geschlossenen Teil aufgenommen des EM-Potentials Einform. Nebenbei bemerkt visualisiere ich übrigens immer gerne das EM-Potenzial im Fourier-Raum, was wir mit vernünftigen Einschränkungen tun können ( zB ein Postulat, bei dem wir zum Beispiel nur an temperierte Verteilungen denken werden). , weil der räumliche Teil des redundanten Teils des Vierpotentials dann seine Komponente entlang des Wellenvektors ist ( dh als 3-Vektor gedacht) und nur die zum Wellenvektor normale Komponente physikalisch von Bedeutung ist: Es ist der einzige Teil, der $ A \ mapsto \ mathrm {d} A = F $ überlebt.

Ich glaube, Sie sollten dem EM-Beispiel zwei Dinge entnehmen:

1. Obwohl dies praktisch zu einer gewissen weiteren Komplexität führt, ist es konzeptionell nur ein kleiner Sprung von Ihrem einfachen symmetrischen Beispiel für globale Messgeräte. Wir lassen einfach zu, dass die Symmetrien lokal wirken, anstatt auf alle Konfigurationsraumpunkte gleichermaßen zu wirken.

2. Ausgehend vom experimentell realen Elektromagnetismus postulieren wir, dass diese Eichinvarianz allgemeiner relevant sein könnte, und untersuchen daher ihre Anwesenheit in anderen physikalischen Phänomenen. Dies ist nichts weiter als eine Tat, die von einer Ahnung motiviert ist. Experimentell stellen wir fest, dass dies eine fruchtbare Sache ist. In der Physik gibt es keinen tieferen Einblick als experimentelle Ergebnisse.

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Abschließend möchte ich erwähnen, dass Begriffe für Messgeräte / Faserbündel auch nützlich sind, wenn wir künstlich Äquivalenzklassen von Konfigurationen deklarieren, die auf den Anforderungen unseres Problems basieren, selbst wenn es einen physikalischen Unterschied zwischen Mitgliedern der Äquivalenzklasse gibt . Eines der schönsten Beispiele für diese Denkweise ist Montgomerys "Gauge Theory of the Falling Cat". Wir untersuchen Äquivalenzklassen der Katzenkonfiguration, die äquivalente modulo-richtige euklidische Isometrie sind, um einen Katzenformraum zu formulieren, der in der Standardbehandlung, bei der die Katze als zweiteiliger Roboter mit verdrehungsfreiem Zustand betrachtet wird Kugelgelenk entpuppt sich als echte Projektionsebene $ \ mathbb {RP} ^ 2 $. Der gesamte Konfigurationsraum ist dann ein Faserbündel mit dem Formraum $ \ mathbb {RP} ^ 2 $ als Basis und der Gruppe $ SO (3) $, die Orientierungen als Faser definiert. Die Katze kann kippen, während der Drehimpuls unter Verwendung von zyklischen Verformungen ihrer eigenen Form erhalten bleibt, und zwar aufgrund der Krümmung der Verbindung, die sich aus dem Begriff des parallelen Transports ergibt, der durch die Erhaltung des Drehimpulses impliziert wird.

Hier ist das elementarste Beispiel für eine Eichsymmetrie, die ich mir vorstellen kann.

Angenommen, Sie möchten einige Ameisen besprechen, die in einer Möbius-Band herumlaufen. Um die Positionen der Ameisen zu beschreiben, können Sie sich vorstellen, das Band entlang seiner Breite zu schneiden, damit es zu einem Rechteck wird. Dann können Sie mir sagen, wo eine Ameise ist, indem Sie mir drei Dinge sagen:

• Ihr Breitengrad - ihre Position entlang der Breite des Rechtecks.
• Ihre Länge - ihre Position entlang der Länge des Rechtecks.
• Ihre Ausrichtung - ob sie sich an die Ober- oder Unterseite des Rechtecks ​​klammert.

Die Bedeutung der Länge hängt von der Position dieses imaginären Schnitts ab. Wenn Sie den Schnitt verschieben, ändern sich alle Längen der Ameisen. Es kann keinen physischen Grund geben, einen Schnitt einem anderen vorzuziehen, da Sie das Band entlang seiner Länge schieben können, ohne seine Form zu ändern oder das Verhalten der Ameisen zu beeinflussen. Mit anderen Worten, es kann keine physikalisch bedeutsame Vorstellung von absoluter Länge geben, da das Band eine Translationssymmetrie hat.

Ebenso hängt die Bedeutung der Ausrichtung davon ab, wie Sie die Oberflächen des Rechtecks ​​als oben und unten kennzeichnen. Es kann keinen physischen Grund geben, eine Beschriftung einer anderen vorzuziehen, da Sie die beiden Oberflächen des Bandes austauschen können, ohne seine Form zu ändern oder das Verhalten der Ameisen zu beeinflussen. Dieser Austausch ist ein Beispiel für eine Eichensymmetrie . Es hat einige auffällige Merkmale, die gewöhnliche Symmetrien nicht gemeinsam haben. Schauen wir uns einen an.

Für jede Symmetrie einer Situation gibt es einen Aspekt der Situation, der auf verschiedene Arten beschrieben werden kann, ohne physikalische Gründe für die Wahl zwischen ihnen. Manchmal ist es jedoch nützlich, eine Wahl zu treffen und dabei zu bleiben, obwohl die Wahl physikalisch bedeutungslos ist. In Diskussionen über Menschen, die zum Beispiel auf der Erdoberfläche herumsegeln, definiert so ziemlich jeder, den ich kenne, den Längengrad anhand eines Schnitts, der durch Greenwich, London, führt, hauptsächlich weil einige Menschen, die dort lebten, übernahmen die Welt und druckte viele Seekarten.

Wenn wir auf einem gewöhnlichen zylindrischen Band Ameisen beobachtet hätten, hätten wir uns genauso leicht auf einen Begriff der Orientierung festlegen können. Wir würden eine Seite der Band türkis für "oben" und die andere Seite blau für "unten" malen, und das wäre das. Bei einer Möbius-Band sind die Dinge komplizierter, weil eine Möbius-Band nur eine Seite hat! Wenn Sie versuchen, eine Oberfläche türkis und die gegenüberliegende Oberfläche blau zu malen, beginnend in einem kleinen Bereich des Bandes und nach außen bewegend, kollidieren die türkisfarbenen und blauen Bereiche unweigerlich. (In unserer früheren Diskussion war die Kollision entlang des Längengradabschnitts verborgen.)

In einer Situation mit einer gewöhnlichen Symmetrie wie einer Übersetzungssymmetrie können Sie nicht zwischen möglichen Beschreibungen auf physikalisch bedeutsame Weise wählen. In einer Situation mit einer Eichensymmetrie können Sie möglicherweise nicht einmal auf eine global konsistente Weise zwischen möglichen Beschreibungen wählen! Sie können jedoch jederzeit konsistente Beschreibungen in kleinen Regionen des Raums auswählen. Aus diesem Grund werden Eichsymmetrien häufig als lokale Symmetrien bezeichnet.

Nachdem ich versucht habe, eine lange, elementare Beschreibung der Eichsymmetrie zu erstellen, möchte ich auch eine kurze, anspruchsvolle anbieten. In unseren einfachsten physikalischen Modellen finden Ereignisse auf einer glatten Mannigfaltigkeit statt, die als Raum oder Raumzeit bezeichnet wird. Eine gewöhnliche Symmetrie ist ein Diffeomorphismus der Raumzeit, der die physikalische Möglichkeit von Ereignissen bewahrt. In anspruchsvolleren Modellen finden Ereignisse über die Raumzeit auf einem Faserbündel statt. Eine Eichsymmetrie ist ein Automorphismus des Faserbündels, der die physikalische Möglichkeit von Ereignissen bewahrt.

In unserem elementaren Beispiel spielt die Möbius-Band die Rolle des Raums, und die Ameisen laufen im Orientierungsbündel der Band herum. Das Orientierungsbündel weist einen Automorphismus auf, der die beiden Oberflächen des Bandes austauscht

Im klassischen Elektromagnetismus spielt die Minkowski-Raumzeit oder eine andere Lorentzsche Mannigfaltigkeit die Rolle der Raumzeit, und das elektromagnetische Feld wird durch eine Verbindung auf einem Kreisbündel über die Raumzeit dargestellt. Im Kaluza-Klein-Bild bewegen sich geladene Teilchen im Kreisbündel und fliegen in geraden Linien, deren "Schatten" in der Raumzeit die spiralförmigen Pfade sind, die wir sehen. Das Kreisbündel hat eine Familie von Automorphismen, die die Kreisfasern drehen, was Leute als $ \ operatorname {U} (1) $ Gauge-Symmetrie bezeichnen. Dieses Bild verallgemeinert alle klassischen Yang-Mills-Theorien.

Im Palatini-Bild der allgemeinen Relativitätstheorie spielt eine glatte $ 4 $ -dimensionale Mannigfaltigkeit die Rolle der Raumzeit, und das Gravitationsfeld wird durch einen $ \ operatorname {SO} (3,1) dargestellt. $ Verbindung am Rahmenbündel des Verteilers. Ich vermute, dass die von Ihnen erwähnten Eichsymmetrien der linearisierten Schwerkraft Automorphismen des Rahmenbündels sind.

In Einsteins Bild der allgemeinen Relativitätstheorie sind die Symmetrien Diffeomorphismen der Raumzeit.Ich klassifiziere diese eher als gewöhnliche Symmetrien als als Eichsymmetrien.Wie tparker erwähnt, verwendet jedoch nicht jeder den Begriff "Eichensymmetrie" auf die gleiche Weise.

Es gibt eine sehr interessante physikalische Interpretation der Eichinvarianz im Fall der $ U (1) $ -Symmetrie. Die Eichsymmetrie ist der einzige Weg, um eine Lorentz-invariante Wechselwirkung zwischen Materie (im weiteren Sinne - dem Feld des willkürlichen Spins) und Photonen (masselose Teilchen mit Helizität 1) zu erhalten, die mit $ \ frac {1} {r ^ {abnimmt 2}} $ in großen Entfernungen (diese Aussage ist nichts anderes als das Coulomb-Gesetz). Kurz gesagt, 4-Potential $ A _ {\ mu} $, das das inverse Quadratgesetz der EM-Wechselwirkungen liefert, ist nicht Lorentz-Kovariante, und die Manifestation der Lorentz-Invarianz der Wechselwirkung führt zu einer lokalen Ladungserhaltung.

Aus sehr allgemeinen Überlegungen, basierend auf der Symmetrie unserer Raum-Zeit, kann wirklich gezeigt werden, dass Photonen durch den antisymmetrischen 4-Tensor $ F _ {\ mu \ nu} $ dargestellt werden, der als EM-Stärke tensor bezeichnet wird. Es ist Lorentz-Kovariante formal (durch Verwendung naiver Manipulationen mit Tensorindizes) und durch Konstruktion (als Feld, das Teilchen mit Helizität 1 darstellt), dh unter Lorentz-Transformation, die durch die Matrix $ \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ \ nu} gegeben ist $ es wird transformiert als $$ F _ {\ mu \ nu} \ bis \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ \ alpha} \ Lambda _ {\ nu} ^ {\ \ beta} F _ {\ alpha \ beta} $$ Nehmen wir als nächstes an, wir haben Materiefelder $ \ psi $ und diskutieren eine Wechselwirkung von Materie mit Photonen. Der naheliegendste Weg, eine solche Interaktion zu erhalten, besteht darin, sie zu erhalten, indem alle möglichen Windungen von $ F _ {\ mu \ nu} $ mit Materiefeldern und Lorent-kovarianten Objekten (Dirac-Matrizen, Levi-Civita-Verbindung usw.) konstruiert werden. Nehmen wir auch aus dem Experiment an, dass die Interaktion in großer Entfernung als $ \ frac {1} {r ^ {2}} $ abfällt. Leider ist dies nicht möglich, wenn wir $ F _ {\ mu \ nu} $ verwenden. Der formale Grund ist, dass der Propagator dieses Feldes, der das Interaktionsgesetz zeigt, schneller fällt als $ \ frac {1} {r ^ {2}} $. Dies liegt daran, dass zwei Indizes und Antisymmetrie von $ F _ {\ mu \ nu} $.

Wir können einen Hinweis geben und das Objekt $ A _ {\ mu} $ mit einem Index namens 4-Potential einführen: $$ F _ {\ mu \ nu} = \ partiell _ {\ mu} A _ {\ nu} - \ partiell _ {\ nu} A _ {\ mu} $$ Interaktionen werden jetzt durch Faltungen von $ A _ {\ mu} $ mit Materiefeldern und anderen kovarianten Objekten konstruiert.

Natürlich müssen $ A _ {\ mu} $ masselose Helizitätspartikel 1 sowie $ F _ {\ mu \ nu} $ darstellen. Leider führt diese Anforderung zu der Aussage, dass das 4-Potential nicht Lorentz-kovariant ist (obwohl es formal natürlich ist). Genau genommen wird unter Lorentz-Transformationsfeld $ A _ {\ mu} $, von dem angenommen wird, dass es masselose Teilchen der Helizität 1 darstellt, geändert als $$ \ tag 1 A _ {\ mu} \ to \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ \ nu} A _ {\ nu} + \ teilweise _ {\ mu} \ varphi $$ Wir sehen, dass es keine Lorentz-Kovariante ist. Der freie Lagrange für $ A _ {\ mu} $, der gerade ist $$ L = - \ frac {1} {4} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}, $$ ist Lorentz invariant.

Es gibt jedoch eine Möglichkeit, die Lorentz-Invarianz von Interaktionen beizubehalten. Auf diese Weise werden sie so konstruiert, dass sie bei der Transformation $ A _ {\ mu} \ zu A _ {\ mu} + \ partiell _ {\ mu} \ varphi $ invariant sind. Genau die Amplitude der Wechselwirkung $ M _ {\ mu_ {1} ... \ mu_ {n}} (p_ {i}, \ epsilon_ {j} (k_ {j})) $, wobei $ \ epsilon $ Photonen sind Helizitätsvektoren (Polarisationsvektoren), $ p_ {i} $ sind alle Impulse wechselwirkender Teilchen und $ k_ {j} $ sind Impulse von Photonen), müssen bei der Transformation invariant sein $$ \ tag 2 \ epsilon _ {\ mu} (p) \ bis \ epsilon _ {\ mu} (p) + \ alpha p _ {\ mu} $$ In der formalen Sprache bedeutet dies, wie durch die Behandlung von Prozessen mit Emission weicher Photonen (Photonen mit nahezu null Impulsen) gezeigt werden kann, dass es ein Erhaltungsgesetz für Materiekopplungen geben muss $ g_ {i} $: $$ g_ {1} + g_ {2} + ... = \ text {const} $$ Dies ist nichts anderes als das Gebührenerhaltungsgesetz. Zusammen mit $ (2) $ ist dies nichts anderes als $ U (1) $ Eichensymmetrie.

Wir sehen also, dass die Lorentz-Invarianz der Wechselwirkungen von Photonen mit Materie durch das umgekehrte Quadratgesetz zu einer Eichinvarianz führt. Analog kann das Äquivalenzprinzip für den Fall der Wechselwirkung von Gravitonen mit allen Feldern argumentiert werden.

Eichentheorien beschreiben die Konnektivität eines Raums mit kleinen, symmetrischen zusätzlichen Dimensionen

Beginnen Sie mit einem unendlichen Zylinder (dem direkten Produkt einer Linie und eines kleinen Kreises). Der Zylinder kann gedreht werden. Um nicht auf Konzepte einzugehen, die ich zu erklären versuche, sage ich nur, dass der Zylinder aus Drahtgeflecht besteht: gleichmäßig verteilte Kreise, die an über die gesamte Länge verlaufende Drähte gelötet sind. Die langen Drähte können sich als Einheit drehen, wodurch zwischen jedem Paar benachbarter Kreise eine Winkeldrehung entsteht. Es ist klar, dass eine solche Konfiguration kontinuierlich in eine andere verformt werden kann: Alle diese Zylinder sind aus der Perspektive der sprichwörtlichen Ameise, die auf ihnen kriecht, gleichwertig.

Ersetzen Sie die Linie durch eine geschlossene Schleife, sodass das Produkt ein Torus ist (und stellen Sie sich den Torus als einen Netzkrapfen vor, obwohl eine solche Variation der Ebene der kleinen Kreise die Analogie technisch bricht). Jeder Teil des Donuts, dem das Ganze fehlt, kann in den gleichen Teil eines anderen Donuts verformt werden, aber der Donut als Ganzes kann es manchmal nicht sein, da die Nettodrehung um den Donut nicht verändert werden kann. Die Klassen äquivalenter Donuts sind vollständig durch diese Nettodrehung gekennzeichnet, die von Natur aus nicht lokal ist.

Ersetzen Sie die Schleife (nicht den kleinen Kreis) durch einen Verteiler mit zwei oder mehr Dimensionen. Es ist wahr, aber nicht offensichtlich, dass der physische Teil der Verbindung vollständig durch die integrierte Drehung um alle geschlossenen Schleifen ( Wilson-Schleifen) gegeben ist.

$ A $ und $ F $ quantifizieren die Konnektivität

Im diskreten Fall kann die Verbindung am einfachsten beschrieben werden, indem die Verdrehung zwischen benachbarten Kreisen angegeben wird. In der Kontinuumsgrenze wird dies an jedem Kreis zu einem "Verdrehungsgradienten". Dies ist $ A_ \ mu $, das sogenannte Vektorpotential.

Jede kontinuierliche Verformung kann durch ein Skalarfeld $ \ phi $ beschrieben werden, das den Betrag darstellt, um den jeder Kreis verdreht ist (relativ zu dem, wo er vorher war). Dies ändert $ A_ \ mu $ um den Gradienten von $ \ phi $, ändert jedoch keine physikalische Größe (Schleifenintegral).

Die Beschreibung in Form von Wilson-Schleifen, $ \ oint_ \ gamma A \ cdot \, \ mathrm dx $, ist eleganter, da sie nur physikalisch bedeutsame Größen enthält, aber nicht lokal und hochredundant ist. Wenn der Raum einfach verbunden ist, können Sie Redundanz und Nichtlokalität vermeiden, indem Sie die Verdrehung nur um Differentialschleifen angeben, da größere Schleifen daraus erstellt werden können. Der sogenannte Feldtensor $ \ partielle_ \ nu A_ \ mu - \ partielle_ \ mu A_ \ nu = F _ {\ mu \ nu} $ gibt Ihnen genau das.

(Wenn der Raum nicht einfach verbunden ist, können Sie trotzdem mit den Differentialschleifen plus einer Nettodrehung für jedes Element eines Generatorsatzes der Grundgruppe davonkommen. Der Torus war natürlich a einfaches Beispiel dafür.)

Die Kraft kommt vom Aharonov-Bohm-Effekt

Betrachten Sie ein Skalarfeld, das über den gesamten Raum definiert ist (im Gegensatz zu den früheren Feldern nimmt dieses Feld an jedem Punkt jedes Kreises einen Wert an). Das Feld ist überall Null, mit Ausnahme von zwei schmalen Strahlen, die von einem Punkt abweichen und woanders wieder zusammenlaufen. (Vielleicht werden sie von Spiegeln reflektiert; vielleicht ist der Raum positiv gekrümmt; es spielt keine Rolle.)

Wenn das Feld über die Kreise nicht konstant ist, hängt das Interferenzverhalten der Strahlen von der Differenz der Verdrehung entlang der beiden Pfade ab. Dieser Unterschied ist nur das Integral um die durch die Pfade gebildete geschlossene Schleife.

Dies ist der (verallgemeinerte) Aharonov-Bohm-Effekt. Wenn Sie es auf unterschiedlich unterschiedliche Pfade beschränken und $ F _ {\ mu \ nu} $ verwenden, um die Auswirkung auf die Interferenz zu berechnen, erhalten Sie das Gesetz der elektromagnetischen Kraft.

Sie können das Feld in Fourier-Komponenten zerlegen. Das Fourier-Spektrum ist in der kleinen Dimension diskret. Die nullte (konstante) Harmonische wird durch die Verdrehung nicht beeinflusst. Die zweite Harmonische ist doppelt so stark betroffen wie die erste. Dies sind die elektrischen Ladungen.

In Wirklichkeit scheinen aus unbekannten Gründen nur bestimmte extradimensionale Harmonische zu existieren. Wenn nur die erste Harmonische existiert, gibt es eine äquivalente Beschreibung des Feldes als einzelne komplexe Amplitude + Phase an jedem Punkt der großen Dimensionen. Die Phase ist relativ zu einem beliebigen lokalen Nullpunkt, der auch vom Vektorpotential verwendet wird. Wenn Sie die Phase mit der Phase an einem nahe gelegenen Punkt vergleichen und zwischen ihnen eine Vektorpotentialverdrillung von $ \ mathrm d \ theta $ besteht, müssen Sie den Feldwert um $ i \, \ mathrm d \ theta $ anpassen . Dies ist der Ursprung des kovarianten Derivats.

Kreise verallgemeinern sich auf andere Formen

Wenn Sie die Kreise durch 2 Kugeln ersetzen, erhalten Sie eine $ \ mathrm {SU} (2) $ -Theoretheorie. Numerisch ist es schlimmer: Die Symmetriegruppe ist nicht kommutativ, daher müssen Sie die Maschinerie der Lie-Algebra einbringen. Geometrisch hat sich jedoch nicht viel geändert. Die Konnektivität wird immer noch durch eine Netto-Drehung um Schleifen beschrieben.

Ein unglücklicher Unterschied ist, dass die Beschreibung der Ladung als extradimensionale Harmonische nicht mehr ganz funktioniert. Sphärische Harmonische geben nur die Ganzzahl-Spin-Darstellungen an, und alle bekannten Partikel befinden sich in den Spin-0- oder Spin-½-Darstellungen des Standardmodells $ \ mathrm {SU} (2) $, also die Partikel, die von $ betroffen sind \ mathrm {SU} (2) $ force kann auf diese Weise überhaupt nicht beschrieben werden. Möglicherweise gibt es eine Möglichkeit, dieses Problem mit einem exotischeren Feldtyp zu umgehen.

Ich kann nichts Aufschlussreiches über den Teil $ \ mathrm {SU} (3) $ der Standardmodell-Messgruppe sagen, außer darauf hinzuweisen, dass die gesamte SM-Messgruppe in $ \ mathrm {Spin eingebettet werden kann} (10) $, und ich denke, es ist einfacher, eine 9-Kugel als eine Form mit $ \ mathrm {SU} (3) $ -Symmetrie zu visualisieren.

Die allgemeine Relativitätstheorie ist ähnlich

In der allgemeinen Relativitätstheorie ist der Riemannsche Krümmungstensor analog zum Feldtensor;es repräsentiert die Winkeldrehung eines Vektors, der um eine Differentialschleife transportiert wird.Der Aharonov-Bohm-Effekt ist analog zum Winkeldefizit um eine kosmische Kette. Die Kaluza-Klein-Theorie bezog sich ursprünglich auf einen bestimmten Weg, um Elektromagnetismus aus der allgemeinen Relativitätstheorie in fünf Dimensionen zu erhalten.Jetzt wird häufig auf die allgemeine Idee verwiesen, dass die Messkräfte des Standardmodells und die allgemeine Relativitätstheorie wahrscheinlich unterschiedliche Aspekte derselben Sache sind.

In der klassischen Elektrodynamik (CED) bedeutet die Eichinvarianz die Unabhängigkeit der elektrischen und magnetischen Felder von einer bestimmten "Wahl" der Potentiale $ \ varphi $ und $ \ bf {A} $.Die Gleichung für Potentiale hängt natürlich von der speziellen Wahl des "Messgeräts" ab und gibt unterschiedliche Lösungen für unterschiedliche Messgeräte.

In QM und QED bedeutet die Eichinvarianz auch "Invarianz" der form der Gleichungen (die Lösungen sind immer noch unterschiedlich, aber physikalisch äquivalent).

Aber man sollte bedenken, dass jede hilfreiche Variablenänderung auch akzeptabel ist, wenn die entsprechenden Ergebnisse physikalisch gleich bleiben.Dafür sollte die Form der Gleichungen überhaupt nicht obligatorisch "invariant" sein.